等価原理は単に「時空間における測地線」の存在を暗示するだけではなく、無重力状態が案外身近に存在することを教えてくれます：地球や太陽からも遠く離れ、近くに星がまったくなくてどんな物質からの重力も受けていないと考えられるような、そんな宇宙の果てにいると想像してみてください。そういう状況は、いわゆる「無重力」の状況であって、あなたの周りのすべての物体は、あなたにとってじっと静止しているか、あるいはある一定の速さで直線上を運動しているかのどちらかです。そのことはかなり容易に納得できるのではと思います。ある物体にあなたが押したり引いたりして力を加える、あるいは他の物体と衝突などして力が加わるときには、速さや進行方向が変化します、その意味で加速が生じます、でもそうでない限り、あなたにとって、等速直線運動をするのです。
この無重力状態を現代のわれわれは時々テレビ中継で見る機会があります。日本人宇宙飛行士が話題になるとき、地球の上空を周回する宇宙ステーションの船内がテレビで中継されることが時々あります。私も、随分前のことですが彼らがする実験を見て鮮烈な印象を持ったことを覚えています。船内にぷかぷか浮かんだ一人の飛行士が手に持った水の入ったコップをそっと手放しました。するとそのコップは飛行士の目の前でじっと動かず、ただ浮かんでいました。あの光景は、今にして思うと、等価原理そのものだと言えます。宇宙船の船体、その中の飛行士、そしてコップや水、それらすべてが地球の重力の下でまったく同じように加速して落下しているからこそ見られる光景だからです。
ここで「落下」という言葉に違和感を覚えるかもしれないので、念のために一つ注意です：もし宇宙ステーションの最初の状態が地球に対し静止しているのであれば、そのまま真下に向けて加速が始まり、コインやテイッシュと同じように落下して地球表面に激突します。でもコインや石ころを横方向に勢いよく投げれば、落下点はかなり遠くになります。横方向の速さを徐々に大きくしていけば、落下点はどんどん遠のきますが、ところが地球は丸いので、ある速さに到達するときついには地面に衝突することなく、地球をぐるぐる回るようになるはずです。この状態が宇宙ステーションの状態だと言えます。どのくらいの速さで打ち出すとこの状態が得られるかを、地球が半径 $6000$ キロの球体であるとしてニュートンの力学法則を用いて計算してみると、約 $8\ {\rm km\cdot s^{-1}}$ になります。人工衛星を打ち上げるとき、ロケットの噴射によってこの程度の大きさの横方向の速度を与えることが必要なのです。
飛行士は次のような実験も見せてくれました：コップを宙に浮かせた後、次にコップを持って静かに後ろに引いたのです。すると水だけが丸い塊となってその場所に残り、ぶよぶよと振動しながら浮いているのです、飛行士がその塊を手のひらでそっと押すと、その塊は電灯の灯にキラキラ輝きながら動き出し、まっすぐに同じ速さで進んでいくのです。なかなか印象的でした。
あの光景から次のことが確信をもって言えそうです。つまり、飛行士たちが船内で起きる現象を見ている限り、彼らは自分たちが宇宙のかなたに浮かんでいるのか、あるいは地球の周りの軌道上を落下しているのか、判断できない：もちろん、窓から外を見れば判断できます。しかし、そうしない限り、その判断はできないでしょう。もし仮に、等価原理が成立せず、重力の下で他の物体と違う加速を得る物体が一つでもあれば、その助けをもってそうした判断ができるはずです。しかし、等価原理が成立するのであればそのような判断は不可能なはずです。
ロケットを噴射するなどせず、重力に任せて落下することを「自由落下」と呼びます。自由落下する宇宙船の内部は無重力状態であり、そこで起きる現象は宇宙のかなたで起きる現象と同じだということから、アインシュタインは実に巧みな、誰にでもわかる簡単な推論によって、興味深い事柄をいくつか導き出しました。ここでは、重力は光の経路さえ曲げることを導く推論を紹介します。
等価原理についてここまでは、物体が落下するというような力学的現象だけを考えてきました。しかしアインシュタインはここで、次のような論理的飛躍を行います：つまり、物体の運動についての力学的現象のみならず、光の運動や、あるいは何らかの物質の化学的変化、あるいは人間の老化のような生理的現象等々、すべての物理現象について、自由落下する宇宙船の内部でそれらを見ている限り、自分が宇宙の果てにいるときとの区別がつかないと仮定するのです。従って特に、光は
$$c=299,792.458\ {\rm km\cdot s^{-1}}$$の速さで直進運動すると仮定します。もちろん、時間の経過は船に固定された時計で測り、距離を測る際にも宇宙船に固定された物差しを使います。『船の内部で見ている限り区別がつかない』という仮定はそのことを意味します。また、たとえば放射性物質の時間的変化についても同様です。最近の原子力発電所の事故ではウランのような放射性物質が外に漏れだし、住民に大きな被害を及ぼしました。そのような物質の各原子は自ら放射線を放出して他の物質の原子に変化します。その際放出する放射線がわれわれの体に悪さをするために非常に怖いのですが、放射性物質を用意するとき、原子の個数が最初の個数から半数の個数にまで減少する時間間隔を「半減期」と呼びます。ウランの場合だと $45$ 億年で、ほとんど永久的に放射線をまき散らします。それがために、影響が半永久的に続くという意味で、非常に怖いのです。対照的に短いものには、宇宙から降り注いでいる宇宙線の中に含まれているミュー粒子があって、$2.2\times 10^{-6}\ {\rm s}$ です。これらの放射性物質の半減期についても、宇宙船が地球の重力圏を自由落下している場合と、宇宙のかなたで浮かんでいる場合とで違いは生じないと仮定します。つまり、どちらの場合も、ミュー粒子の原子をたくさん容器に入れて船内に用意すると、船内に固定された時計が百万分の $2.2$ 秒経過するごとに、原子の個数は半分になり、そしてまたその半分になる、というように減っていくのです。
この仮定が正しいものであるかどうかは、そこから得られる結論が自然界で実際に起きる現象とよく合致するかどうかで判断します。数学の場合は論理的矛盾が生じるかどうかで仮定の正しさを判断しますが、物理の場合は自然界の現象をも考慮して判断する必要があります。従って、たとえば新たな物理現象が発見され、その結果、それまでは受け入れられていた仮定が捨てられる、というようなことも起こり得ます。これは、物理学での推論の宿命であり、面白い点でもあります。
さて光線の進路が重力によって曲げられることは、この仮定を使うと、次のように実に容易に推測できます：光の経路の湾曲が実際に起きていることが、太陽の表面をかすめて遠方の星から届く光を観測することにより、後に確認されました。ここでも太陽を考え、太陽の中心を通る軸に沿って自由落下する直方体の箱に対し上で述べた仮定を適用して考えます。推論を易しくするために、箱の床と天井はその落下軸に直交するとします。さて、その箱が太陽表面の上空のある位置から落下を開始するとして、その落下開始の瞬間、箱の壁の隙間から射し込んだ光があったとします。その光は壁に垂直な方向から射し込み、天井と床に対して平行な方向へ進みだしたとします。問題はその後の光の経路です。
まず、箱の中の観測者 $A$ にとっての経路を考えます。アインシュタインの仮定によれば、$A$ にとって箱の中では、光についての現象もまた宇宙のはてでの無重力状態でと同じように起きます。よって入射後の光は入射時の進行方向をそのまま保って直進するはずです。つまり天井、あるいは床に平行なまま進行して反対側の壁に到達し、その隙間から外へ出ることになります。
さて、この光の経路を、 $A$ ではなく太陽に対して静止している観測者 $B$ が見るとき、どのように見えるかを考えてみます：$A$ にとって光は箱の床や天井に平行に進む、しかし $B$ にとっては、その床、あるいは天井自体が光が箱の中を通過する間に徐々に太陽の方向に移動します。従って $B$ にとっては、箱を出てきたときの光線の進行方向は、箱に入射するときの進行方向と違うはずです。
光が太陽を離れてその影響を脱した後の進行方向は、太陽に近づくずっと前の進行方向をそのまま延長した方向から太陽の側へずれるのですが、その角度は上の推論方法を用いるある近似計算で、約 $0.87$ 秒角になります（昨年の６月１７日の記事で計算した通りです）。ちなみに、月の直径は約 $3500$ キロで、$38$ 万キロ離れた地球からその両端を見るとき、視線の開きは $30$ 分、すなわち $1800$ 秒角です。光の経路が湾曲すると言っても、ごくわずかなものであることがわかります。しかし、いくら僅かであってもあるのとないのとでは大違いです。
$0.87$ 秒角はかなり荒っぽい近似計算の結果です。何度か説明してきたことですが、光の経路もまた時空間での測地線になります。そのことを使って数学的にもっと正確な計算をしてみると、$1.75$ 秒角が得られます（この計算は昨年１０月２日の記事でしました）。太陽表面をかすめて遠方の星からやってくる光について測定し、光が実際にこの角度で湾曲することが、高い精度で確かめられたのが 1919 年のことです。
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