重力に関する物理現象を理解するのに、曲面上の幾何学がその導き手として役立つ理由を、これまでも何度か書いてきたのですが、もう少し気の利いた書き方がある気がして、もう一度書いてみようかと思います：椅子の上に立っていろんなものを落としてみればすぐに納得できますが、重力以外の力を受けることがない限り、すべての物体は同じ加速度を得て運動します。ピサの斜塔から鉄球と木球を同時に手放し、それらが同時に地面を打つことを人々に示したガリレイの実験は有名です。
この経験事実は、ニュートン力学では次のように説明されます：できるだけ見やすい文章にするために、直線上を運動する物体を考え、時刻 $t$ をパラメーターとしてその位置を $x(t)$ で表すとします。ニュートンの万有引力の法則によれば、この物体に働く力は
$$F=G{{Mm}\over {r^2}}$$であり、力と加速度との間の運動法則
\begin{equation} mx''(t)=F=G{{Mm}\over {r^2}} \label{eq:kasokudogachikar} \end{equation}から、物体の質量 $m$ によらない等式
$$x''(t)=G{M\over {r^2}}$$が得られます。
たとえば重力源として地球を考え、地球の半径と質量
$$r=6400\ {\rm km}, \hskip 5mm M=6.0\times 10^{24}\ {\rm kg}$$それに万有引力定数
$$G=6.7\times 10^{-11}\ {\rm m^3\cdot s^{-2}\cdot kg^{-1}}$$を代入して
$$G{M\over {r^2}}=9.8\ {\rm m\cdot s^{-2}}$$です。よって地球の表面近くで地球の重力だけを受けて運動する物体の速さは、一秒ごとに $9.8$ メートル毎秒ずつ増加することになります、物体の質量が何であってもです。
重力の下ではすべての物体が同じ加速を得て運動するというこの結果は、加速度と力の間の関係式 (\ref{eq:kasokudogachikar})
$$mx''(t)=F=G{{Mm}\over {r^2}}$$において両辺に同一の $m$ が現れるがためです。しかし、それぞれの $m$ の物理的な意味合いは異なります。左辺の $m$ は物体の慣性、つまり運動状態を保とうとする性質の強さを表し、「慣性質量」と呼ばれるべきものです。対して右辺の $m$ は、重力源としての強さを表すものであり、「重力質量」と呼ばれるべき質量です。まったく異なる物理的属性に関するこれらの量が等しくなければならない理由はどこにもありません。でも実際にはすべての物体において等しいとしてよい、だからこそ両辺から $m$ の値が消えてしまい、すべての物体が同じ加速を得て落下することになるのです。アインシュタインは自分の理論の基礎に据える原理として、この経験事実を捉え、「等価原理」と呼びました。
同じ位置を同じ初速で出発する物体はすべて、その後の任意の時刻に同じ位置を通過するのですが、重力ではない他の力、たとえば風力の下での運動では、こうはいきません。同じ位置を同じ初速で出発したとしても、生じる加速はその形状によって違ってきます。質量、形、組成など、物体に属するもろもろの性質に一切関係のない、同じ軌道をすべての物体が描くというこの事実は、重力に特徴的な性質なのです。
離れた位置にある二つの物体間に力が働くというニュートンによる万有引力の考え方は、われわれ学校教育の段階で刷り込まれて慣れてしまったきらいがありますが、よく考えてみるとかなり奇妙です：われわれが何かに力を及ぼすとすれば、相手に直接触るか、もしくは何か媒介となるもの、棒とかロープとかを通してです。それなしに、いきなり遠方の物体を押したり引いたりできる人を見れば、それは手品かあるいは漫画の世界での出来事としてとらえます。でもニュートンの万有引力の法則に関してだけは、そういう常識を封じ込めてきた、というのが、われわれが受けてきた学校教育の結果です。
アインシュタインはその普通の常識に立ち戻って、重力についてもう一度考え直した人と言えます。太陽や地球のような物質の存在は、それが接する周囲の時間と空間の構造を変容させ、その変容がさらにそれに接する時間と空間に影響を及ぼす、そういう影響の連鎖が、時間的あるいは空間的に遠く離れた時空間の数学的構造を決定し、その構造によってそこにある物体の運動が決定される、という筋書きです。等価原理はこの筋書きを追及してみようという、強い動機を与えます。
ここで「数学的構造」が何たるかが問題になりますが、無重力状態での時間と空間のありようを思い浮かべると自ずと明らかになります：重い星などから十分遠く離れた真空においては、光が常に
$$c=299,792.458 \ {\rm km\cdot s^{-1}}$$の速さで直進することは、よく確かめられています。但し、外力の働いていない物体は常に等速直線運動する、という「慣性の法則」が成立する観測者にとってです - こういう観測者の立場を、今後「慣性系」という言葉で言い表します -。
「光が常に」とさらりと書きましたが、これはわれわれの常識からするととんでもないことです：たとえば線路を走る電車を車で追いかけるとき、こちらの速さによって電車は速くも遅くもなります。極端な場合、電車にピタリと並走するなら、こちらにとって電車は静止します、こちらの時計で時間が経過しても前にも後にも動かない、という意味においてです。光の場合は、そうはならないのです。光をいくら速い乗り物で追いかけても、依然として一秒ごとに $30$ 万キロずつ遠ざかります。従って特に、追いつき、あるいは追い越すことなど決してできません。常識とはかけ離れているにもかかわらず、これは実験によって確かめられる事実なのです。事実は認めざるを得ず、従ってわれわれの常識の方が間違っていると言わざるを得ません。
常識との乖離を、もう少し数学的に表現してみましょう：平らな平面を想定しそこにまっすぐに敷設されたレールとそこを一定の速さで走る列車を考えて下さい。レールを $x$ 軸とみなし、列車の位置を $x(t)$ で表します。但しこの $t$ は、平面上に静止している観測者 - イメージを明瞭に持つために、どこかの駅の駅長さんだとして、その位置は $x=0$ だとします - の持つ時計が指し示す時刻です。もちろん、この駅長さんは回転や加速度運動をしていないと仮定、つまり慣性系であると仮定します。たとえばこの平面が地球上の面であるとするなら、地球自体が太陽の周りを加速度運動しているがために完全な慣性系であるとは言えませんが、ただ光の運動を観測するに必要なほどの十分短い時間においては、高い精度で慣性系であると仮定して不都合は生じないでしょう。
このとき列車に乗っている観測者も慣性系ですが、従って双方ともに慣性系であるこの状況下では、光の速さは同じ値 $c$ でなくてはいけません。簡単のためにレールに沿って $x$ 軸の正の方向へ飛ぶ光を考えるなら、$t=0$ で $x=0$ を出発した光は、その後の時刻 $t$ では $x=ct$ を通過することになります。この同じ光を、もう一方の慣性系である列車の上の観測者 - 車掌だと仮定します - が観測する場合が問題です。この車掌は平面上の駅長さんと全く対等であって、まったく独立に観測を行うとします。光の速さが一定値だという実験事実は、そういう状況において確かめられている事柄だからです。従って時計は車掌さんの持つ時計を、物指は列車の床に張られた巻き尺を用います。その物指の正の方向は $x$ 軸の正の方向と一致させておきます。車掌の時計の指す時刻を $t'$ で、巻き尺の目盛りを $x'$ で表し、車掌さんは $x'=0$ の位置にいるとします。駅長さんの目の前を車掌さんが通過するときが必ずありますが、必要なら適当に時刻を読み替えることにより、すれ違う瞬間、駅長さんの時計は $t=0$ を、車掌さんの時計は $t'=0$ を指していたと仮定します。こう仮定しておけば、$t=0$ の瞬間に $x=0$ を出発する光は、列車の車掌さんにとっても $t'=0$ の瞬間に $x'=0$ の位置を出発することになります。
さて時刻 $t$ に位置 $x$ で何かの出来事が起きたとします。たとえば駅長さんと車掌さんが互いの目の前を通過するとか、光が $x$ の位置を通過するとか、そういう出来事です。その同じ出来事を車掌さんが観測して、$t'$ の時刻に位置 $x'$ で起きたとします。すると、まず $t'=t$ です、時間の進み方は駅長さんにとっても車掌さんにとっても同じと考えられるからです。更に、
$$x'=x-vt$$のはずです。$v$ は駅長さんから見た列車の速度です。
同じ出来事が駅長にとっては時刻 $t$ に場所 $x$ で起き、車掌にとっては時刻 $t'$ に場所 $x'$ で起きるとするなら、$(t, x)$ と $(t', x')$ の間に成り立つと考えられる関係式
$$t'=t, \hskip 5mm x'=x-vt$$は、「ガリレイ変換」と呼ばれています。ただ、これが正しいとすると、車掌さんにとっての光の速さが $c$ ではなくなります。何故ならば、光が時刻 $t$ に $x=ct$ を通過するという駅長さんにとっての出来事は、車掌さんにとっては $t'=t$ に
$$x'=x-vt=(c-v)t$$で起きることになり、光の速さは
$${{移動距離}\over {所要時間}}={{x'}\over {t'}}=c-v$$であって、$v=0$ でない限り $c$ と異なるからです。
ガリレイ変換は極々常識的に考えて自然に得られる変換式です。しかしそれがすべての慣性系から見て光の速さが常に $c$ であるという実験事実と相いれない以上、この変換が間違っている、つまりそれを導き出してきた常識が間違っていると考えざるを得ません。そこで、もし正しい変換式を導き出すことができれば、それを解釈することにより、われわれの常識のどこが間違ってるのかも明らかにできそうです。
まず、$t'=t$ とする限り、上の計算式はほとんど必然的であり、困難を解決することは難しそうです。この等式を認めた背景には、時間は止まっている人にも動いている人にも同じように流れる、という常識があります。確かにわれわれが電車や飛行機に乗って旅行に出かけて帰ってきても、浦島太郎のような経験をすることはありません。もし浦島太郎のように知り合いが一人もいない世界へ帰ってくるのであれば、つまり未来の世界へ帰ってくるのであれば、移動中の時間の進み方が故郷の人々にとっての時間の進み方と違うことになります。後者に比して前者の進みがゆっくりしていることになります。でも、そんな経験をした人はおそらくいません。そういうこともあって、$t'=t$ と考えるのが常です。
しかし、よくよく考えるとわれわれの経験は非常に限られています；移動すると言っても、われわれの移動は非常にゆっくりとした速さです。特に光速 $c$ に比較すれば微々たる速さです。例えば新幹線の速さはせいぜい時速 $300$ キロです、秒速に直すと $100$ メートルにも満たない、$c$ との比は約
$${v\over c}=0.00000027$$一千万分の三以下です。このような小さな速度での運動から得られた経験をすべての場合に適用するときは慎重でなくてはいけないはずです。
そこで $t'=t$ を少し変形して
$$t'=t-\alpha x$$である可能性を探ってみましょう。限られた我々の経験の範囲では、ついつい見落としてしまう、でも、$v$ が $c$ と比べて遜色ない速さの場合には無視できない、そういう $\alpha $ の可能性をです；$x'=x-vt$ はそのまま使うとして、
$${{x'}\over {t'}}={{x-vt}\over {t-\alpha x}}={{c-v}\over {1-\alpha c}}$$が $c$ に等しくなるためには
$$\alpha ={v\over {c^2}}$$であればいいことになります。従って
$$t'=t-{v\over {c^2}}x$$です。両辺に $c$ をかけて
$$ct'=ct-{v\over c}x$$に直すと、この付加的項が、$v$ がわれわれが経験できる移動手段の速さの場合には、見落とされるであろうことは納得できます。光の運動を追うとき、$ct$ と $x$ は同程度の大きさと考えられますが、$v/c$ は $1$ と比べて極めて小さな値です。従って $ct-(v/c)x$ は $ct$ とほとんど見分けがつかないことになるからです。
ガリレイ変換に代わる変換として
$$t'=t-(v/c^2)x, \hskip 5mm x'=x-vt$$を考えれば、駅長さんにとって速さ $c$ で飛ぶ光は、それを追いかける電車の車掌さんにとっても、やはり速さ $c$ で遠ざかることになります。常識ではあり得ないことが、付加項
$$-(v/c^2)x$$のお陰で可能になったのです。ただこの形のままだと少しおかしなことが起きます。この変換式を $t, x$ について解くと
$$t={{t'+(v/c^2)x'}\over {1-(v/c)^2}}, \hskip 5mm x={{x'+vt'}\over {1-(v/c)^2}}$$となります。駅長さんと車掌さんはどちらも慣性系の上の観測者という意味で対等です。従って、一方から他方への変換式は同じ形をしている必要があります。つまり、分母に現れる $1-(v/c)^2$ は余分なのです。この不都合は
$$t'={{t-(v/c^2)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 5mm x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$と修正すれば解消できます。これを逆に解いても
$$t={{t'+(v/c^2)x'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 5mm x={{x'+vt'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$が得られるからです（$v$ の符号が変わっている点は当然のことです。駅長さんにとって電車が正の方向へ運動するのであれば、車掌さんにとっては駅長さんは負の方向へ運動するからです）。ガリレイ変換に代わる変換として得られたこの変換式は、その発見者にちなんでローレンツ変換と呼ばれています。百年以上前の発見ですが、その正しさは今や確立されています。次にすべきことは、この式の助けを借りて、われわれの常識のどこが間違っていたのかを明らかにすることです。
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