${\bf カール：}$ 地球の重力圏の中を自由落下する宇宙船の飛行士たちにとって、重力の影響は検出できない、という「等価原理」の意味するところは実に興味深いですね。
${\bf アル：}$ 重力以外に力の加わっていない物体である限り、それらは等速直線運動をするのですから、飛行士たちにとっては特殊相対性理論が成り立つことになります。つまり、光速度不変の原理が成り立ち、あるいは慣性座標系の間でローレンツ変換が成り立つのです。ただ、厳密な意味では少し但し書きが必要です：あまりに広い範囲に特殊相対論を適用することはできません。特殊相対性理論が成立する「時空間」の領域の大きさは、重力の強さが増すに従って狭くなると考えられるからです。たとえば、地面に立つ人が二つの物体を同時に手放すという、等価原理を確かめるための例の実験を、部屋の中ではなく、非常に高い地点から、しかも水平方向に非常に離れた二物体について行うとして下さい。このとき、地球の中心へ向かう重力が、下方への加速度を生じさせるだけでなく、横方向への加速度をも生じさせることが見えてくるはずです。従って、一方の物体にとって他方の物体はなにがしかの加速度を持って横から近づいてくることになります。時間と空間についてのあまりに大きな範囲を考えてしまうと、そこでは特殊相対論からのずれが顕著になるのです。重力の源が太陽、あるいはもっと大きな重い星になると、ますます狭い領域に制限しなくてはいけません。
ただ、いくら強い重力の下であっても、領域を狭く限定すれば精度はいくらでも上げることができるはずです。その意味で、無限小の領域に制限するのであれば厳密な意味で特殊相対論は成立する、と言えます。この局所性を忘れないために、自由落下する宇宙船の飛行士たちが設ける、彼らにとっての慣性座標系を、「局所慣性系」と呼ぶことにしましょう。
${\bf カール：}$ その局所慣性系から物体を見れば軌道は等速直線運動として表されると言うのですから、他の座標系、たとえば地球上に立つ人の設ける座標系でその軌道を見るときにも、何らかの条件が成り立つことになると思われます。それが物体の運動方程式と言えるものだと思いますが、求めてみましょう：
$T, X, Y, Z$ を自由落下する宇宙船の飛行士たちが設ける一つの慣性系とします。$X, Y, Z$ は空間に設ける直交座標系によって決まる座標、$T$ は彼らの - 光の信号を使う件の方法によって同調させた - 時計による時刻です。物体の軌道を $T$ をパラメーターとして
$$(X(T), Y(T), Z(T))$$で表せば、等速直線運動は
\begin{equation} {{d^2X}\over {dT^2}}={{d^2Y}\over {dT^2}}={{d^2Z}\over {dT^2}}=0 \label{eq:d2Xdt2d2Y} \end{equation}を意味します。ただ、アルバートが注意してくれたように、$(T, X, Y, Z)$ は、時空間内のある点を含む無限小の領域での「局所慣性系」としなくてはいけません。従って、物体がその時空点を通過する瞬間を $T=T_0$ とし、上の等式 (\ref{eq:d2Xdt2d2Y}) は厳密にはその瞬間で成立する、と考えるべきです。
物体の軌道 $(X(T), Y(T), Z(T))$ に関するこの方程式を、任意の座標系 $t, x, y, z$ から見る形に書き直したいのです。つまり、軌道を
$$(x(t), y(t), z(t))$$で表すときの、$t$ をパラメーターとするこれら三つの関数に関する方程式を求めたいのです。
ただ、少し計算してみればわかりますが、$T$ に関する微分を $t$ に関する微分で表すことが難しいです。考えてみれば当然のことで、ローレンツ変換のときでも起きたように、一般の $t, x, y, z$ を考えるなら $T$ は $t$ のみならず $x, y, z$ にも依存します。$T$ の変化は $t$ のみならず $x, y, z$ の変化にも依存し、$T$ に関する微分を $t$ の微分の形に書くと非常に複雑になります。
${\bf アル：}$ その状況には以前 - ３月１８日の記事で - 相対性原理を満たす力学法則を求めた際にも遭遇しました。そのときにはその物体の「固有時」、つまり物体とともに動く時計の読み、言うなればその物体に括りつけられた時計の読みを用いて困難を回避しました。今回もその手を使ってはどうでしょうか。
${\bf カール：}$ 固有時を $\tau $ として、$T$ に関する微分を $\tau $ に関する微分に書き直してから、$t, x, y, z$ による表示に移るという手法ですね：$T$ と $\tau $ ができるだけ単純な関係にあるよう局所慣性系を選ぶのが賢明でしょうから、$T=T_0$ の瞬間にその物体が静止して見える宇宙船の運動、つまり
$${{dX}\over {dT}}(T_0)={{dY}\over {dT}}(T_0)={{dZ}\over {dT}}(T_0)=0$$である運動を選ぶとしましょう。すると、飛行士たちにとって物体の固有時に遅れは生じない、すなわち $\tau $ と $T$ は等しいテンポで進むことになり
$${{d\tau }\over {dT}}(T_0)=1$$です。よって上で得られた等式は
$${{d^2X}\over {d\tau ^2}}={{d^2Y}\over {d\tau ^2}}={{d^2Z}\over {d\tau ^2}}=0$$に書き換えることができます。但し、
$$\tau _0=\tau (T_0)$$によって $\tau _0$ を決めるとして、$\tau =\tau _0$ における等式だと思ってください。
これで $X, Y, Z$ の $\tau $ に関する変化の仕方は指定できたことになりますが、時空間内での物体の動きを記述するためには $T=T(\tau )$ についても指定する必要があります。これは「時計の遅れ」の問題であり、等式
$$\Delta T={{\Delta \tau }\over {\sqrt{1-v^2/c^2}}}+\left[ \Delta \tau ^2 を含む項\right] $$が使えるはずです。但しこの等式は、固有時が $\Delta \tau $ だけ進む間に飛行士たちにとって $\Delta T$ の時間が経過するとしての等式です。$v$ は飛行士たちにとっての物体の速さ、つまり
$$v=\sqrt{\left( {{dX}\over {dT}}\right) ^2+\left( {{dY}\over {dT}}\right) ^2+\left( {{dZ}\over {dT}}\right) ^2}$$であり、最後の項は局所慣性系であることの「局所性」から生まれる残余です。これより
$${{dT}\over {d\tau }}={1\over {\sqrt{1-v^2/c^2}}}$$であり、これをもう一度微分して $\tau =\tau _0$ を代入すれば
$${{d^2T}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)=0$$が得られます。
$${{dX}\over {dT}}(T_0)={{dY}\over {dT}}(T_0)={{dZ}\over {dT}}(T_0)=0$$が成り立つ、あるいは
$${{d^2X}\over {dT^2}}(T_0)={{d^2Y}\over {dT^2}}(T_0)={{d^2Z}\over {dT^2}}(T_0)=0$$が成り立つからです。
以上の方程式をできるだけ見やすく書くために
$$X^0=cT,\hskip 5mm X^1=X, \hskip 5mm X^2=Y, \hskip 5mm X^3=Z$$によって
$$X^{\alpha }\hskip 5mm (\alpha =0, 1, 2, 3)$$を定義しましょう。すると
\begin{equation} {{d^2X^\alpha }\over {d\tau ^2}}(\tau _0)=0\hskip 5mm (\alpha =0, 1, 2, 3) \label{eq:d2Xmudtau2} \end{equation}と書き表すことができます。$\alpha $ はギリシャ文字で「アルファ」と読みます。
${\bf アル：}$ 固有時 $\tau $ は物体そのものが持つパラメーターであり、飛行士たちにとっても、あるいは他のどんな観測者にとっても変わりなく不変です。これで $T$ に関する微分を変換するときのような複雑さに煩わされることを回避できます。
${\bf カール：}$ では、方程式
$${{d^2X^{\alpha }}\over {d\tau }}(\tau _0) =0 \hskip 5mm (\alpha =0, 1, 2, 3)$$を、任意の観測者、たとえば地球上に静止している観測者の設ける座標系 $t, x, y, z$ で表現すればどうなるかを考えてみましょう：ここでも
$$x^0=ct, \hskip 5mm x^1=x, \hskip 5mm x^2=y, \hskip 5mm x^3=z$$という略記号を導入します。このとき、時空間内の同じ点に二つの座標 $(T, X, Y, Z)$ と $(t, x, y, z)$ が対応することになり、一方を指定すれば他方が決まる。よって、たとえば $X=X^1$ は $t, x, y, z$ の関数であり
$${{dX^1}\over {d\tau }}={{\partial X^1}\over {\partial x^{\mu }}}{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}$$と書けます。よって
$$0={d\over {d\tau }}\left( {{\partial X^\alpha }\over {\partial x^{\mu }}}{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}\right) ={{\partial X^\alpha }\over {\partial x^{\mu }}}{{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\mu }}}{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}$$となります。両辺に $\partial x^{\nu }/\partial X^{\alpha }$ をかけて $\alpha $ について $0$ から $3$ まで和を取ると
$${{d^2x^{\nu }}\over {d\tau ^2}}+{{\partial x^{\nu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\mu }}}{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}=0$$が得られます。従って
$${\Gamma ^{\nu }}_{\lambda \mu }= {{\partial x^{\nu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\mu }}}$$と置けば、
\begin{equation} {{d^2x^{\nu }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\nu }}_{\lambda \mu }{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}=0 \label{eq:d2xrhodtau2} \end{equation}が最終的に得られます。これは座標系 $x^{\mu }$ から物体を観測するときの運動方程式だと考えられます。
${\bf アル：}$ ${\Gamma ^{\nu }}_{\lambda \mu }$ の値が、局所慣性系 $X^{\alpha }$ の取り方に依存するように見えますが、大丈夫ですか。$x^{\mu }$ から見るときの運動方程式だと解釈できるためには、そのような依存関係があっては困ります。
${\bf カール：}$ 別の局所慣性系との間の変換がローレンツ変換であることを考慮すれば、${\Gamma ^{\nu }}_{\lambda \mu }$ の値が局所慣性系 $X^{\alpha }$ の取り方に依存しないことは簡単な計算によってわかります。座標系 $x^{\mu }$ にはもちろん依存するけれども、$X^{\alpha }$ には依存しない、時空間上の関数になります。ご心配無用です。
また、いつも強調してきたことですが、方程式
$${{d^2X^{\alpha }}\over {d\tau ^2}}=0$$が成り立つのは $\tau =\tau _0$ においてでした。しかし $\tau _0$ は任意に選ぶことができます。従って任意の座標系 $x^{\mu }$ で表現した方程式 (\ref{eq:d2xrhodtau2})
$${{d^2x^{\nu }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\nu }}_{\lambda \mu }{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}=0$$は任意の $\tau $ について成立することになります。
${\bf アル：}$ おそらく次の点はかなり大事な、かつ興味深いことだと思います：『任意の座標系 $x^{\mu }$ と言うとき、$x^0=ct$ の $t$ を決める時計はどんなふうに同調させるのか』と疑問に思うかもしれないことです。特殊相対論で扱った慣性系においては時計の同調が本質的でした。離れた地点に置いた時計を『同時に同じ時刻を刻む』ように調節する必要がありました。しかし、カールが上でしてくれた計算において $x^{\mu }$ が満たすべき条件は、『時空間の各点をもれなく一意的に４っつの数値 $(t, x, y, z)$ で表し得る』ことだけでした。微分の操作が可能な程度の連続性を有することは必要ですが、それ以上の制限はないのです。従って、時間座標 $t$ についても適当な時計を空間の各点に配置し、そこで起きる出来事の $t$ を決めればよいことになります。時計は、逆戻りや止まることさえしないのであれば、どんな安物の時計でもよくて、ましてや互いの同調など必要ありません。
というか、重力の存在する圏内では時計の進み方は一般に違うことを、われわれはもう既に知っています。従って、そのような同調は諦めざるを得ないのであって、その意味でここまでの論理にほころびはありません。
${\bf カール：}$ ここで得た物体の運動方程式は、曲面上の測地線の方程式にそっくりですね。内容的にどこまで類似しているのか、興味の湧くところです。
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