カール： ところでアルバート、あなたが私のところへやって来た、その動機をまだ聞いていないのですが、そろそろ話してくれませんか。
アル： すべてはある屋根葺き職人から聞いた話に始まります。その職人はあるときうっかりして屋根から滑り落ち、大けがをしたのですが、そのときの様子を話してくれました。地面に向かって落ちていく間中、妙な感触、を経験したというのです。言うなれば、地球の重力からすっかり解放されたように感じたそうです。
カールが車に乗って交差点を左右どちらかへ曲がるとしましょう。ハンドルを切ると同時に、身体は反対側へ押しやられます。もしダッシュボードに財布でも置いておくなら、反対側へスーとすべります。しかしその加速は、車を基準にとれば起きるその加速は、実際に何かが財布に力を加えたために生じたものではありません。従って、加速度が生じるのは外部から力が加わるときのみ、というニュートンの運動法則は、左右にハンドルを切る、あるいは急ブレーキを踏むときの車内というような、加速度を伴う体系 - 今後簡単に「加速度系」と呼ぶ - では成り立ちません。駐車場に止まっているときの、あるいはまっすぐな道路を一定の速さで走っているときのような、いわゆる等速直線運動する体系 - これを「慣性系」と呼びますが - に対してのみ法則的な事柄は成立し、加速度系でそれは望めないと、おそらく多くの人は思います。
しかし、先の屋根葺き職人は、実はそうではないことに気付かせてくれました：たとえば鉄の玉と木の玉を同時に同じ高さから手放すと、それらは同時に床を打つ、言いかえれば物体はすべて同じ加速を得ながら落下する、それらの軽重、組成、形などによらずです。もちろん、コインと紙切れを落とせば、コインはすとんと、紙はひらひらとゆっくり落ちます。しかしそれは空気の抵抗を紙切れの方がより多く受けるがためで、紙切れをたとえば固く丸めて空気抵抗の影響を減らし、働く力が地球の重力だけとなるよう工夫すれば、コインとほとんど同時に床を打つことを確かめることができます。この現象は「等価原理」と呼ばれますが、先の屋根葺き職人は、自ら落体の一つとなってこの原理を確かめたのです。もちろん、人々はずっと昔からこの原理が成り立つことに気付いていました。重力関するニュートンの「逆二乗則」と、運動に関する法則 F=ma を用いれば説明も可能です。しかし、誰でもが即座に確かめることのできる、この極々単純な事実は、これから説明しますが、われわれが重力についての理解しようとする際、きわめて重要な役割を発揮します。
宇宙空間に一つの箱が浮遊しているとして、その中に閉じ込められた観測者がその中、あるいはその近くで起きる物理的なできごとを観測するとします。箱が単に浮遊しているとき、箱の中の観測者が何らかの重力を感じることはありません。等価原理が成り立たつがために、彼、あるいは彼女のまわりの物体はすべて、彼あるいは彼女にとって静止、または等速直線運動をするからです。加速度運動をして、何かに向かって落ちていくと解釈できる物質は、彼らの周りに何もないのです。おそらく近い将来、人類は宇宙へ飛び出すことになります。きっと地球を周回する宇宙船の中で人間が生活することになるでしょう。始終プカプカ浮いている状態では不便極まりないはずで、たとえば宇宙船を回転させるなどして人工的に重力を作り出す工夫をするはずです。でもそのような回転もせず、ロケットエンジンを噴射することもなければ、つまり地球の重力圏を自由に落下するに任せるなら、乗組員にとって地球の重力の影響は何ら検出できないはずです。例えば水の入ったコップは、手を放してもそのまま目の前に浮かび続けます。コップだけを後ろに引けば、水は取り残され、球形になってぶよぶよと振動しながら浮かび続けると想像できます。この意味で、重力の影響は適当な加速度系に乗れば消し去ることができるのです。
この特徴は、重力だけが持つ性質であって、他の力にはなさそうです。たとえば風によって及ぼされる力を考えてみて下さい。ヨットがよーいドンでスタートするとき、その後同じ加速を持って運動することはほとんどありません。水の抵抗がまったく同じ船であったとしても、帆の形、あるいは船体の重さなどによって加速の様子は異なります。電気の力もしかりです。プラスとマイナスの電荷は反対方向の力を受け、同じ加速でもって動き出すことはありません。
等価原理は次のような意味も持ちます：もろもろの星々から遠く離れた宇宙空間にある箱を考え、その中に閉じ込められた観測者が箱の中で起きる現象を観測するとします。ただ漂っているだけなら、何かの手段で床に身体を括り付けでもしない限り、その観測者はゆらゆらと箱の内部を漂うことになります。そこで、箱の外部に誰かが居て、箱の屋根に留め具を取り付け、そこにロープの一端を固定しもう一方の端を一定の加速度を持って引っ張りだしたとします。その端をロケットに括りつけて、ロケットのエンジンに点火したとすればよいのです。
ロケットのエンジンが火を噴くと同時に、それまで宙を漂っていた観測者や物体は、床に叩きつけられます。床に足を踏ん張って立つという動作ができるようになります。立った状態で、何かの物体を手に持ち、たとえば鉄球と木球を手に持ち、同時に手放すなら、それらは同時に床を打つはずです。手放した後、観測者は床をとおして伝わるロケットからの力によって加速されるにもかかわらず、手放された物体にはその力が伝わらず加速は生じません。従って、その観測者から見れば、まったく同じ加速度で床に向かって運動する物体が観測されることになります。つまり、地球のような物体が及ぼす重力のもとで観測される現象と何ら変わりない現象が、この箱の中で観測されるのです。
たとえばこの箱を地球上で組み立て、観測者がしばらくその中で生活したとしましょう。その観測者が眠っている間にそっと箱を移動し、地球や他の星々から遠く離れた宇宙空間に持っていったとします。地球上で落体に生じる加速度と同じ加速度、つまり 9.8m⋅s−2 の加速度が生じるようにロケットの推力を調節した後、観測者が目覚めたとします。その観測者が、実は地球上にいるのではなく、遠く宇宙の果てに連れてこられたのだと気づくことは、箱の窓を開けて外を見ない限りないはずです。これも等価原理の一つの帰結です。
箱の中の観測者にとって区別のつかない現象の範囲を、落体に関する現象だけに限定することは不自然であると私は考えました。たとえば化学反応やその他もろもろの物理現象すべて、あるいはそれらの間の関係、どれに注目しても区別がつかないと考えたのです。その一つの例として光の運動があります：
仮にこの箱の側面の壁に穴が開いていて、そこから光が差し込んだと思って下さい。箱自体がロケットによって無理やり引っ張り上げられることなく、慣性に従って等速直線運動をしている状態ならば、さし込んだ光の箱に対する方向はそのまま保たれます。たとえば床、あるいは天井に平行に入射する光は、それらに平行なまま進行し、真反対の壁に到達することになります。しかし実際には、この箱はロケットによって上方向に加速されながら運動しています。従って光の進行方向は、箱の中の観測者にとっては徐々に下方向に変化することになります。天井と床に（内部の観測者にとって）平行な方向で入射したとしても、反対側の壁に到達するときには、さし込んだ穴の高さより低い位置に衝突するのです。つまり、光の経路は下方向に曲がるということです。箱の中の観測者にとって光が直進せず曲がって進むという現象は、従って、箱が星、たとえば地球の表面に置いておかれているときにも観測されるはずだと結論できます。
この曲がり方がどれくらいかを荒っぽく計算してみましょう：まず箱の大きさですが、地球の半径を r で表し、一辺が 2r の立方体の箱であるとします。光が差し込む穴が側壁の最も高い位置、天井すれすれに開いているとして、内部の観測者にとって、光は壁と直交する方向で差し込み、箱の内部を進んだ後、反対側の壁に到達するとします。到達点が天井から δ だけ下方であるとすれば、
θ=δrによって θ を定義して、この θ が光の経路の曲がりをおおよそ表す角度と考えます。つまり光の到達点と天井（差し渡しが 2r）の中点を結ぶ直線が、差し込んだ光がそのまま直進したとする経路となす角です。もちろん θ は非常に小さな値であるはずで、θ2 は 1 や θ に対して無視して考えています。等価原理をもっと正確に考慮して計算すれば違う値が出てくると思われます。しかしその場合でもこの θ とそれほど大きくは違わないはずで、逆に言えば - もし光の経路が実際に曲がるとしても - この θ に対応する角度を測定する結果、以上の仮定の下で得られる θ と大きく違う、たとえば何百倍、あるいは何千倍も違うようなら、等価原理を逆手に取ったこのアイデイアは、重力に関する物理現象を理解する方法としては的を得ていないと判断しなくてはいけないでしょう。しかしもし仮に、たとえば二倍か三倍の違いであるなら、かなり有望な方法だということになります。
ロケットの推力が箱に与える加速度を g で、光が箱の内部を飛ぶ時間間隔を t で表すなら、近似的に t=2r/c であり
δ=12g(2rc)2=2gr2c2従って
θ=δr=2grc2ここで g を地球の重力加速度
g=GMr2とするなら
θ=2GMc2rとなります。但し G は重力定数、M は地球の質量です。
G=6.7×10−11 m3⋅s−2⋅kg−1 M=6.0×1024 kg r=6.4×106 m c=3.0×108 mを代入すると
θ=1.4×10−9 radとなりますが、これは
θ=2.9×10−4 秒角を意味します。3600 秒角が 1 度であることを考えると、極めて小さな角度であり、検出は困難であると考えられます。
ただ、地球を太陽に置き換えるなら、
θ=2GMc2rの質量 M が大きくなるので、半径 r との兼ね合いの問題になりますが、検出が可能なほど大きくなる可能性はあります：地球の質量と半径をそれぞれ ME,rE で表すなら、太陽の質量と半径それぞれとの比は
MME=3.3×105 rrE=1.1×102です。よって太陽に関する θ は地球に関する θE の
MME×rEr=3×103倍となり、
θ=θE×3×103=0.87 秒角です。
これでも実に小さな値ですが、実は１９１９年になって、私の理論的予想に興味を持った人たちが、太陽表面をかすめて地球へ届く遠方の星からの光を皆既日食の際に観測する方法によって、光線の曲がりが実際に存在することを確認しました。その結果は、およそ 1.75 秒角であり、ここで得た計算値の二倍程度です。
従って、等価原理の成立を手掛かりとして重力に関する現象を理解しようという手法は、かなり有望であると考えてよいと思われます。
等価原理は時間の進み方についても重要なことを教えてくれます：地球の重力の影響下で自由落下する（つまり、ロケットエンジンを作動させることなく、落ちるに任せる）宇宙船の飛行士にとっては、その内部、あるいはその近くの物体はすべて等速直線運動します。従ってその範囲で起きる現象に関する限り、その観測者にとって十分な近似で特殊相対性理論が適用できることになります。ここで「その近くの物体」と断った理由は、余りに遠く離れすぎると等速直線運動するとは言えないからです。たとえば、極端な場合として、地球の反対側で落下する物体の宇宙船に対する速さは徐々に加速します。
その宇宙船の飛行士たちは、その意味で近くにあって、しかも彼らにとって静止している時計を、光の信号を用いる例の手法によって、合わせることができます。彼らにとって、同時に同じ時刻を刻むように調節することができるのです。ですからもちろん、彼らの時計が刻む、たとえば一秒という時間間隔は、いつでも一定であると考えられます。
その一定の時間間隔を基準にして、地上から高い位置にある時計の進み方と、低い位置にある時計の進み方を比較すると、低い位置にある時計の方がゆっくり進んでいることが、以下のようにしてわかります：地面から鉛直方向、高い位置に時計 1 が、低い位置に時計 2 があるとして、高低差を h メートルとします。鉛直方向に自由落下する宇宙船の飛行士たちが、窓のすぐそばを通過する二つの時計の進み方を観測するとして、彼らは特殊相対性理論で得られる『動く時計は遅れる』事実を知っているとします。
時計 1 の位置から自由落下が始まるとすれば、開始の瞬間には時計 1 と宇宙船の時計とは互いに静止の関係にあり、よって、時計 1 が微小な時間 Δt1 を刻む間に、飛行士たちの時計が Δt0 を刻むとすると、
Δt1=Δt0が成り立ちます。宇宙飛行士たちにとっては外を景色は下から上へは流れ、いずれ時計 2 が窓の外を通過するときがやって来ます。その瞬間での時計 2 の、飛行士たちにとっての速さを v とするなら、極々短い時間間隔であれば速さ v の等速運動と考えてよいと思われます。そのとき、「時計の遅れ」によれば、時計 2 が 1 秒を刻む間に飛行士たちの時計は
1√1−(v/c)2秒を刻むことになります。よって飛行士たちの時計が Δt0 を刻む間に時計 2 が刻む時間間隔を Δt2 で表すなら
Δt0=Δt2×1√1−(v/c)2つまり
Δt2=Δt0×√1−(v/c)2=Δt1×√1−(v/c)2<Δt1となります。これは、低い位置にある時計 2 の方が、高い位置にある時計 1 よりゆっくり進むことを意味しています。
v は飛行士たちにとっての時計 2 が上方向に飛び去る速さとして定義しました。互いがすれ違うその瞬間のごく短い時間間隔においては、宇宙船と時計 2 とは互いに等速で運動すると思えるので、お互いが対称な関係にあります。よって v はその瞬間における、地上の人たちが測る宇宙船の速さに等しくなります。光速に近い速さが関与しない高低差 h を考えることとして、ニュートンの運動法則を適用するなら
v2=2ghが得られ、これを上で得た等式へ代入するなら
Δt2=Δt1×√1−(v/c)2≈Δt1(1−v22c2)=Δt1(1−ghc2)となります。書き換えると
Δt1−Δt2=Δt1ghc2です。
地上近くにある時計は高い位置にある時計と比べて遅れることになるのですが、どの程度の遅れかを計算してみます：２１世紀ともなれば宇宙船や人工衛星に搭載した時計の進み方が問題になるはずですから、h を 100 キロメートルとし、1 時間後の違いを見るために
Δt1=1時間とします。
ghc2=1.1×10−11 Δt1=3.6×103 sですから
Δt1ghc2=4.0×10−8sとなります。すなわち、地上にある時計は高さ 100 キロメートルの時計と比べると 1 時間後には一億分の一秒のオーダーで遅れることになります。こんな僅かな時間差を検出することは不可能だと思うかもしれません。しかし、１９７６年には、きわめて精度の高い時計を用いて、この遅れの存在が実際に確認されることになります。
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