${\bf アル：}$ 物体の速さが遅く、重力が弱い極限で、測地線の方程式はニュートンの逆二乗則に一致するはずだと仮定した結果、
$$g_{0 0}=1-{{2GM}\over {c^2r}}$$が得られました。ただ、重力に関するこの幾何学的理論のもともとの発想は、地球や太陽のような重力源となる物質の存在がその周囲の時空間の幾何学的構造を決定するというものでした。それは『時空間が曲がる』と言い表されることが多いのですが、曲がった時空間の測地線に沿って、物体は運動するというのです。従って、本来、測地線を決定する $g_{\mu \nu }$ は重力源となる物質の分布から決まるはずのものです。
つまり、$g_{\mu \nu }$ に関する方程式が物質の分布のあり様によって決まり、その方程式 - 「重力方程式」と呼ばれるべきですが - を解くことによって $g_{\mu \nu }$ が求まる、という方向性が最も自然です。そこで、まず問題とすべきは、$g_{\mu \nu }$ に関する方程式として何を選ぶかです。
${\bf カール：}$ 時空間の「曲がり」が問題なのですから、曲面論を参考にするのが良いかと思います。曲面の曲がり方を表す量として何があるかを考え、それらの量の時空間版がもしあれば、それらを使って必要な方程式を作ってみるのが良いと思われます。
曲面論で『曲がり方』を表す量として何があるかと言えば、曲率 $K(P)$ があります：後の世の人々は「ガウス曲率」と呼ぶことになる量ですが、たとえば半径 $r$ の球面ならば、その上で定数であって、すべての点 $P$ に対して
$$K(P)={1\over {r^2}}$$です。一般の曲面の場合なら、$P$ を含む小さな領域 $D$ を考えます。$D$ を左手に見ながらその境界線 $C$ に沿って任意のベクトル ${\bf a}$ を平行移動し、出発点に戻ってくるときのベクトルを ${\bf a}_f$ で表しましょう。${\bf a}$ から ${\bf a}_f$ まで反時計回りに測る角度を $\omega (D)$ で表すことにすると、この角度は ${\bf a}$ の取り方には依存しません。$D$ の面積を $\sigma (D)$ で表すとき、
$${{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\rightarrow K(P)\hskip 5mm (\sigma (D)\rightarrow 0)$$が成り立ちます。
$K(P)$ については実は次のように考えておくとより直観的です：曲面上の点 $P$ において法線を立て、それを通る平面を考え、その平面による曲面の切り口である平面曲線を考えます。その平面曲線の、$P$ における曲がり方を最もよく表す円（曲率円）を決めることができます。法線を軸としてその平面を回転すると、件の曲率円の半径も変化するはずですが、その最大値を $r_1$、最小値を $r_2$ とすれば
$$K(P)={1\over {r_1r_2}}$$なのです。
ところで５月８日の記事でわかったことですが、ベクトルを成分で表示するなら、その平行移動は ${\Gamma ^i}_{j k}$ によって表すことができ、更に、$\omega (D)$ は曲率テンソルと呼ばれる
$${R^i}_{j, k l}=\partial _k{\Gamma ^i}_{j l}-\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}-{\Gamma ^i}_{m l}{\Gamma ^m}_{j k}+{\Gamma ^i}_{m k}{\Gamma ^m}_{j l}$$を用いて書けます。最終的には
$$K(P)={1\over 2}R(P)$$と書けます。但し
$$R_{i j}=\sum _{k=1}^2{R^k}_{i, k j}, \hskip 5mm R=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2g^{i j}R_{i j}$$です。前者はリッチテンソル、後者はスカラー曲率とそれぞれ呼ばれます。
よって曲面の曲がり方を表す量として $K(P)$ より更に基本的なものに ${R^i}_{j, k l}$ があることがわかったことになります。$K(P)$ は２次元曲面に特有な量であって、４次元の時空間にそのまま存在する量ではありません。しかし、${R^i}_{j, k l}$ は $\Gamma $ で書け、更に
$${\Gamma ^i}_{j k}={1\over 2}g^{i l}\left[ -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j}\right] $$ですから、よって ${R^i}_{j, k l}$ は二点間の距離を定める $g_{i j}$ が定義される対象物であれば何でも拡張できることになります。たとえば時空間に対してもです。
従って、時空間において
$${R^{\lambda }}_{\rho , \mu \nu }=\partial _{\mu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\rho \nu }-\partial _{\nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\rho \mu }+{\Gamma ^{\lambda }}_{\tau \mu }{\Gamma ^{\tau }}_{\rho \nu }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\tau \nu }{\Gamma ^{\tau }}_{\rho \mu }$$と定義し、この ${R^{\lambda }}_{\rho , \mu \nu }$ を用いて「重力方程式」なるものを組み立てるという方法が、私には自然に思えます。
${\bf アル：}$ 私も同感です、その方向で進みましょう。未知関数 $g_{\mu \nu }$ は $4\times 4=16$ 個あるように見えますが、対称性
$$g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$$のために、実際には十個です。よって方程式の個数も十個であることが望ましく、最も安直に推論するなら
$$R_{\mu \nu }=重力源となる物質の分布から決まる量\hskip 5mm (\mu , \nu =0, 1, 2, 3)$$という形の方程式が思い浮かびます。ここでリッチテンソル
$$R_{\mu \nu }={R^{\lambda }}_{\mu , \lambda \nu }$$についても、対称性
$$R_{\mu \nu }=R_{\nu \mu }$$が成立することは証明できます。
${\bf カール：}$ 「重力方程式」の決定はもちろん、諸々の物理的要請を考慮して行われるものだと思います。そういう要請にも興味はありますが、その方程式を数学的に解いた解から物理的にどのような結論が得られるのか、という点にも興味があります。
${\bf アル：}$ 確かに現実の現象に合う結果が導かれないようならいくらもっともらしい理由を並べてみたところで絵に描いた餅であって、何の役にも立ちません。むしろ、現実と合う、あるいは未発見の現象を予告し、それが現実に発見されるというようなことがあって初めて、その方程式に存在意義が認められることも確かです。ここでは数学者としてのカールの興味に配慮し、『方程式の数学的な解がどの程度重要な物理的意味を持つか』ということから、その方程式の正当性を判断するという姿勢を取ることにしましょう。
早速、重力方程式
$$R_{\mu \nu }=重力源となる物質の分布から決まる量\hskip 5mm (\mu , \nu =0, 1, 2, 3)$$を解きたいのですが、右辺の項を具体的にどう考えるかがまず問題になります。ただ、物質が存在しない領域ではこれらの項は $0$ になると考えてよいと思われます。つまりそういう領域では方程式は
$$R_{\mu \nu }=0 \hskip 5mm (\mu , \nu =0, 1, 2, 3)$$です。地球や太陽を重力源とする場合、その影響下で運動する物体は多くの場合、物質の分布する外側の真空の領域にあります。従って右辺を $0$ と置いて方程式を解く意義は十分にあります。
$${R^{\lambda }}_{\rho , \mu \nu }=\partial _{\mu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\rho \nu }-\partial _{\nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\rho \mu }+{\Gamma ^{\lambda }}_{\tau \mu }{\Gamma ^{\tau }}_{\rho \nu }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\tau \nu }{\Gamma ^{\tau }}_{\rho \mu }$$から
$$R_{\mu \nu }={R^{\lambda }}_{\mu , \lambda \nu }=\partial _{\lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }-\partial _{\nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda }+{\Gamma ^{\lambda }}_{\tau \lambda }{\Gamma ^{\tau }}_{\mu \nu }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\tau \nu }{\Gamma ^{\tau }}_{\mu \lambda }$$ですが、これに
$${\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }={1\over 2}g^{\lambda \rho }\left[ -\partial _{\rho }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \rho }+\partial _{\nu }g_{\rho \mu } \right] $$を代入すれば十個の未知関数 $g_{\mu \nu }$ に関する十個の連立方程式が得られます。ただ、少し書き出してみればわかりますが、あまりに複雑で解くことはほとんど不可能に思える方程式です。従って何か付加的な条件を付けて $g_{\mu \nu }$ の形をいくらか制限し、その上で解を求めるという方針を取りましょう。
物理的に興味ある解が、しかもある程度簡単に求まる、そんな可能性のある状況の例として、地球や太陽のような単一の重力源が存在する場合を考えます。物質の分布は球対称で、つまり原点からの距離 $r$ のみに依存し回転には依存しない、更にまた、時間的に変化しないと仮定しましょう。
この物質の質量を $M$ とすれば、弱い重力のもとではニュートンの逆二乗則が成立すべしという条件から、$M\rightarrow 0$ の極限では、あるいは原点からずっと離れた領域では
$$g_{0 0}\rightarrow 1-{{2GM}\over {c^2r}}$$であることを先に導きました。また重力源から遠方に遠ざかるにつれて、つまり $r\rightarrow \infty $ になるにつれて、重力源の影響は徐々に弱くなると考えれば、
$$ds^2\rightarrow c^2(dt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2$$となる座標系 $t, x, y, z$ を仮定することは妥当です。
もしこれが慣性座標系であるのなら、原点 $O$ を中心とする極座標 $r, \theta , \phi $ を用いて
\begin{eqnarray*} x&=&r\sin \theta \cos \phi \\ y&=&r\sin \theta \sin \phi \\ z&=&r\cos \theta \end{eqnarray*}と書いてみると
\begin{eqnarray*} dx&=&\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin\phi d\phi \\ dy&=&\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi \\ dz&=&\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta \end{eqnarray*}であり、よって
$$(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2=dr^2+r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$です。
慣性座標系からのずれ方が問題ですが、動径方向の $ds^2$ は原点の物質の存在によって $dr^2$ とは違うものになる可能性は大いにあります。よって $dr^2$ の項は
$$Bdr^2$$に置き換えましょう。ただし $B > 0$ であって、物質分布が回転に依存しないという仮定から $B$ は $r$ のみの関数 $B=B(r)$ とします。また、同じ仮定から、$d\theta ^2$ と $d\phi ^2$ の係数の比はそのままにすべきかと思われます。
以上のように考えて、
$$ds^2=A(r)c^2(dt)^2-B(r)dr^2-C(r)r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$の形の $g_{\mu \nu }$ の範囲内で方程式を解くことにしましょう。ただ、
$$r'={\sqrt {C(r)}}r$$によって新しい $r'$ を導入し、これを改めて $r$ で表すなら
$$ds^2=A(r)(dx^0)^2-B(r)dr^2-r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$と書けます。但しここでの関数 $A, B$ はもとの $A, B$ とは異なります。こちらの方が簡単です。
そこで
$$x^0=ct, \hskip 5mm x^1=r, \hskip 5mm x^2=\theta , \hskip 5mm x^3=\phi $$と置き
$$g_{0 0}=A(r), \hskip 3mm g_{1 1}=-B(r), \hskip 3mm g_{2 2}=-r^2, \hskip 3mm g_{3 3}=-r^2\sin ^2\theta $$ $$g_{\mu \nu }=0 \ (\mu \not= \nu )$$のとき、方程式
$$R_{\mu \nu }=0$$を解いて、$A(r), B(r)$ を求めてみることにします。ただ、いざ計算してみればすぐわかりますが
$$g_{0 0}=A(r)=e^{2f(r)}, \hskip 5mm g_{1 1}=-B(r)=-e^{2h(r)}$$によって $f(r), h(r)$ を定義し、この $f, h$ に関する方程式に直す方が楽です。
まず、
\begin{eqnarray*} &&{\Gamma ^0}_{0 1}={\Gamma ^0}_{1 0}={{df}\over {dr}} \\ &&{\Gamma ^1}_{0 0}=e^{2(f-h)}{{df}\over {dr}}, \hskip 5mm {\Gamma ^1}_{1 1}={{dh}\over {dr}}, \hskip 5mm {\Gamma ^1}_{2 2}=-re^{-2h}\\ &&{\Gamma ^1}_{3 3}=-re^{-2h}\sin ^2\theta \\ &&{\Gamma ^2}_{1 2}={\Gamma ^2}_{2 1}=r^{-1}, \hskip 5mm {\Gamma ^2}_{3 3}=-\sin \theta \cos \theta \\ &&{\Gamma ^3}_{1 3}={\Gamma ^3}_{3 1}=r^{-1}, \hskip 5mm {\Gamma ^3}_{2 3}={\Gamma ^3}_{3 2}={{\cos \theta }\over {\sin \theta }} \end{eqnarray*}であり、他の ${\Gamma ^{\mu }}_{\nu \rho }$ はすべて $0$ です。
これらを
$$R_{\mu \nu }=\partial _{\lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }-\partial _{\nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \lambda }+{\Gamma ^{\lambda }}_{\rho \lambda }{\Gamma ^{\rho }}_{\mu \nu }-{\Gamma ^{\lambda }}_{\rho \nu }{\Gamma ^{\rho }}_{\mu \lambda }$$へ代入して
\begin{eqnarray*} R_{0 0}&=&e^{2(f-h)}\left[ {{d^2f}\over {dr^2}}+\left( {{df}\over {dr}}\right) ^2-{{df}\over {dr}}{{dh}\over {dr}}+{2\over r}{{df}\over {dr}}\right] \\ R_{1 1}&=&-{{d^2f}\over {dr^2}}-\left( {{df}\over {dr}}\right) ^2+{{df}\over {dr}}{{dh}\over {dr}}+{2\over r}{{dh}\over {dr}} \\ R_{2 2}&=&-e^{-2h}\left[ 1+r\left( {{df}\over {dr}}-{{dh}\over {dr}}\right) \right] +1 \\ R_{3 3}&=&R_{2 2}\sin ^2\theta \end{eqnarray*}その他の $R_{\mu \nu }=0$ です。
$R_{1 1}=0$ を $R_{0 0}=0$ に代入して
$${{df}\over {dr}}+{{dh}\over {dr}}=0$$が得られますが、従って
$$f(r)+h(r)=C$$となる定数 $C$ が存在することになります。ここで $r\rightarrow \infty $ の極限で $g_{\mu \nu }$ が $\eta _{\mu \nu }$ に一致するという先に挙げた仮定から
$$f(r), h(r)\rightarrow 0\hskip 5mm(r\rightarrow \infty )$$であり、よって $C=0$ です。
$h=-f$ を $R_{2 2}=0$ へ代入して
$$1=e^{2f}\left( 1+2r{{df}\over {dr}}\right) ={d\over {dr}}\left( re^{2f}\right) $$よって
$$re^{2f}=r+C'$$となる定数 $C'$ が存在する。つまり
$$g_{0 0}=e^{2f}=1+{{C'}\over r}$$ $$g_{1 1}=-e^{2h}=-{1\over {1+C'/r}} $$です。
ここで、ニュートンの法則との関連で、重力が弱いときに求めた結論
$$g_{0 0}\rightarrow 1-{{2GM}\over {c^2r}}$$から、
$$C'=-{{2GM}\over {c^2}}$$であることが知れます。以上で
$$ds^2=\left( 1-{{2GM}\over {c^2r}}\right) (dx^0)^2-{1\over {1-2GM/c^2r}}dr^2-r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$という解が求まりました。後にこれはシュバルツシルトの外部解と呼ばれることになります。「外部」とは物質の分布する領域の外側を意味します。
${\bf カール：}$ 次にチェックすべき大事なことは、この解の物理的な重要性ですね。
目次を表示