${\bf カール：}$ 重力のもとで地面近くで運動する物体について、測地線の方程式とニュートンの落体の法則を比較してみましょう：測地線の方程式
$${{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0$$で
$${\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }={{\partial x^{\mu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2x^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}}$$なので、局所慣性系 $X^{\alpha }$ が必要です。何でもいいことは分かっていますから、地面から高さ $h$ の適当な位置を原点 $O$ とし、$O$ から鉛直下方に自由落下する宇宙船を考えて、その乗組員が設定する慣性系を $X^{\alpha }$ とするのが最も簡単なはずです。
ニュートンの重力の法則を書き表すのに適した座標系として、$O$ から地球の中心へ向かう軸を $x$ 軸とし、$y, z$ 軸を加えて直交座標系を作りましょう。$t$ をわれわれの持つ時計の読みとし、地面近くの落体の重力加速度が $t$ で測って一定値 $g$ であるとします。このとき、物体の軌跡
$$(x(t), y(t), z(t))$$は
\begin{equation} {{d^2x}\over {dt^2}}-g=0, \hskip 5mm {{d^2y}\over {dt^2}}={{d^2z}\over {dt^2}}=0 \label{eq:d2xdt2gag} \end{equation}を満たす、と言うのがニュートンの法則です。
従って、この状況下で測地線の方程式が (\ref{eq:d2xdt2gag}) を意味するかが問題です：件の宇宙船は $t=0$ の瞬間に $O$ から $x$ 軸に沿って自由落下を開始するとし、
$$T, \hskip 5mm X, \hskip 5mm Y, \hskip 5mm Z$$をその乗組員が設ける慣性系とします。もちろん
$$X^0=cT, \hskip 5mm X^1=X, \hskip 5mm X^2=Y, \hskip 5mm X^3=Z$$です。$O$ を出発する瞬間、$T=0$ であって $O$ の座標は $X=Y=Z=0$ で表され、更に $X$ 軸の方向は $x$ 軸に一致するようにとるとします。
このとき、落下開始直後に $O$ のごく近くで起きる出来事だけに着目し、その出来事に対応する $(t, x, y, z)$ と $(T, X, Y,Z)$ との間の関係を考えます：まず
$$t=T$$としてよいでしょう。宇宙船の速さ $v$ を $v=gt$ と見て、$(v/c)^2\ll 1$ と考え、時計の遅れを無視する結果です。更に
$$X=x-{1\over 2}gt^2$$とする。もし、地球ではなくもっと重い星を考えるなら、重力加速度の垂直方向への依存が目立つことになり、$X$ がこのような簡単な式では表されないことになります。つまり、ここでは重力が十分弱い場合を考え、このような依存性を無視するのです。なお、
$$Y=y, \hskip 5mm Z=z$$とします。
従って
$$X^0=x^0, \hskip 5mm X^1=x^1-{1\over 2}{g\over {c^2}}(x^0)^2,\hskip 5mm X^2=x^2, \hskip 5mm X^3=x^3$$ $$x^0=X^0, \hskip 5mm x^1=X^1+{1\over 2}{g\over {c^2}}(X^0)^2,\hskip 5mm x^2=X^2, \hskip 5mm x^3=X^3$$となります。これで
$${\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }={{\partial x^{\mu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}}$$が計算できます：
$${{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}}\not= 0$$なのは
$$\alpha =1, \hskip 5mm \lambda =\nu =0$$のときだけで、
$${{\partial ^2X^1}\over {\partial x^0\partial x^0}}=-{g\over {c^2}}$$更に
$${{\partial x^{\mu }}\over {\partial X^1}}\not= 0$$なのは $\mu =1$ のときだけであって
$${{\partial x^1}\over {\partial X^1}}=1$$です。よって
$${\Gamma ^1}_{0 0}=-{g\over {c^2}}$$であり、それ以外の $\mu , \lambda , \nu $ については
$${\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }=0$$です。
よって運動方程式
$${{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0$$は
$${{d^2x^0}\over {d\tau ^2}}=0$$ $${{d^2x^1}\over {d\tau ^2}}-{g\over {c^2}}{{dx^0}\over {d\tau }}{{dx^0}\over {d\tau }}=0$$ $${{d^2x^2}\over {d\tau ^2}}={{d^2x^3}\over {d\tau ^2}}=0$$に帰着することになりました。
一方、$v=gt$ と置いてこれを宇宙船の速さと見て
$$(v/c)^2\ll 1$$と仮定し、これを無視する。更に物体の速さ $w$ も
$$(w/c)^2\ll 1$$を満たすとし、これを無視する。これらの近似で
$$(\Delta \tau )^2=(\Delta t)^2$$が得られます。よって
$${{dt}\over {d\tau }}=1$$であり、上で得た運動方程式の $\tau $ による微分は $t$ による微分で置き直してよいことになります。結局
$${{d^2x}\over {dt^2}}-g=0$$ $${{d^2y}\over {dt^2}}={{d^2z}\over {dt^2}}=0$$が得られ、これは地表面近くで重力のもとで運動する物体のニュートンの方程式に他なりません。
${\bf アル：}$ 重力加速度の場所による変化を無視して、定数とみなしても満足できる精度が得られる、そのような弱い重力の下で、光速に比して十分ゆっくり運動する物体に対しては、測地線の方程式はニュートンの方程式に一致するということですね。従って、測地線の方程式がその面白みを発揮するのは、そのような弱い重力のもとでの物体の運動についてではなく、強い重力のもとでの運動だということになりますね。
${\bf カール：}$ $g_{\mu \nu }$ についても求めておきましょう：$\alpha $ 行 $\mu $ 列に $\partial X^{\alpha }/\partial x^{\mu }$ を配置する行列は
$$\left( {{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x^{\mu }}}\right) =\pmatrix{ 1 & 0 & 0 & 0 \cr -gt/c & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr}$$です。従って
$$g_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \beta }{{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x^{\mu }}}{{\partial X^{\beta }}\over {\partial x^{\nu }}}$$を $\mu $ 行 $\nu $ 列とする行列は
\begin{eqnarray} \left( g_{\mu \nu }\right) &=&\pmatrix{ 1 & -gt/c & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr}\pmatrix{ 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & -1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr}\pmatrix{ 1 & 0 & 0 & 0 \cr -gt/c & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr} \nonumber \\ &=&\pmatrix{ 1-\left( gt/c\right) ^2 & gt/c & 0 & 0 \cr gt/c & -1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr} =\pmatrix{ 1 & gt/c & 0 & 0 \cr gt/c & -1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr} \label{eq:gmunu} \end{eqnarray}となります。最後の変形は $(gt/c)^2$ を無視した結果です。
${\bf アル：}$ $g_{\mu \nu }$ は「計量テンソル」と呼ばれるのですが、もし重力加速度 $g=0$ であるなら
$$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$$となります。つまり、重力の源となる物質がない、あるいはそれらから遠く離れている領域では $g_{\mu \nu }$ は $\eta _{\alpha \beta }$ に一致することになります。弱い重力のみならず、強い重力についても、その情報は $g_{\mu \nu }$ の中に詰め込まれていることが、(\ref{eq:gmunu}) 式から予想されます。
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