${\bf カール：}$ 球面の場合、直観的には地球表面での経験から納得できると思うのですが、任意の二点を結ぶ最短経路は大円（の一部）であって、従って「直線」であり、件の微分方程式
$${{d^2x^i}\over {ds^2}}+{\Gamma ^i}_{j k}{{dx^j}\over {ds}}{{dx^k}\over {ds}}=0$$も満たします。同じことが、球面に限らず一般的な曲面においても成立すると言えれば、最短経路と『接ベクトルの方向が変化しない』という意味での「直線」の結びつきがはっきり認識できることになります。このことを考えてみましょう。
${\bf アル：}$ 二点を結ぶ曲線の内、長さが最短のものがどんな条件を満たすべきかをまず考えて、次に、その条件と件の微分方程式との関係を探るという方法を取りましょう：その曲線の長さと、その曲線を変形した（ずらした）曲線の長さを比べるなら、どんな変形であろうが、常に
\begin{equation} (変形後の長さ) - (変形前の長さ) \geq 0 \label{eq:oveLmainusL} \end{equation}のはずです。但し、両端の二点は固定していますから、動かしてはいけません。条件 ( \ref{eq:oveLmainusL}) は、一見すると曲線全体の形に関する大域的な条件のように見えますが、実は次の意味で局所的な条件です。
最短経路上に任意に点 $R$ を取ります。$R$ の近くだけで変形し、それ以外ではもと通りとするとしても条件 ( \ref{eq:oveLmainusL}) は成立し、しかも、$R$ の近くどれほど狭い範囲の変形であったとしても成立しなくてはいけません。従って、点 $R$ の無限小の近傍における曲線の振る舞い方に関する条件に、書き直すことができるはずです。$R$ は任意ですから、微分方程式に書き直すことのできる可能性が生まれます。
$R$ を含む適当な領域内の点を座標 $(x^1, x^2)$ で表すことのできる座標系をとり、３次元ユークリッド空間の原点からその点までのベクトルを
$${\bf r}(x^1, x^2)$$で表す。この領域に含まれる曲線上の点を適当にパラメーター $t$ を設定し
$$(x^1(t), x^2(t))$$と表し、
$${\bf r}(t)={\bf r}(x^1(t), x^2(t))$$とする。$t$ の範囲を $a\leq t\leq b$ とし、
$$P=(x^1(a), x^2(a)), \hskip 5mm Q=(x^1(b), x^2(b))$$と置く。ここで、二点 $P, Q$ は動かさずにその間だけで変形した曲線は、適当な関数 $\epsilon ^i(t)$ を用いて $$(x^1(t)+\epsilon ^1(t), x^2(t)+\epsilon ^2(t))$$
で表すことができる。但し $P, Q$ は動かさないのだから
$$\epsilon ^i(a)=\epsilon ^i(b)=0\hskip 5mm (i=1, 2)$$でなくてはいけない。
念のために注意しておくが、これまでは曲線を表す際のパラメーターとして長さ $s$ を用いてきた。しかし、ここでは曲線を変形する必要があり、$s$ の範囲も変わってしまう。すぐにわかるがパラメーターの範囲が一定の場合、曲線全体の長さを積分で表すことができて好都合である。パラメーターとして $s$ ではなく、他の $t$ を設定した理由はそこにある。
まず、変形前の曲線の $P, Q$ 間の長さ $L$ を書き表すことを考える。その曲線を折れ線で近似して $L$ を得るために、区間 $[a, b]$ に $N$ 個の分点
$$a=t_0 < t_1 < \cdots < t_N=b$$を設ける。小区間 $[t_{n-1}, t_n]$ に対応する線分の長さは
$$\Vert {\bf r}(t_n)-{\bf r}(t_{n-1})\Vert $$だが
$${\bf r}(t)-{\bf r}(t_{n-1})={{d{\bf r}}\over {dt}}(t_{n-1})(t-t_{n-1})+\left[ (t-t_{n-1}) の二乗以上\right] $$と書けるから
$$\Vert {\bf r}(t_n)-{\bf r}(t_{n-1})\Vert =\Vert {{d{\bf r}}\over {dt}}(t_{n-1})\Vert (t-t_{n-1})+\left[ (t-t_{n-1}) の二乗以上\right] $$となる。但し、テーラー展開
$${\sqrt{1+x}}=1+{1\over 2}x+\cdots $$を用いた。従ってこの折れ線の長さは
$$\sum _{n=1}^N\left( \Vert {{d{\bf r}}\over {dt}}(t_{n-1})\Vert (t_n-t_{n-1})+\left[ (t_n-t_{n-1}) の二乗以上\right] \right) $$であり、ここで $N$ を限りなく大きくするなら、右辺二項目の大括弧の効果は消えてしまい、よって積分が現れる。つまり
$$L=\int _a^b\Vert {{d{\bf r}}\over {dt}}(t)\Vert dt$$となる。
ここで
$${{d{\bf r}}\over {dt}}={d\over {dt}}{\bf r}(x^1(t), x^2(t))={{dx^i}\over {dt}}{\bf r}_i$$だから
$$\Vert {{d{\bf r}}\over {dt}}\Vert ={\sqrt{{{dx^i}\over {dt}}{\bf r}_i\cdot {{dx^j}\over {dt}}{\bf r}_j}}={\sqrt{g_{i j}{{dx^i}\over {dt}}{{dx^j}\over {dt}}}}$$であり、よって
$$L=\int _a^b{\sqrt{g_{i j}(x^1(t), x^2(t)){\dot x}^i(t){\dot x}^j(t)}}dt$$と書ける。但し
$${{dx^i}\over {dt}}={\dot x}^i$$と略記した。まったく同じ論法が変形後の曲線の長さについても適用できるから
$${\overline L}=\int _a^b{\sqrt{g_{i j}(x^l(t)+\epsilon ^l(t))\left( {\dot x}^i(t)+{\dot \epsilon }^i(t)\right) \left( {\dot x}^j(t)+{\dot \epsilon }^j(t)\right) }}dt$$と書ける。
変形後の長さは前の長さより減ることはないという最初の条件 (\ref{eq:oveLmainusL}) から
$${\overline L}-L\geq 0$$でなくてはいけない。この条件を曲線の局所的な性質に関する条件に書き直すことが問題なのだが、複雑な記号を避けるために
$$F(x^i, {\dot x}^i)={\sqrt{g_{i j}(x^1, x^2){\dot x}^i{\dot x}^j}}$$と置く。すると
$$L=\int _a^bF(x^i(t), {\dot x}^i(t))dt$$ $${\overline L}=\int _a^bF(x^i(t)+\epsilon ^i(t), {\dot x}^i(t)+{\dot \epsilon }^i(t))dt$$と書ける。
$F(x^i, {\dot x}^i)$ を実数 $x^i$ と ${\dot x}^i$ を変数とする四変数関数とみなすなら、それらの変化分 $\epsilon ^i$ と ${\dot \epsilon }^i$ に対し
$$F(x^i+\epsilon ^i, {\dot x}^i+{\dot \epsilon }^i)-F(x^i, {\dot x}^i)={{\partial F}\over {\partial x^i}}\epsilon ^i+{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}{\dot \epsilon }^i+\left[ \epsilon ^i や {\dot \epsilon }^i の二乗以上\right] $$となる。
従って
$${\overline L}-L=\int _a^b\left[ {{\partial F}\over {\partial x^i}}(t)\epsilon ^i(t)+{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t){\dot \epsilon }^i(t)\right] dt+\left[ \epsilon ^i(t) や {\dot \epsilon }^i(t) の二乗以上の積分\right] $$となる。但し、
$${{\partial F}\over {\partial x^i}}(t)$$の記号は、変数 $x^i$ に $t$ の関数 $x^i(t)$ を、${\dot x}^i$ に ${\dot x}^i(t)$ をそれぞれ代入したものを表した。他についても同様。
さてここで部分積分の公式が使えることに気付くなら
$$\int _a^b{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t){\dot \epsilon }^i(t)dt=-\int _a^b{d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)\times \epsilon (t)dt$$だとわかる。ここでは端の点に関する条件
$$\epsilon ^i(a)=\epsilon ^i(b)=0$$を用いた。
従って
\begin{equation} {\overline L}-L=\int _a^b\left[ {{\partial F}\over {\partial x^i}}(t) -{d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)\right] \epsilon ^i(t)dt+\left[ \epsilon ^i(t) や {\dot \epsilon }^i(t) の二乗以上の積分\right] \label{eq:Lba-kataL} \end{equation}となる。ここで大括弧の中身の関数
$${{\partial F}\over {\partial x^i}}(t) -{d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)$$の振る舞いが問題になる。もしある点 $t=t_0$ でこの関数の $i=1, 2$ の少なくとも一方が $0$ でない値をとる、たとえば $i=1$ の関数が正の値をとるとすると、$t_0$ を含む十分小さな区間 $\alpha \leq t\leq \beta $ では常に正の値をとるようにできる。このとき関数 $\epsilon ^1(t)$ として $(\alpha , \beta )$ 内で常に負の値をとるものを選び、$\epsilon ^2(t)$ としては恒等的に $0$ であるものを選ぶとすれば、
$$\int _a^b\left[ {{\partial F}\over {\partial x^i}}(t) -{d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)\right]\epsilon ^i(t)dt <0$$とすることができる。
しかしこれは常に
$${\overline L}-L\geq 0$$であるという条件に反する。何故ならば、上の条件を満たす $\epsilon ^i(t)$ は、${\dot \epsilon }^i(t)$ とともに、徐々に小さくすることができるが、その際、(\ref{eq:Lba-kataL}) 式の右辺に現れる
$$\left[ \epsilon ^i(t) や {\dot \epsilon }^i(t) の二乗以上の積分\right] $$の効果は、第一項の積分、つまり $\epsilon ^i(t)$ の一乗に比例する項の積分に比して小さなものとなり、どこかの時点でそれ以降
$${\overline L}-L < 0$$となる状況が生じるから。
よって $i=1, 2$ の双方について
\begin{equation} {{\partial F}\over {\partial x^i}}(t) -{d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)=0 \label{eq:euler-Lageq} \end{equation}が任意の $t$ について成立するという結論が得られた。
四変数の関数として
$$F(x^i, {\dot x}^i)={\sqrt {g_{i j}(x^1, x^2){\dot x}^i{\dot x}^j}}$$なので
$${{\partial F}\over {\partial x^i}}={1\over 2}{1\over {\sqrt{g_{j k}{\dot x}^j{\dot x}^k}}}(\partial _ig_{j k}){\dot x}^j{\dot x}^k$$ $${{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}={1\over {\sqrt{g_{j k}{\dot x}^j{\dot x}^k}}}g_{i j}{\dot x}^j$$となる。ここで曲線の始点からの長さを $s$ で表すなら
$$s(t)=\int _a^t{\sqrt{g_{j k}(x^1(t), x^2(t)){\dot x}^j(t){\dot x}^k(t)}}dt+定数$$と書ける。よって
$${\dot s}(t)={\sqrt{g_{j k}(x^1(t), x^2(t)){\dot x}^j(t){\dot x}^k(t)}}$$であり、
$${{\partial F}\over {\partial x^i}}(t)={1\over 2}{1\over {{\dot s}(t)}}(\partial _ig_{j k})(x^1(t), x^2(t)){\dot x}^j(t){\dot x}^k(t)$$ \begin{eqnarray*} {d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)&=&\left( {d\over {dt}}{1\over {{\dot s}(t)}}\right) g_{i j}(x^1(t), x^2(t)){\dot x}^j(t)\\ &&+{1\over {{\dot s}(t)}}(\partial _kg_{i j})(x^1(t), x^2(t)){\dot x}^k(t){\dot x}^j(t)+{1\over {{\dot s}(t)}}g_{i j}(x^1(t), x^2(t)){\ddot x}^j \end{eqnarray*}となる。
よって (\ref{eq:euler-Lageq}) 式で求めた関係式
$${{\partial F}\over {\partial x^i}}(t) -{d\over {dt}}{{\partial F}\over {\partial {\dot x}^i}}(t)=0$$は $x^i(t)$ に関する微分方程式に変換できたことになる。ただかなり複雑な形でこのままでは興味も失せるけれども、$t$ に関する微分を $s$ に関する微分に置き換えると、随分簡単になって
\begin{equation} {1\over 2}(\partial _ig_{j k}){{dx^j}\over {ds}}{{dx^k}\over {ds}}-(\partial _kg_{i j}){{dx^k}\over {ds}}{{dx^j}\over {ds}}-g_{i j}{{d^2x^j}\over {ds^2}}=0 \label{eq:Eulerlag-2} \end{equation}の形になる。これは
$${\dot x}^j={{dx^j}\over {dt}}={\dot s}{{dx^j}\over {ds}}$$ $${\ddot x}^j={{d^2x^j}\over {dt^2}}={\dot s}^2{{d^2x^j}\over{ds^2}}+{{d^2s}\over {dt^2}}{{dx^j}\over {ds}}$$を用いれば、単純な計算で出せる。最後に (\ref{eq:Eulerlag-2}) 式は、以前求めた
$$\Gamma _{i, j k}={1\over 2}\left( -\partial _ig_{j k}+\partial _jg_{k i}+\partial _kg_{i j} \right) $$と
$${\Gamma ^l}_{j k}=g^{l i}\Gamma _{i, j k}$$を用いると
$${{d^2x^l}\over {ds^2}}+{\Gamma ^l}_{j k}{{dx^j}\over {ds}}{{dx^k}\over {ds}}=0 \hskip 3mm (l=1, 2)$$と書き直せる。つまり「直線」の方程式が得られた。
以上で、二点を結ぶ最短の曲線は「直線」の方程式を満たすことを、一般の曲面においても証明できました。
${\bf カール：}$ 「直線」と呼ぶのは誤解の恐れもありますから、今後は、まったく新しい言葉を採用することにして「測地線」と呼ぶことにしましょう。
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