${\bf カール：}$ 重力のもとでの物体の運動に関するニュートンの方程式は、もともと
$$ma=G{{Mm}\over {r^2}}$$でした。但し、$m$ は運動物体の質量、$a$ は物体に生じる加速度 ${\bf a}$ の大きさ、$M$ は重力の源の質量、$r$ は両物体間の距離、$G$ は万有引力定数
$$G=6.7\times 10^{-11} \ {\rm m^3\cdot s^{-2}\cdot kg^{-1}}$$です。加速度 ${\bf a}$ の生じる方向は物体から重力源の中心へ向かう方向です。よってその中心を原点とする直交座標系 $x^1, x^2, x^3$ を設けるならば、ニュートンの方程式は（加速度の大きさだけではなく、その方向までも込めて）
$${{d^2x^k}\over {dt^2}}=-{{GM}\over {r^2}}{{x^k}\over r} \hskip 5mm (k=1, 2, 3)$$と書けます。ここで
$$r={\sqrt {(x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2}}$$としました。
ここで地球の半径を $r_E$ で表すならば、
$$r_E=6.4\times 10^6\ {\rm m}$$であって、その質量は
$$M=6.0\times 10^{24} \ {\rm kg}$$ですから、
$${{GM}\over {r_E^2}}=9.8\ {\rm m\cdot s^{-2}}=g$$は、地表面近くでの重力加速度 $g$ に一致します。よって、上の方程式を地球の表面近くのごく限られた領域に適用するとして、その領域が $x^1$ 軸の近くにあって、かつ $x^2, x^3$ 軸方向への広がりが $r_E$ に比して無視できると仮定するならば、その領域内では近似的に
$$-{{GM}\over {r^2}}{1\over r}\pmatrix{ x^1 \cr x^2 \cr x^3}=-g{1\over {r_E}}\pmatrix{ x^1 \cr x^2 \cr x^3}=-g\pmatrix{ 1 \cr 0 \cr 0}$$と見れます。つまりこの領域内の物体に生じる加速度は、$x^1$ 軸に沿って負の方向（地球の中心の方向）へ $g$ だということ
$${{d^2x^1}\over {dt^2}}=-g,\hskip 5mm {{d^2x^2}\over {dt^2}}={{d^2x^3}\over {dt^2}}=0$$になります。このような近似のもとでのニュートンの方程式が、同じ近似の下での測地線の方程式
$${{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }{{dx^\lambda }\over {d\tau }}{{dx^\nu }\over {d\tau }}=0$$に一致することを、前回の記事では示したのですが、やはり、ニュートンの方程式の
$${{d^2x^k}\over {dt^2}}=-GM{{x^k}\over {r^3}} \hskip 5mm (k=1, 2, 3)$$の段階で、測地線の方程式との関係を明らかにしておくと理解が深まるように思います。
${\bf アル：}$ $g_{\mu \nu }$ が時空間のある領域内で定数 $\eta _{\mu \nu }$ に等しいときには ${\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }$ はすべてその領域内で $0$ であり、よって測地線の方程式は等速直線運動を表すと考えられます。つまりその座標系から重力的な効果はまったく検知されない状況を表すということです。そこで、そこから僅かだけそれる状況、言うなれば「重力の弱い」状況が、ニュートン力学で扱われた状況であると、前回の議論から予想できます。
その状況では次のことが成立すると考えられます：
$$g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }=h_{\mu \nu }$$と置くとき、$h_{\mu \nu }$、あるいはその導関数は $1$ に比して十分小さい、従って $h_{\mu \nu }$、あるいはその導関数の２回以上の積を $h_{\mu \nu }$ に比して無視して捨てたとしても、もともとの $g_{\mu \nu }$ から得られる法則と十分な精度で一致する法則が得られる。
そのような近似を行うと
$${\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }=\eta ^{\lambda \rho }\left[ -\partial _{\rho }h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }h_{\nu \rho }+\partial _{\nu }h_{\rho \mu }\right] $$です。但し
$$\eta ^{\lambda \rho }=\cases{ 1 & $\lambda =\rho =0$ のとき \cr -1 & $\lambda =\rho =1, \ 2, \ 3$ のとき \cr 0 & $\lambda \not= \rho $ のとき}$$${\bf カール：}$ まず、測地線の方程式
$${{d^2x^{\lambda }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0$$の内、$\lambda =k=1, 2, 3$ の場合は
$${{d^2x^k}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^k}_{0 0}{{dx^0}\over {d\tau }}{{dx^0}\over {d\tau }}+2\sum _{j=1}^3{\Gamma ^k}_{0 j}{{dx^0}\over {d\tau }}{{dx^j}\over {d\tau }}+\sum _{i, j=1}^3{\Gamma ^k}_{i j}{{dx^i}\over {d\tau }}{{dx^j}\over {d\tau }}=0$$と書けます。ここで、この座標系から測る物体の速さ $v$ が $c$ に比して十分小さく、かつ、重力が十分弱い状況を仮定するならば、$\tau $ による微分を $t$ による微分に置き直しても十分な精度の法則が得られると考えられます。このとき、上の等式は
$${{d^2x^k}\over {dt^2}}+c^2{\Gamma ^k}_{0 0}+2c{\Gamma ^k}_{0 j}{{dx^j}\over {dt}}+{\Gamma ^k}_{i j}{{dx^i}\over {dt}}{{dx^j}\over {dt}}=0$$と書き直されますが、左辺の第二項目以下の大きさの比は、${\Gamma ^k}_{\mu \nu }$ がすべて同じ程度の大きさだとみれば、$1, v/c, (v/c)^2$ となり、第二項目だけを残して
$${{d^2x^k}\over {dt^2}}+c^2{\Gamma ^k}_{0 0}=0$$としてよいことになります。ちなみに、地球は太陽の周りを一年かけて一周しますが、その半径は一億五千万キロ、従ってその速さ $v$ は
$$v={{2\pi \times 1.5\times 10^8}\over {365\times 24\times 60\times 60}}\ {\rm km\cdot s^{-1}}=30\ {\rm km\cdot s^{-1}}$$です。惑星の太陽から見るときの速さはこの程度だと考えられますが、意外と大きな値だと感じます、しかしそれでも $c$ と比べると
$${v\over c}=10^{-4}$$です。$v/c$、あるいはその二乗を無視する近似とは、この程度の大きさを無視して法則を書き直していることになります。
ここで
$${\Gamma ^k}_{0 0}={1\over 2}\left[ \partial _kh_{0 0}-2\partial _0h_{0 k}\right] $$ですが、重力が時間的に変動しない静的な状況を仮定すれば $\partial _0h_{0 k}=0$ であり、よって測地線の方程式は
$${{d^2x^k}\over {dt^2}}+{{c^2}\over 2}\partial _kh_{0 0}=0\hskip 5mm (k=1, 2, 3)$$に帰着することになります。
これをニュートンの方程式
$${{d^2x^k}\over {dt^2}}+GM{{x^k}\over {r^3}}=0 \hskip 5mm (k=1, 2, 3)$$と比較すると
$${{c^2}\over 2}\partial _kh_{0 0}=GM{{x^k}\over {r^3}}$$であれば前者は後者に一致することになりますが、この等式は
$$h_{0 0}=-{2\over {c^2}}{{GM}\over r}$$のとき、つまり
$$g_{0 0}=1-{{2GM}\over {c^2r}}$$のとき成り立ちます。
ちなみに、$M$ を地球の質量とすると
$${{2GM}\over {c^2}}=9 \ {\rm mm}$$であり、太陽の質量の場合でさえ $3\ {\rm km}$ です。地球の半径は六千キロ、太陽に至っては七十万キロ、従ってその外側を運動する物体の $r$ に対しては
$${{2GM}\over {c^2r}}$$は $1$ と比べて極めて小さなものとなり、『$h_{\mu \nu }$、あるいはその導関数が $1$ に比して十分小さい』という最初の仮定と矛盾していません。
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