${\bf カール：}$ 重力の影響下で運動する物体の（時空間内での）軌道が、方程式
\begin{equation} {{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{{\partial x^{\mu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}}{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0 \label{eq:d2xmupart} \end{equation}を満たすことを、アルバートがみちびいてくれました。但し $x^{\mu }$ は任意の座標系、$X^{\alpha }$ は自由落下する宇宙船の乗組員が設ける（物体の任意の通過点での）局所慣性系、$\tau $ は物体の固有時であり、
$$(x^0(\tau ), x^1(\tau ), x^2(\tau ), x^3(\tau ))$$によって時空間における物体の軌道をパラメーター表示するとします。宇宙船の乗組員にとっての等速直線運動を方程式で表した結果ですから、当然、曲面上の「直線」の方程式
$${{d^2x^i}\over {ds^2}}+{\Gamma ^i}_{j k}{{dx^j}\over {ds}}{{dx^k}\over {ds}}=0$$とある程度の類似性が予想されます。曲面上の場合、二点間の距離、あるいはベクトルの長さという概念が存在し、「直線」は二点間を結ぶ最短経路という性格も持ちました。その意味で「測地線」と呼ばれたのです。時空間の場合もこのような性格を持つものかどうか見てみたいものです。
${\bf アル：}$ そのためにはまず、時空間で「距離」が定義できるものか考える必要がありますね：手掛かりを得るためには、特殊相対論にもう一度立ち返るのがいいと思います。特殊相対性理論において任意の慣性座標系から見て光の速さが一定不変であることと、二次形式
$$(\Delta X^0)^2-(\Delta X^1)^2-(\Delta X^2)^2-(\Delta X^3)^2$$が座標系の間の変換について不変であることは、密接に結びついていました。むしろ、慣性座標系の間の変換はこの量を不変にするはずだと考えて、座標変換の表式を求めました。たとえば $X^1$ 軸に沿って速さ $v$ で等速直線運動する観測者の設ける慣性系を $X'^{\mu }$ で表すなら
$$X'^0={{X^0-(v/c)X^1}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 3mm X'^1={{X^1-(v/c)X^0}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 3mm X'^2=X^2, \hskip 3mm X'^3=X^3$$という表式が得られたのです。他の $X^2$、$X^3$ 軸、あるいはそれらの中間の任意の直線方向に沿って等速直線運動する観測者への変換も、空間部分の適当な回転を組み合わせることによって、この簡単なローレンツ変換に帰着できます。
${\bf カール：}$ では時空間内の２点
$$(X^0, X^1, X^2, X^3), \hskip 5mm (X^0+\Delta X^0, X^1+\Delta X^1, X^2+\Delta X^2, X^3+\Delta X^3)$$の「時空距離 $\Delta s$」を
$$(\Delta s)^2=(\Delta X^0)^2-(\Delta X^1)^2-(\Delta X^2)^2-(\Delta X^3)^2$$によって定めることにしてはどうでしょう。一点だけ気になることは、この $\Delta s^2$ が、マイナス記号が紛れ込んでいるために、負になることもあることです。ただ、この二点を等速直線運動しながら通過する物体があったとして、その固有時を $\tau $ とし、２点間での $\tau $ の増分を $\Delta \tau $ で表すなら
$$(\Delta s)^2=(c\Delta \tau )^2$$です。従って特に、このような二点については $\Delta s > 0$ と考えていいわけです。物体の軌道の長さを目下のところ問題にしているのですから、$(\Delta s)^2$ が負になる場合があることにはしばらく目をつむって先へ進むことにしましょう。
${\bf アル：}$ おそらく賢明な選択かと思います。なお、
$$\eta _{\alpha \beta }=\cases{ 1 & $\alpha =\beta =0$ のとき \cr -1 & $\alpha =\beta =1 \ {\rm or} \ 2 \ {\rm or} \ 3$ のとき \cr 0 & $\alpha \not= \beta $ のとき}$$によって $\eta _{\alpha \beta }$ （$\eta $ 「エータ」はギリシャ文字）を導入すれば
$$(\Delta s)^2=\eta _{\alpha \beta }\Delta X^{\alpha }\Delta X^{\beta }$$と書けます。もちろん右辺には本来
$$\sum _{\alpha =0}^3\sum _{\beta =0}^3$$を書き加えるべきですが、誤解は生じないと思われますから省略しましょう。
${\bf カール：}$ $X^{\alpha }$ を、例えば地球の重力圏内を自由落下する乗組員の設ける慣性座標系とし、彼らにとっての時空距離（の二乗） $(\Delta s)^2$ が他の任意の座標系 $x^{\mu }$ から見てどう表現できるかが、われわれの関心事です：
$$\Delta X^{\alpha }={{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x^{\mu }}}(P)\Delta x^{\mu }+\left[ \Delta x^{\mu } の二乗以上\right] $$が成り立ちます。ただしここで $X^{\alpha }$ は、厳密には時空点の一点での無限小の近傍で特殊相対論が成立する局所慣性系であるとします。そのことを忘れないために、注目している点を $P$ として出しておきました。
従って
\begin{eqnarray*} \Delta s^2&=&\eta _{\alpha \beta }\Delta X^{\alpha }\Delta X^{\beta }\cr &=&\eta _{\alpha \beta }{{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x^{\mu }}}{{\partial X^{\beta }}\over {\partial x^{\nu }}}\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }+\left[ \Delta x^{\rho } の３回以上の積\right] \cr &=&g_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }+\left[ \Delta x^{\rho } の３回以上の積\right] \end{eqnarray*}と書けます。但し
$$g_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \beta }{{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x^{\mu }}}{{\partial X^{\beta }}\over {\partial x^{\nu }}}$$と置きました。
この $g_{\mu \nu }(P)$ は $P$ における局所慣性系 $X^{\alpha }$ の取り方には依存しません：$X'^{\alpha }$ を他の局所慣性系とすれば、ローレンツ変換
$$X'^{\alpha }={L^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }$$を表す行列 ${L^{\alpha }}_{\gamma }$ は
$${L^{\alpha }}_{\gamma }\eta _{\alpha \beta }{L^{\beta }}_{\delta }=\eta _{\gamma \delta }$$を満たします。これを使えば、この非依存性は容易に証明できます。
ある物体の運動を考えるとき、時空間内のその軌道が座標系 $x^{\mu }$ から見て $x^{\mu }(u)$ であるとしましょう。但し $u$ は適当なパラメーターであって、$a\leq u\leq b$ とします。軌道上にたくさんの分点を設け、隣り合う分点間の時空距離 $\Delta s$ を足し合わせた上で、分点の個数を限りなく増やす場合の極限値を $L$ とすると
$$L=\int _a^b\sqrt{g_{\mu \nu }{{dx^{\mu }}\over {du}}{{dx^{\nu }}\over {du}}}du$$となります。これはこの物体の軌道の長さと解釈できます。
６月４日の記事では、曲面上で任意の二点を固定するとき、それを結ぶ曲線の長さが
$$L=\int _a^b{\sqrt {g_{i j}{{dx^i}\over {du}}{{dx^j}\over {du}}}}du$$で表されること、この $L$ を最小とする曲線が方程式
$${{d^2x^i}\over {ds^2}}+{\Gamma ^i}_{j k}{{dx^j}\over {ds}}{{dx^k}\over {ds}}=0$$を満たすことを証明しました。但し
$${\Gamma ^i}_{j k}={1\over 2}g^{i l}\left[ -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j}\right] $$です。
これを証明した際の数学的手法は、「変分法」と呼ばれるのですが、まったく同じ手法が時空間の物体の軌道の長さ
$$L=\int _a^b\sqrt{g_{\mu \nu }{{dx^{\mu }}\over {du}}{{dx^{\nu }}\over {du}}}du$$にも適用できます。結果は、これを最小とする軌道が
$${{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0 \hskip 5mm (\mu =0, 1, 2, 3)$$を満たすということです。但し
$${\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }={1\over 2}g^{\mu \rho }\left[ -\partial _{\rho }g_{\lambda \nu }+\partial _{\lambda }g_{\nu \rho }+\partial _{\nu }g_{\rho \lambda }\right] $$です。
${\bf アル：}$ この等式が今回最初にカールの挙げた (\ref{eq:d2xmupart}) 式
$${{d^2x^{\mu }}\over {d\tau ^2}}+{{\partial x^{\mu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}}{{dx^{\lambda }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0$$と比較されるべきものですね。
${\bf カール：}$ その通りです。
$$g_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \beta }{{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x_{\mu }}}{{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x_{\mu }}}$$を代入すると
$${\Gamma ^{\mu }}_{\lambda \nu }={{\partial x^{\mu }}\over {\partial X^{\alpha }}}{{\partial ^2X^{\alpha }}\over {\partial x^{\lambda }\partial x^{\nu }}}$$だとわかります。つまり、二つの方程式は一致したのです。
曲面の場合に使った「測地線」という用語が時空間でも使えることになり、重力だけの影響下で運動する物体は、「測地線」に沿って運動することが示されたことになります。
${\bf アル：}$ カールの計算結果は次のように解釈することが自然であると、私には思われます：運動する物体の時空間における経路の長さ $L$ は、積分
$$L=\int _a^b\sqrt{g_{\mu \nu }{{dx^{\mu }}\over {du}}{{dx^{\nu }}\over {du}}}du$$によって表されました。$u$ はその経路を
$$(x^0(u), x^1(u), x^2(u), x^3(u))$$と表すものであれば何でもよくて、$L$ はパラメーター $u$ の取り方には依存しません。しかし、$L$ の値は座標系 $x^{\mu }$ の取り方には依存しているかのように、一見思われます。しかしそうではありません。つまり他の座標系 $x'^{\mu }$ を任意にとったとしても
$$L=\int _a^b\sqrt{g'_{\mu \nu }{{dx'^{\mu }}\over {du}}{{dx'^{\nu }}\over {du}}}du$$の値に変化はないのです。このことは
$$g'_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \beta }{{\partial X^{\alpha }}\over {\partial x'^{\mu }}}{{\partial X^{\beta }}\over {\partial x'^{\nu }}}$$から
$$g'_{\mu \nu }={{\partial x^{\lambda }}\over {\partial x'^{\mu }}}{{\partial x^{\rho }}\over {\partial x'^{\nu }}}g_{\lambda \rho }$$であり、また
$${{dx'^{\mu }}\over {du}}={{\partial x'^{\mu }}\over {\partial x^{\sigma }}}{{dx^{\sigma }}\over {du}}$$であること、更に
$${{\partial x^{\lambda }}\over {\partial x'^{\mu }}}{{\partial x'^{\mu }}\over {\partial x^{\sigma }}}=\delta ^{\lambda }_{\sigma }$$であることからわかります。
従って、時空間内の経路の長さ $L$ は、座標系の取り方にも依存しない、つまりそれを測定する人によって変わる量ではないことになります。その意味で時空間そのものに付随した、時空間そのものの幾何学的あり様から決まる量だと言えます。よってその長さを最小とする「測地線」も、時空間そのものが持つ幾何学的な対象物だと言えます。ちょうど、一つの球面の測地線が大円であり、そのことは誰にとっても変わらないことに似ています。
ところで、われわれが理解している重力は - ニュートンの重力ですが - 地球や太陽が物体に及ぼす力のことです。その結果が、物体の測地線に沿う運動であるのであれば、地球や太陽の存在はその周囲の時空間の幾何学的性質を変える、という発想に導かれます。比喩的に表現するなら、『時空が曲がる』のです。地球や太陽の存在によって、その周囲の時空間は曲がり - それは、ぴんと張られたトランポリンの面上に、人が乗るとくぼみができることを思い出せば、直観的には理解できます - その曲がり方によって決まる測地線に沿って、すべての物体が、その組成、形状、軽いか重いかに関わらず、運動するのです。
何故そうなのかの理由を人は問うかもしれませんが、自然の最も奥深い性質に到達し、それを説明し得る言葉としてここで用いた数学を得たと考えるべきです。それ以上に基本的な説明方法が存在しないのです。これからの研究者たちはおそらく、この考え方から得られる理論的帰結を一つ一つ現実と比較し、理論にほころびがないかどうかを検討するはずです。ニュートンの理論はその完成後二百年あまりの検討と発展を経て、論理的に何が問題で、現実の現象とどこがどの程度食い違っているかが明らかにされました。その不満足を解消するためには、少なくとも私の頭の中では、重力の幾何学的理論が必然です。ただ、その理論も、ニュートンの理論と同じ運命をたどるときがおそらく来るでしょう。そのような繰り返しが、われわれが自然に対する理解を深める唯一の方法だと思われます。
それはさておくとして、重力のもとでの物体の運動を時空間の幾何学的構造によって説明するという、この新しい考え方は、従来のニュートンの『質量の積に比例し、距離の二乗に反比例する引力が働く』という考え方とは一見、ひどく異なります。従って、新旧二つの考え方がどうつながっているのかを、まず明らかにする必要があります。そこに今後の努力を傾注しましょう。
目次を表示