新年のあいさつに代えて、最近浮かんだ、海のものとも山のものとも判然としないアイデアを紹介します。歳のせいかと思うのですが、最近は机に向かって考えていても知らぬ間にうとうとしてしています、というか、それ以前に、机に向かう時間そのものが、その日その日を生きるための雑用に追いまくられて、ほとんど取れません。考える時間といえば、車を運転しているときとか、台所で皿洗いしているときとかです。中でも、特に面白いアイデイアが浮かぶのが、ジョギングの最中です。以下のアイデイアも昨日走り初めの最中に浮かびました。ただ、明日には決定的な穴が見つかって、没になるかもしれないのですが・・・。
クルスカル座標系を図示して $II$ 領域、つまり $r < a$ のブラックホール、の内部の点 $P$ から発する光円錐を考えます。原点 $u=v=0$ を $O$ で表し、$O$ から発して $P$ を通過する半直線 $OP$ を考えて下さい。$P$ から発する光円錐の枠の内左側、つまり傾きが $45$ 度の右下がりの直線（実際には $\theta , \phi $ の自由度も加えて三次元の領域になりますが）は、$I$ 領域（$r > a$ の領域）から $r=a, t=+\infty $ の領域を通過して $r=0$ の点へ向かう光の通り道です。ここを突き進むにつれて、$t$ 座標の値は減少します。一方、光円錐の枠にはもう一つの右側、つまり傾きが $45$ 度の右上がりの直線があり、もしここを通過する光があるならば、その $t$ 座標は増加します。点 $P$ が $I$ 領域、つまり $r > a$ のわれわれの住む領域、内にある場合は事情が異なります。光円錐の枠のどちら側を通過しようが必ず $t$ 座標の値は増加するのです。その場合、増加したり減少したりするのは $t$ ではなく、$r$ の値です。これはわれわれが常に慣れ親しんでいることで、とかくいつでも真であるかのように思っていることです。しかし、実はブラックホールの内部に踏み込んでしまうとそうではないのです。その領域では $t$ が増えたり減ったりし、代わりに $r$ の値が常に減少します。その意味で $t$ と $r$ が役目を交換するのです。
話を元に戻して、$r < a$ の領域内の点 $P$ を発する光円錐を考えましょう。$r > a$ の領域からやってきて $P$ を通過する光が、光円錐の左側の端を上へ向かって進むことは既に述べた通りですが、光のみならず正の質量の物体も、この光円錐の内部を上に向けて進みます。但し、直線 $OP$ の左側の領域内に限られます。$OP$ の右側の領域を進もうとすると $t$ が増加することになり、$I$ 領域からやってきた物質には許されないのです。つまり、$I$ 領域からやってくる光でも物質でも、必ず直線 $OP$ の左側の光円錐内を運動することになります。
でも、光円錐内の領域には $OP$ の右側も残っています。この部分を運動する光や物質はないのでしょうか？実は、クルスカル座標系の図を描いてみればすぐわかりますが、この部分を運動する光や物質は、$r=a, t=-\infty $ の領域を通過して $III$ 領域から入り込んできた光や物質です。もし $III$ 領域をわれわれの住む時空と同一視するなら、結局、われわれの時空から $r=a, t=-\infty $ の領域を通過してブラックホールの内部に落ち込む光や物質の通り道が直線 $OP$ の右側だということになります。
$t=-\infty $ の領域、つまりわれわれの時間が生じる以前の領域を通過する光や物質を考えることなど、ナンセンスだと切り捨てることはもちろんできます。しかしそうすると光円錐の内部を、$OP$ の左と右で区切って、左は光や物質の運動で満たされるが、右を運動するものは何もないと考えることになります。ところで、自由落下する観測者を想定し、彼の世界線が $P$ を通過するとします。そのとき、彼が設定する座標系での光円錐の境界部分と、クルスカル座標系での光円錐の境界部分とは、$P$ からの時空距離が $0$ の時空領域は任意の座標系に対して同じだということから、一致するはずです。つまり、二つの光円錐の内部は時空点の集合体としては一致しなくてはいけません。従って、もし、クルスカル座標系での光円錐が直線 $OP$ の左と右で非対称な物理的性質を持つのであれば、自由落下する観測者にとっても、自分の光円錐の内部が二つに分かれて、非一様な物理的現象を観測することになると言わざるを得ません。
ここでどうしても思い出されるのが「等価原理」です。重力場内を自由落下する観測者にとっては、もちろんその無限小の近傍に限られる話ですが、特殊相対論が成り立つはずです。われわれの身近な範囲で観測される経験則である等価原理を、ブラックホールの内部にまで押し広げて考える必然性はないと言えば言えますが、そもそも一般相対論がこの原理を前提としている以上、この原理をブラックホールの内部で堅持したとしても論理的矛盾は生じないはずです。
＊＊＊＊ １月５日追記 ＊＊＊＊
ここから後に書いたことには致命的な過ちがあります。特殊相対論の記述する時空間は、幾何学的な意味ではもちろん一様だと言えます。しかしそのことと、物理的な現象がいたるところで一様に生じることとは全く別の事柄です。それを混同して書いてしまいました。破棄すべきですが、自戒の念も込めて、このまま置いておこうかと思います。
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もしそうするのであれば、この観測者にとっての光の通り道である光円錐の壁はどこでも対等であり、『壁の一部は光で満ちているが、でも残りを通る光はない』というような現象は生じないはずです。従って、クルスカル座標系での光円錐においても、左側の壁のみならず、右側の壁を運動する光も存在することになります。つまり、$r=a, t=-\infty $ の領域を通過してブラックホールへ入り込んでくる光はあるはずなのです。光のみならず、正質量の物質についても同様なことが言えます。
この結論は、等価原理をブラックホールの内部にまで敷衍して考える限り、避けがたいものに思われます。しかしその結果は少々恐ろしいものになります：$t=-\infty $ の領域を通過してブラックホールの内部に入り込む光や物質があるということは - $III$ 領域と $I$ 領域を同一視するという前提に立つなら - われわれの時空を $t$ が減少する方向に運動する光や物質があって、それらが $t=-\infty $ の領域を通過してブラックホールに入り込むことを示すと考えざるを得ません。$r=a, t=-\infty $ の領域の内部でそのような光や物質が生み出されるとは考えづらいからです。われわれの時空では、$t$ が減少する方向はわれわれの固有時が減少する方向を意味します。つまり、われわれが若返る方向に向かって時空を運動する光や物質があることになります。これはどう捉えるべきことでしょうか。
私の正月はこんなことを考えながら過ぎていきます。なんとも、実に、ありがたいことです。
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