数学を教える立場の人がこんな楽しさに気づいてくれたら、という私の願いを、少し書いてみます：子どもたちを競争に駆り立てる具としての数学以外に、もっと朗らかな楽しい気分で自分自身の感動を語ることのできる、数学のそんな可能性について論じてみたいのです。
ガリレイは次のように言ったそうです：『自然という書物は数学という言葉で書かれている』。文字通りにとらえるなら、数学を知っていれば自然の仕組みが、自然の理が理解できる、逆に、知っていないとその望みは薄い、ということになります。アインシュタインの理論に時間と空間を扱った「相対性理論」と呼ばれる理論があります。時間の遅れとかブラックホールとかの、常識で考えたのでは想いもつかない物理現象を予言し、そしてそれらすべてが今やますます確かなこととして確かめられつつある、そういう理論です。その相対論は、物理学としての内容に焦点をあてる限り、なかなか難しい理論です。しかし、そこに使われている言葉にまず焦点を当てると、つまり記述の数学的な意味を、例えば簡単な数学的モデルを通して理解することから始めると、実にスムーズに入っていけます。相対論の「言葉」は、例えばある半径の球面とか、あるいは壺の表面のような、一般的には二次元の曲面上の幾何学です。
曲面上の幾何学についてイメージを描いていただくために、簡単な例を挙げてみます：小学生や中学生のころ、体育の授業でグラウンドに石灰で白線を引く手伝いをさせられた経験を持つ人は、おそらく少なくないと思います。あのとき、小さな車輪が二つ、両脇についた道具をゆっくり押して歩いたのですが、二つの車輪が空回りしないよう歩く限り、まっすぐな線を描くことができました。ここで体育の授業を飛び出し、グラウンドを突き抜けてどんどん歩くとし、その様子を頭に描いてみてください。もちろん地球上を歩くのですから、山あり谷あり起伏のある曲面上を歩くことになります、がここではいったん、地球表面をある半径（約６千キロです）のきれいな球面だと考えてみます。そのときにできる石灰の跡は、いわゆる「大円」と呼ばれる球面上の線の一部になります。大円とは球の中心をとおる平面によって球面を切る切り口で、赤道や、経度が一定の経線がその例です。何故大円になるのかは、そのライン引きをゆっくり注意深く押す限り、わずかに離れた二つの車輪が同じ距離を進むことを考えれば、大体納得できると思います。大円から外れようとすると、どちらかの車輪を浮かせる必要があるのですが、その感触がわかれば、白線が描く経路が大円であることを納得できるはずです。もっと言えば、通過する各点で次の一歩を踏み出す方向が、直前での正面方向から左右にぶれないように歩くときできる経路が大円だとも言えます。その歩き方をするための一つの道具が、あのライン引きの道具だったというわけです。
地球表面を球面とみなして考えてきましたが、その近似を取り払えば、山や谷のある起伏に富んだ曲面を歩いていることになります。でもその場合でも、『正面方向から左右にぶれない方向へ進む』という性質はそのまま生き残ります。従って、球面と限らず一般の曲面においても、進行方向が左右にぶれない経路が定義できるのです。
このような経路、あるいは曲線は「測地線」と呼ばれます。測地線を中心的な概念として作られる数学が、曲面上の幾何学です。曲面が平らな平面の場合は特別で、その場合の測地線は直線であり、その上の幾何学は、小学生の頃以来親しんできた、「ユークリッド幾何学」です。逆に言えば、ユークリッド幾何学の直線の概念が、曲面上においても定義できて、それを測地線と呼ぶのです。
平面の直線の場合、その上の二点を取るとき、その二点間を結ぶ最短の経路はその直線に一致します。まったく同じ性質を、任意の曲面上の測地線も持ちます。つまり、測地線上に任意に二点を定めるとき、その二点にピンを立て、一方の根元に結び付けた糸を他方の根元に沿わせてぴんと張れば（二点が十分に近いことと糸が曲面を離れないよう工夫するという前提で）、糸の通り道がピンの間の測地線に一致するのです。これを直観的に納得するためには、地球儀を利用するのも一つの手です。赤道上の二点にピンを立て実際に糸を使って実験してみることです。
曲面上の幾何学についてはこのくらいにして、しばらく置くとして、相対論の紹介に戻りましょう：「等価原理」についてはもう何度も書きましたが、書き方を少しづつでも洗練したいという思いもあって、もう一度復習します。たとえばコインを左手に、小さく丸めたテイッシュを右手に持ち、同じ高さから同時に手放してください。重いコインは速く、軽いテイッシュはゆっくり落ちて、結果的にコインの方が早く床を打つ、と思うかもしれません。でも、実際にやってみればすぐわかりますが、二つは同時に床を打ちます。歴史的には、ガリレイがピサの斜塔の上から鉄球と木球を同時に落とし、それらが地面を同時に打つことを見せて見物人を驚かせた実験として有名です。
ギリシャ時代からの権威であったアリストテレスの学説によれば、重いものは速く、軽いものはゆっくり落ちるということでした。確かにコインとテイッシュではコインはすとんと、テイッシュはゆっくりゆらゆら落ちます。でもそれは、テイッシュが空気の抵抗を受けやすい形をしているからであって、たとえば固く丸めるなどして、その抵抗をできるだけなくすよう工夫するなら、同時に床を打つことを確信できます。つまり、 重力以外の力を受けずに落下する物体は、その軽重、組成、形、などの諸性質に関係なく、同じように加速して運動するのです。経験から得られるこの事実を「等価原理」と呼び、アインシュタインは非常に重要視しました。
（この原理は「重力質量」と「慣性質量」が等しいことを意味し、それがために「等価」という言葉が使われるのですが、この点について解説することは省略します。）
さて、この宇宙で起きる出来事の全体がなす集合体を考えます。ただ、出来事のあらゆる特質に着目して区別すると、とてつもなく大きな集合体になって取り扱いは困難です。そこで、「いつ、どこで」という側面だけに着目してこの集合体を考えます。従って、同じときに同じ場所で起きる出来事はすべて同一のものとみなします。恐ろしく荒っぽい観点ですが、それでも、われわれの常識を根底から覆す、非常に面白い結論がいろいろ得られるのです。
物体がある時刻にある場所にいる、というのも一つの出来事だと考えましょう。すると、運動する物体はその出来事全体のなす集合体の中で、時間の経過とともに一つの経路を描くことになります。その経路が、重力以外の力が働いていない物体の場合、その質量、組成等の諸性質によらないというのが「等価原理」が意味していることです。たとえば静止状態にある物体が同じ場所から出発する場合、どんな物体であっても同じ経路をたどるのです。もちろん地球の近くでその実験をする場合と、太陽の近くで同じ実験をする場合とでは、手放した後の加速の具合は違うはずです。つまりその経路は、重力源が何かということには依存するのです、でも落下する物体には寄らない。
曲面論を少しでも知っていると、ここでワクワクする経験ができます：起伏のある曲面上を例のライン引きを押して歩くとき、（二つの車輪をしっかり地面につけて押す限り）できる白線の経路は、歩く人、あるいはその人の意志とは無関係に、ただただ曲面の曲がり方によって決まる、ということと、あまりによく似ているのです。「曲がり」という幾何学的性質が、曲面と同様、時空間にも存在し、その曲がり方によって決まる測地線上を、すべての物体はたどる、という発想が、抑えがたく浮かんでくるはずです。物理理論として仕上げるには、重力源の存在とその「時空間の曲がり」をどう結び付けるかという問題が残っているだけだと考えられます。それは非常に骨の折れる仕事になるでしょうが、そこでも曲面上の幾何学は有効な導き手になります。
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