${\bf アル：}$ シュバルツシルトの解 $$ds^2=\left( 1-{{2GM}\over {c^2r}}\right) (dx^0)^2-{1\over {1-2GM/c^2r}}dr^2-r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$
を使って、太陽をめぐる惑星の運動、特に水星の運動を考えてみます。 ただその前に、比較のために、ニュートンの万有引力の法則による惑星の運動を復習しておきましょう。
一つの惑星が太陽からの万有引力のもとで運動しているとすると、ケプラーが観測記録から見出した二つの法則が成立します。すなわち、その軌道は太陽をその焦点の一つとする楕円であり(第一法則) 、太陽と惑星を結ぶ線分が掃く面積は経過時間に比例する(第二法則)というのです。第三法則もあるのですが、異なる惑星間の関係に関する法則であり、ここでは考えないことにします。
まず、ニュートンの万有引力の法則を書き下すために太陽の位置を $F$ で表し、$F$ を原点とする直交座標系を定めます。$F$ を始点とし惑星の位置 $P$ を終点とするベクトルを ${\bf r}$ で表し、惑星の位置ベクトルと呼びます。「万有引力の法則」は、両者の質量の積に比例し、太陽までの距離の二乗に反比例する大きさの引力を、惑星は太陽から受けると言っています。つまり、その引力を ${\bf F}$ で表すなら
$${\bf F}=-G{{Mm}\over {r^3}}{\bf r}$$と書けます。但し、$r$ は ${\bf r}$ の長さ、$M, m$ はそれぞれ太陽と惑星の質量とします。$G$ は万有引力定数と呼ばれる定数であって、実際の測定から求める必要がありますが、
$$G=6.7\times 10^{-11}\ {\rm m^3\cdot s^{-2}\cdot kg^{-1}}$$だと知られています。
この等式とニュートンの運動法則
$${\bf F}=m{\ddot {\bf r}}$$を組み合わせると
\begin{equation} {\ddot {\bf r}}=-GM{{\bf r}\over {r^3}} \label{eq:kisohouteisiki} \end{equation}が得られます。但し、ニュートンによれば、宇宙で一様に流れる時間が存在しますから、それを $t$ で表し
$${\dot {\bf r}}={d\over {dt}}{\bf r}, \hskip 5mm{\ddot {\bf r}}={{d^2}\over {dt^2}}{\bf r}$$の記号を、今後用います。
この方程式 (\ref{eq:kisohouteisiki}) を解いて解
$${\bf r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$$を求めたいのですが、三つの未知関数に関する二階の微分方程式であり、積分定数が六つあるはずです。それらを順次求める中で軌道の形を決定していくことができます。
さて、ケプラーの第二法則は「面積速度一定の法則」とも呼ばれますが、関係式 (\ref{eq:kisohouteisiki}) のお陰でほぼ明らかです。
というのはベクトル積
$${\bf h}={\bf r}\times {\dot {\bf r}}$$を考えればいいからです。ベクトル積の定義により、この ${\bf h}$ の長さは動径 ${\bf r}$ が単位時間に掃く面積に一致します。従って、もし ${\bf h}$ が時間に依存しない定ベクトルであることが証明できれば、もちろん $h$ も一定であり、よって第一法則は成立します。ところがその時間非依存性は
$${d\over {dt}}{\bf h}={\dot {\bf r}}\times {\dot {\bf r}}+{\bf r}\times {\ddot {\bf r}}=0$$であることからわかります。第二項目が $0$ であることは、方程式 (\ref{eq:kisohouteisiki}) からわかります。
第一法則だけではなく、
$${\bf h}={\bf r}\times {\dot {\bf r}}$$が定ベクトルであることも言えました、早速三つの積分定数が見つかったことになります。${\bf r}$ は定ベクトル ${\bf h}$ と常に直交することになります。従って惑星の運動は ${\bf h}$ に直交する平面内（軌道平面と呼びます）に含まれることになります。
更に、ベクトル積に関して一般に成り立つ等式
\begin{equation} ({\bf a}\times {\bf b})\times {\bf c}=({\bf a}\cdot {\bf c}){\bf b}-({\bf b}\cdot {\bf c}){\bf a} \label{eq:abcnoseki} \end{equation}を用いると
\begin{equation} {\bf h}\times {\ddot {\bf r}}=-{{GM}\over r}{\dot {\bf r}}+{{GM}\over {r^2}}{\dot r}{\bf r}=-{d\over {dt}}\left( {{GM}\over r}{\bf r}\right) \end{equation}が得られます。但し $r^2={\bf r}\cdot {\bf r}$ の両辺を微分して得られる
$${\dot r}r={\dot {\bf r}}\cdot {\bf r}$$を変形の途中で用いました。一方で
$${\bf h}\times {\ddot {\bf r}}={d\over {dt}}\left( {\bf h}\times {\dot {\bf r}}\right) $$ですから、よって
$${1\over {GM}}{d\over {dt}}\left( {\bf h}\times {\dot {\bf r}}\right) =-{d\over {dt}}{{\bf r}\over r} $$となります。従って
\begin{equation} {1\over {GM}}({\bf h}\times {\dot {\bf r}})=-{{\bf r}\over r}-{\bf e} \label{eq:evectornodef} \end{equation}となる定ベクトル ${\bf e}$ が存在することが言えました。${\bf e}$ の前のマイナス記号は、プラスでも構わないのですが、後の便宜のためです。
${\bf e}$ も三つの定数を含み、${\bf h}$ のものも併せて合計六つの定数を探し得たように思うかもしれませんが、ただ、(\ref{eq:evectornodef}) によれば、${\bf e}$ は ${\bf h}$ に直交します。従ってここまでで得られた定数のうち独立なものは五つだけであり、もう一つ残っていることになります。ただそれを求めなくても、軌道の形は、以下のようにして決定できます。
${\bf e}$ は軌道平面に含まれます。従って惑星の位置を ${\bf e}$ を基準にして書き表すことができます。例えば、『太陽から見て、${\bf e}$ の方向から反時計回りに角度 $f$ の方向、距離 $r$ だけ離れた位置に惑星がいる』という具合です。
もしこのように書き表すならば、$f$ によって $r$ が決まる、つまり $r$ は $f$ の関数になるはずです。その関数形がわかれば、惑星が太陽に最も近づく点（近日点と呼ぶ）や最も遠ざかる点（遠日点と呼ぶ）などの $f$ の値がわかるはず、つまり、惑星が太陽に近づいたり遠ざかったりする様子を、${\bf e}$ の方向を基準にして描くことができるはずです。それができれば、軌道が楕円であることの証明にも、道が開けると思われます。
$r$ と $f$ は ${\bf r}$ と ${\bf e}$ の内積
$${\bf r}\cdot {\bf e}=re\cos f$$の中に現れます。そこで(\ref{eq:evectornodef}) 式
$${1\over {GM}}({\bf h}\times {\dot {\bf r}})=-{{\bf r}\over r}-{\bf e}$$の両辺と ${\bf r}$ との内積を考えてみます。
\begin{equation} {1\over {GM}}{\bf r}\cdot ({\bf h}\times {\dot {\bf r}})=-r-re\cos f \label{eq:etornonaiseki} \end{equation}
が得られますが、ここでベクトル積に関して一般に成り立つ等式
$${\bf a}\cdot ({\bf b}\times {\bf c})=-({\bf a}\times {\bf c})\cdot {\bf b}$$を使うと (\ref{eq:etornonaiseki}) 式の左辺は
\begin{equation} {\bf r}\cdot ({\bf h}\times {\dot {\bf r}})=-({\bf r}\times {\dot {\bf r}})\cdot {\bf h}=-h^2 \label{eq:rtohtimesdotr} \end{equation}となります。よって
$$-{{h^2}\over {GM}}=-r-re\cos f$$が得られ、これを整理すれば
\begin{equation} r={l\over {1+e\cos f}} \hskip 5mm (l=h^2/GM と置いた) \label{eq:rnosiki} \end{equation}となります。これで $r$ を $f$ の関数として表すことができました。
近日点は分母が最も大きくなる時ですから $f=0$ で、他方遠日点は分母が最も小さくなる時であって $f=\pi $ です。つまり、もし軌道が楕円であるなら、その長軸は $F$ を通り ${\bf e}$ の方向と一致することになります。
関数形
$$r={l\over {1+e\cos f}}$$は $e=0$ の場合、すなわちベクトル ${\bf e}$ が $0$ ベクトルの場合、最も簡単な
$$r=l=h^2/GM$$となります。これは惑星が太陽から常に距離 $l$ だけ離れていること、すなわち円軌道を描くことを示しています。円はもちろん、焦点が一つに退化した特別な楕円と考えられます。
ところで
$${\bf e}=-{1\over {GM}}\left( {\bf h}\times {\dot {\bf r}}\right) -{{\bf r}\over r}$$の両辺の内積を考えると、$e$ を ${\bf e}$ の長さとして、
$$e^2={{h^2v^2}\over {(GM)^2}}-{{2h^2}\over {GMr}}+1$$が得られます。但し $v$ は速度ベクトル ${\dot {\bf r}}$ の長さとします。これを整理すれば
$${{v^2}\over 2}-{{GM}\over r}={{(GM)^2}\over {2h^2}}(e^2-1)$$となります。左辺は惑星の質量を $1$ とする場合の運動エネルギーであり、よってこの式から太陽の重力圏にとらえられた惑星については $e < 1$ であることがわかります。後に判明しますが、惑星の楕円軌道の長半径を $A$ とすれば、楕円の中心から焦点までの距離が $Ae$ です。この意味で $e$ は「離心率」と呼ばれています。これから注目する水星の場合が比較的大きくて、約 $e=0.21$ です。
そこで $0 < e < 1$ の場合を考えます。楕円とは、二つの定点（焦点）からの距離の和が一定である点の成す軌跡です。よって (\ref{eq:rnosiki}) 式に従って運動する惑星の軌道が、太陽をその一つの焦点とする楕円であることを示すには、もう一つの焦点を探し出す必要があります。
手がかりを得るために、軌道が仮に楕円であると仮定してみましょう。すると、
$$r={l\over {1+e\cos f}}$$が最小である $f$ の値は $f=0$、最大である $f$ の値は $f=\pi $ ですから、近日点を $Q$、遠日点を $Q'$ で表すなら
$$FQ={l\over {1+e}}, \hskip 5mm FQ'={l\over {1-e}}$$です。$F$ 以外の焦点を$F'$ で表し、$F, F'$ の中点を $O$ として、$O$ で直交する座標軸 $x, y$ を描いたとします。$OQ$ の長さを $A$ で表せば（すなわち長半径）
\begin{equation} A={1\over 2}\left( {l\over {1-e}}+{l\over {1+e}}\right) ={l\over {1-e^2}} \label{eq:anoatai} \end{equation}となります。従って
$$l=A(1-e^2)$$です。
よって $F$ の $x$ 座標は
$$A-{l\over {1+e}}=Ae$$と書けます。よってもちろん $F'$ の $x$ 座標は $-Ae$ となります。以上で二つの焦点になるべき点の位置がわかりました、いよいよ証明に取り掛かることができます。
\begin{equation} r={l\over {1+e\cos f}}={{A(1-e^2)}\over {1+e\cos f}} \label{eq:rwohenkei} \end{equation}
で決まる惑星の位置を $P$ で表し、
$$FP+F'P$$の値が $f$ によらず一定になることを示せばよいのです。この定数は、近日点の $x$ 座標が $A$ であることを思い出せば容易に類推できて、$2A$ のはずです。
$$F'P={\sqrt{(r\cos f+2Ae)^2+r^2\sin ^2f}}$$
ですが
\begin{equation} FP+F'P=r+{\sqrt{(r\cos f+2Ae)^2+r^2\sin ^2f}}=2A \label{eq:daendearukoto} \end{equation}を示すには、
$${\sqrt{(r\cos f+2Ae)^2+r^2\sin ^2f}}=2A-r$$が成り立つことを示せばよいことになります。これは
$$2A-r={A\over {1+e\cos f}}\left( 1+2e\cos f+e^2\right) \geq {A\over {1+e\cos f}}(1-e)^2 > 0$$であることを念頭に置くなら
$$(r\cos f+2Ae)^2+r^2\sin ^2f=(2A-r)^2$$と同値ですが、この最後の等式は (\ref{eq:rwohenkei}) 式
$$r={{A(1-e^2)}\over {1+e\cos f}}$$を代入すれば、少し長いけれども、しかし単純な計算で確かめることができます。
以上で $P$ 点から二つの定点 $F, F'$ までの距離の和が一定であることが言えました、よって $P$ の軌跡が、$F$ をその焦点の一つとする楕円であることが証明できたことになります。
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