子どものころ体育の時間にグラウンドに石灰で直線を引く手伝いをさせられた人は少なくないと思います。ただ、最近はあのような手伝いを生徒にやらせることはないかもしれません。念のために「ライン引き」の道具を説明しておきます：縦横が十センチ程度、高さが二十センチ程度の小さな箱に車軸が通っていて、その両端に直径十センチに満たない小さな車輪がついています。箱には長さが一メートル程度の取っ手が付いていて、それを手にして押して歩くのです。歩くにつれて、箱に入れた石灰が箱の底の穴から少しづつこぼれるように細工がしてあり、後ろを振り返ると、まっすぐな白い線がグラウンドに残っている、というわけです。押して歩くとき、二つの車輪をしっかり地面につけて、つまりどちらも空回りしないように押すことが肝心ですが、そのように歩く限り地面に直線を引くことができます。実際には小さな石ころがあったりして、地面にしっかりつけて歩くことがなかなか難しいのですが・・。
このライン引きの器具（必要なら、サイズをぐっと小さくするとして）をグラウンドのような平面だけでなく、起伏のある曲面、例えば球面とか壺の表面のような曲面上で使うとき、『進行方向が左右にぶれない』経路が描ける、そのような経路を「測地線」と呼ぶ、と説明してきました。ここではライン引きで確かに『進行方向が左右にぶれない』経路が描けることを、少し数学的に示してみようかと思います。
まず、『進行方向が左右にそれない』という、かなり直観的なイメージを、数学的に表現することが必要です：球面や壺の表面のように、3次元ユークリッド空間 ${\bf R}^3$ 内に埋め込まれた滑らかな曲面を考えますが、その曲面上の点は ${\bf R}^3$ の原点 $O$ から引いたベクトルの終点で表します。たとえばライン引きの二つの車輪の描く経路は、原点 $O$ から引いたベクトル
$${\bf a}(s),\hskip 5mm {\bf b}(s)$$の終点として表します。$s$ はパラメーターで、任意に定めてよいと思われますが、おそらく、それぞれの経路上に定めた定点から経路に沿って測った長さを $s$ と約束しておくと、後々便利なはずです。
石灰のこぼれ落ちる口の位置を ${\bf c}(s)$ で表します。${\bf a}(s), {\bf b}(s)$ の中点であるとし
\begin{equation} {\bf c}(s)={1\over 2}\left[ {\bf a}(s)+{\bf b}(s)\right] \label{eq:csnodef} \end{equation}とするのが妥当でしょう。この経路 ${\bf c}(s)$ の進行方向は、ベクトル
$${\bf c}'(s)={{d{\bf c}}\over {ds}}(s)=\lim _{\Delta s\rightarrow 0}{{{\bf c}(s+\Delta s)-{\bf c}(s)}\over {\Delta s}}$$によって表すのが妥当でしょう。右辺の定義からわかるように、このベクトルは点 ${\bf c}(s)$ においてこの経路に接するベクトル（「接ベクトル」と呼ぶ）だからです。よって「進行方向の左右のぶれ具合」について考えるには、もう一度微分した
$${\bf c}''(s)={{d{\bf c}'}\over {ds}}(s)$$が役立ちそうです。たとえば、すべての $s$ について
$${\bf c}''(s)=0$$が成り立つのであれば、接ベクトル ${\bf c}'(s)$ が一定で変化しないことを意味します。このとき、${\bf c}(s)$ によって表される経路は三次元ユークリッド空間内で直線であることになります。ただこのケースは考えている曲面が平面である特別な場合にしか起き得ません。それは球面上を歩く場合を考えれば明白です。平面以外の曲面でも通用する推論でなくてはいけません。
『左右にそれることがない』で言う「左右」とは、曲面上に立つ人にとっての左右です。つまり ${\bf c}''(s)$ を、点 ${\bf c}(s)$ で曲面に接する方向のベクトルと垂直な方向のベクトルの和で表すとき、接する方向の成分が $0$ であればよさそうです、垂直な方向の成分だけが残るのであればよさそうです。念のために確かにそうであることを、少し丁寧に説明しておきます： ベクトル ${\bf c}''(s)$ を点 ${\bf c}(s)$ で曲面に接する方向のベクトルと垂直な方向のベクトルの和で表して
$${\bf c}''(s)={\overline {{\bf c}''(s)}}+{\bf c}''_{\perp }(s)$$とします。接する方向の成分が $0$ ベクトルだと仮定すれば任意の $s$ について
$${\bf c}''(s)={\bf c}''_{\perp }(s)$$です。
さて $s=0$ から $s=s$ までに接ベクトルがどれだけ変化するかというと
$${\bf c}'(s)-{\bf c}'(0)$$です。これは積分で表すと
$${\bf c}'(s)-{\bf c}'(0)=\int _0^s{\bf c}''(s)ds$$です（ベクトル ${\bf c}'(s)$ の各成分に微分積分学の基本定理を適用してください）が、今 $${\overline {{\bf c}''(s)}}={\bf 0}$$
を仮定しています、従って
$${\bf c}'(s)-{\bf c}'(0)=\int _0^s{\bf c}''_{\perp }(s)ds$$となります。これは、接ベクトルの全変化量が、曲面に垂直なベクトルを無限個足し合わせたものに等しいことを意味します。つまり、各点で進行方向を左右に変化させることなく、$s=0$ から $s=s$ まで経路をたどることができるのです。
積分の意味について、もう一息はっきりとしたイメージが描けない人は、積分の定義に戻れば助けになります：区間 $[0, s]$ を $n$ 等分する分点を
$$0=s_0 < s_1 < s_2 < \cdots < s_{n-1} < s_n=s$$とすれば、上記の積分は $n$ を限りなく大きくするときの
\begin{equation} \sum _{i=1}^n{\bf c}''_{\perp }(s_{i-1})\left( s_i-s_{i-1}\right) \label{eq:sumi1ncdashda} \end{equation}の極限のベクトル（限りなく近づく行き先のベクトル）を表します。(\ref{eq:sumi1ncdashda}) 式は曲面に垂直なベクトルを $n$ 個足し合わせたものですが、その状況は $n$ をいくら大きくしても変わりません。従ってその極限のベクトルは、経路上の各点での曲面に垂直なベクトルを足し合わせたものになっている、と解釈できるのです。
さて、ライン引きでもって引ける経路 ${\bf c}(s)$ の接ベクトルの面方向の成分が、確かに $0$ ベクトルであるかどうかを考えてみましょう：ただ、ここで次の疑問が浮かぶはずです。二つの車輪の位置をベクトル ${\bf a}(s), {\bf b}(s)$ で表し、それらの中点を ${\bf c}(s)$ と定めた。しかし、曲面には凹凸があるのだから、曲面上の二点の中点が必ずしも曲面上にあるとは限らない、という疑問です。確かにその通りで、このままでは ${\bf c}(s)$ は曲面上に乗っていないかもしれません。この不都合を解消するために、車軸の長さが短いライン引きについての ${\bf c}(s)$ を考え、その長さを限りなく $0$ に近づけるときの ${\bf c}(s)$ の極限として定まる経路を、${\bf c}_0(s)$ で表します。${\bf c}_0$ は曲面上に乗ると考えられ、ライン引きによって描ける経路は、実は ${\bf c}_0$ だと考えるべきでしょう。よってこれから
$${\overline {{\bf c}_0''(s)}}={\bf 0}$$を示すこと、つまり ${\bf c}_0''(s)$ が点 ${\bf c}_0(s)$ において曲面に直交することの証明を目指します。
曲面はその上の各点において、二つの方向に広がっています。つまり、その点で接する二つの独立な方向のベクトルをとれば、その点で接する他の任意のベクトルはそれら二つの線形結合（各々に適当な数をかけて足して得られるベクトル）で表されます。
点 ${\bf c}_0(s)$ における独立な二方向としては、まず接ベクトル
$${\bf c}_0'(s)$$が浮かびます。従って
\begin{equation} \left( {\bf c}_0''(s), {\bf c}_0'(s)\right) =0 \label{eq:d2c0ds2todc0ds} \end{equation}を示す必要があります。括弧はユークリッド空間 ${\bf R}^3$ での普通の内積とします。
独立な二方向のもう一つとして車軸の方向が使えそうです：そこで
$${\bf h}(s)={\bf a}(s)-{\bf b}(s)$$と置きます。車軸の方向のベクトルで、
$$\Vert {\bf h}\Vert ={\sqrt{\left( {\bf h}(s), {\bf h}(s)\right) }}$$が車軸の長さです。この $\Vert {\bf h}\Vert $ は $s$ には依存しません。曲面の凹凸のために、${\bf h}(s)$ が曲面に接するとは必ずしも言えません。しかし車軸の長さ $\Vert {\bf h}\Vert $ を限りなく $0$ に近づける極限では曲面に接するはずです。ただそのとき、ベクトル ${\bf h}(s)$ の極限のベクトルは $0$ ベクトルであり、曲面に接する方向を引っ張り出すことができません。そこで
$${\bf e}(s)={1\over {\Vert {\bf h}\Vert }}{\bf h}(s)$$と置きます。このベクトルならいつでも長さが $1$ であって、$\Vert {\bf h}\Vert $ を限りなく $0$ に近づけたとしても $0$ ベクトルにならずに残ります。つまり、その極限のベクトルを
$${\bf e}_0(s)$$で表すなら、これは ${\bf c}_0(s)$ において曲面に接する方向を表します。よって
\begin{equation} \left( {\bf c}_0''(s), {\bf e}_0(s)\right) =0 \label{eq:d2c0ds2toe0} \end{equation}も示す必要があります。
よって、(\ref{eq:d2c0ds2todc0ds}) 式
$$\left( {\bf c}_0''(s), {\bf c}_0'(s)\right) =0$$と、すぐ上に書いた
$$\left( {\bf c}_0''(s), {\bf e}_0(s)\right) =0$$が証明できれば、${\bf c}_0(s)$ の進行方向が左右にぶれないことを確かめたことになります。
まず
$$\left( {\bf c}_0''(s), {\bf c}_0'(s)\right) =0$$を確かめましょう：この左辺は
$$\left( {\bf c}_0'(s), {\bf c}_0'(s)\right) $$を $s$ に関して微分して得られるので、この内積の値が $s$ に依存しない定数であることが言えれば一件落着です。車軸の長さを短くするに従い、両輪の接地する曲面の範囲は ${\bf c}_0(s)$ の近くの狭い範囲になり、その範囲だけを見る限り平面と見分けがつかなくなるはずです。その範囲で車輪の描く経路は、平面上の平行線と見分けがつかなくなり、 ${\bf a}'(s), {\bf b}'(s)$ はほぼ平行なベクトルになります。車軸を短くすればするほどこの近似の精度は上がり、${\bf a}'(s), {\bf b}'(s)$ はともに ${\bf c}_0'(s)$ に限りなく近づくと考えられます。一方、${\bf a}'(s), {\bf b}'(s)$ の長さは常に $1$ です、$s$ を車輪がたどる長さと定義したがためです。よって ${\bf c}_0'(s)$ の長さも $1$、つまり
$$\left( {\bf c}_0'(s), {\bf c}_0'(s)\right) =1$$です。
次に
$$\left( {\bf c}_0''(s), {\bf e}_0(s)\right) =0$$の証明にかかりましょう：車軸の長さを限りなく $0$ に近づける前の段階を考えて、
$$\left( {\bf c}''(s), {\bf e}(s)\right) =0$$が任意の $s$ について言えればよさそうです。何故ならば、車軸の長さを限りなく小さくするにつれて ${\bf c}''(s)$ は ${\bf c}_0''(s)$ に、${\bf e}(s)$ は ${\bf e}_0(s)$ に、それぞれ近づくからです。ここで
$${\bf e}(s)={1\over {\Vert {\bf h}\Vert }}{\bf h}(s)$$です、よって
$$\left( {\bf c}''(s), {\bf h}(s)\right) =0$$を示せばよいことになります。
ここで
$${d\over {ds}}\left( {\bf c}'(s), {\bf h}(s)\right) =\left( {\bf c}''(s), {\bf h}(s)\right) +\left( {\bf c}'(s), {\bf h}'(s)\right) $$に着目できれば、
$$\left( {\bf c}', {\bf h}'\right) ={1\over 2}\left( {\bf a}'+{\bf b}', {\bf a}'-{\bf b}'\right) =0$$と
$$\left( {\bf c}', {\bf h}\right) ={1\over 2}\left( {\bf a}'+{\bf b}', {\bf h}\right) =0$$から、
$$\left( {\bf c}''(s), {\bf h}(s)\right) =0$$が結論できます。但し、$s$ が長さを表すパラメーターであることから
$$\left( {\bf a}', {\bf a}'\right) =\left( {\bf b}', {\bf b}'\right) =1$$であり、車輪の進む方向は車軸に直交することから
$$\left( {\bf a}', {\bf h}\right) =\left( {\bf b}', {\bf h}\right) =0$$であることを思い出してください。
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