${\bf アル：}$ ${\Gamma ^i}_{j k}$ を導入することによって、ベクトルの平行移動を成分に関する微分方程式で表すことができました。$\omega (D)$ はその平行移動によって決まる量であり、従って
\begin{equation} {{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\rightarrow K(P) \label{eq:K(P)nodef-2} \end{equation}によって定まる $K(P)$ も ${\Gamma ^i}_{j k}$ によって表される可能性が出てきました。その辺を探ってみましょう。
周囲を平行移動して始点に帰ってきた時のベクトルの方向のずれ $\omega (D)$ や、面積 $\sigma (D)$ が計算しやすい $D$ を設定するために、曲面上に４点 $P, Q, R, S$ を考えます。それぞれの座標は
$$(x^1, x^2), \hskip 5mm (x^1+dx^1, x^2+dx^2)$$ $$(x^1+\delta x^1, x^2+\delta x^2), \hskip 5mm (x^1+dx^1+\delta x^1, x^2+dx^2+\delta x^2)$$です。４つの数 $dx^i, \delta x^i$ はそれぞれ小さな数とし、最終的には限りなく小さくします。$P, Q, S, R$ をこの順で結んで得られる曲線を $C$ で表し、内部の領域を $D$ で表します。$C$ 上を進む際には $D$ を左に見るように $P, Q, S, R$ が並んでいるものとします。
曲線 $C$ は、例えば $P, Q$ 間では座標が
$$(x^1+tdx^1, x^2+tdx^2) \hskip 5mm (0\leq t\leq 1)$$の点から成ると考えてください。$Q, S$ 間では
$$(x^1+dx^1+t\delta x_1, x^2+dx^2+t\delta x^2) \hskip 5mm (0\leq t\leq 1)$$です。$S, R$ 間と $R, P$ 間についても同様です。
$dx^i, \delta x^i$ が小さければ小さいほど、$D$ は平行四辺形に近づくと考えられます。従ってその面積 $\sigma (D)$ を $dx^i$ と $\delta x^j$ で展開するとき最も最初に現れる項は $dx^i\times \delta x^j$ の形の項であって、残りは $dx^i$ あるいは $\delta x^j$ 少なくとも一方の二つ以上の積を含む項のはずです。従って
$${{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\rightarrow K(P)$$によって定まる $K(P)$ は、$\omega (D)$ と $\sigma (D)$ 双方の $dx^i\times \delta x^j$ の項を比べることによって求まると予想できます。つまりこれらの計算においては、$dx^i$ あるいは $\delta x^j$ 少なくとも一方の二つ以上の積を含む項を無視してよいことになります。
$P$ での面ベクトル ${\bf a}$ を $C$ に沿って平行移動し、再び $P$ に戻るときのベクトルを ${\bf a}_f$ で表します。
$${\bf a}=a^i{\bf r}_i(P)$$と表します。和の記号は略しました。もちろん
$${\bf r}_i(P)={\bf r}_i(x^1, x^2)$$を意味します。この ${\bf a}$ を $Q$ まで平行移動したベクトルを
$${\bf a}(Q)=a^i(Q){\bf r}_i(Q)$$と書き表すと、微分方程式
$${{da^i}\over {ds}}+{\Gamma ^i}_{j k}a^j{{dx^k}\over {ds}}=0$$によって近似的に
\begin{equation} a^i(Q)\approx a^i-{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^k \label{eq:AQnohyouji} \end{equation}が成り立ちます。${\Gamma ^i}_{j k}$ は $P$ での値です。この近似は $dx^1, dx^2$ の二つ以上の積を含む項（$dx^1\times dx^2$ も入る）を無視した結果です。
${\bf カール：}$ (\ref{eq:AQnohyouji}) 式の導出をもう少し丁寧に説明してくれませんか。
${\bf アル：}$ $P$ と $Q$ の間の距離を $ds$ で表せば、
$$a^i(Q)-a^i={{da^i}\over {ds}}ds+\left[ ds の二乗以上の項\right] $$と書けて、更に微分方程式
$${{da^i}\over {ds}}+{\Gamma ^i}_{j k}a^j{{dx^k}\over {ds}}=0$$を使うと
$$a^i(Q)-a^i=-{\Gamma ^i}_{j k}a^j{{dx^k}\over {ds}}ds+\left[ ds の二乗以上の項\right] $$と書けます。
また
$$x^k(Q)-x^k={{dx^k}\over {ds}}ds+\left[ ds の二乗以上の項\right] $$であり、左辺は $dx^k$ に他ならず、よって
$$a^i(Q)-a^i=-{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^k+\left[ ds の二乗以上の項\right] $$となります。ここで $ds$ は $dx^1, dx^2$ によって決まる量、すなわち関数であり、それらの一乗以上の級数として表されるはずです。従って、$dx^1$ や $dx^2$ の二乗、あるいは積 $dx^1dx^2$ などを無視する上で、近似式 (\ref{eq:AQnohyouji}) が得られます。
${\bf カール：}$ 次はおそらく、この ${\bf a}(Q)$ を $S$ まで平行移動するのですね。書いてみましょう。平行移動した結果を ${\bf a}(S)$ で表すならば、再び微分方程式 によって
\begin{equation} a^i(S)\approx a^i(Q)-{\Gamma ^i}_{j k}(Q)a^j(Q)\delta x^k\label{eq:C1nisote} \end{equation}となります。もちろん $\delta x^1, \delta x^2$ の二つ以上の積を無視した結果の近似式です。
$Q$ での値 ${\Gamma ^i}_{j k}(Q)$ は $P$ での値に書き直しておく方が良さそうです。
$${\Gamma ^i}_{j k}(Q)\approx {\Gamma ^i}_{j k}+\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}dx^l$$となります。但し $x^l$ に関する偏微分を、簡単に $\partial _l$ で表しました。これを使って (\ref{eq:C1nisote}) を整理すると（変形の途中で添え字が重複しないように気を付けなくてはいけませんが）
\begin{eqnarray} a^i(S)&\approx &a^i-{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^k-{\Gamma ^i}_{j k}a^j\delta x^k\nonumber \\ &&\ -\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^l\delta x^k +{\Gamma ^i}_{j k}{\Gamma ^j}_{m n}a^mdx^n\delta x^k\label{eq:Asknohyouji} \end{eqnarray}が得られます。但し、${\Gamma ^i}_{j k}$ など、点の表示がないものは $P$ での値を意味するとします。
さて次は ${\bf a}(S)$ を $R$ まで平行移動せねばならないのですが、これを書き下すのは少し大変だ。それにその後で更に $P$ までの平行移動も控えています。手間を省く工夫を何か考えたくなります。
${\bf アル：}$ 平行移動ではベクトルの間の角度が変わらないことを利用してはどうでしょう。${\bf a}(S)$ を $R$ を経由し $P$ まで平行移動する結果が ${\bf a}_f$ であり、${\bf a}$ と ${\bf a}_f$ の間の角が $\omega (D)$ です。しかしそれは、${\bf a}$ を $R$ を経由して $S$ まで平行移動して得られるベクトルと、${\bf a}(S)$ との成す角に等しいはずです。
$Q$ を経由して $S$ まで平行移動して得られるベクトル ${\bf a}(S)$ を改めて ${\bf a}(Q, S)$ で表し、$R$ を経由する場合を ${\bf a}(R, S)$ で表すならば
\begin{eqnarray*} a^i(Q, S)&\approx &a^i-{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^k-{\Gamma ^i}_{j k}a^j\delta x^k \\ &&-\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^l\delta x^k +{\Gamma ^i}_{j k}{\Gamma ^j}_{m n}a^mdx^n\delta x^k \end{eqnarray*}の $dx^i$ と $\delta x^i$ を入れかえて
\begin{eqnarray*} a^i(R, S)&\approx &a^i-{\Gamma ^i}_{j k}a^j\delta x^k-{\Gamma ^i}_{j k}a^jdx^k \\ &&-\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}a^j\delta x^ldx^k +{\Gamma ^i}_{j k}{\Gamma ^j}_{m n}a^m\delta x^ndx^k \end{eqnarray*}が得られます。
${\bf a}(R, S)$ から $\omega (D)$ だけ回転した方向に ${\bf a}(Q, S)$ があることになります（但し、反時計回りに測る角度を正とし、時計回りを負とします）。これを使って $\omega (D)$ を求めることはできないでしょうか。
${\bf カール：}$ 平行移動ではベクトルの長さも変化しないことを考慮するなら、
\begin{equation} \Vert {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\Vert \approx \Vert {\bf a}\Vert \times \vert \omega (D)\vert \label{eq:AfkaraAtoomega-2} \end{equation}が成り立ちます。但し $\Vert \cdot \Vert $ はベクトルの長さを表すとします。$\Vert {\bf a}\Vert $ を半径とする円の、中心角 $\vert \omega (D)\vert $ に対応する円弧の長さを、その端を結ぶ線分の長さ
$$\Vert {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\Vert $$で置き換えました。そこに生じる誤差のための近似式ですが、これまでと同じく、$dx^i$ の二乗以上、あるいは $\delta x^j$ の二乗以上を含む項を無視する近似です。
ここで $\omega (D)$ の測り方について注意しておくべきだと思います：$D$ は微小な領域であってその近辺での曲面の曲がり方は平面に近いはずです。よって ${\bf a}_f$ は ${\bf a}$ とあまり変わらないはずです。このとき二つのケースがあり得ます。一つは、${\bf a}_f$ の方向が ${\bf a}$ から反時計回りに測ってすぐそばにあるケースです。このときは $\omega (D)$ は小さな正の値です。もう一つのケースは、${\bf a}_f$ の方向が ${\bf a}$ から時計回りに測ってすぐそばにあるケースです。このときもし、反時計回りに測るとすると $\omega (D)$ は $2\pi $ に近い正の値になります。$D$ を小さくするにつれて $\omega (D)$ が $2\pi $ に近づくことになりかねません。この第二のケースの場合、${\bf a}$ から ${\bf a}_f$ まで時計回りに測ることをするなら $\omega (D)$ は負の小さな値になり、$D$ を小さくするにつれて $0$ に近づきます。この意味の連続性は必要なことだと思われますから、微小領域での $\omega (D)$ については、この連続性を保証するように測るとします。任意の領域 $D$ は、それを微小領域 $D_j$ に細かく分割するとき
$$\omega (D)=\sum _j\omega (D_j)$$を満たすことを、われわれは既に知っています。よって、任意の領域 $D$ について、$\omega (D)$ の測り方をユニークに指定したことにもなります。
${\bf アル：}$ $\omega (D)$ の絶対値しか求まらない点が気になります。
$${{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\rightarrow K(P)$$をもとに $K(P)$ を求めようとしているのですから、$\vert K(P)\vert $ しか求まらないことになってしまいます。
でも確かにカールの言う通り、この式くらいしか思いつかないことも事実です。絶対値の件は後に解決できることを期待して、この線で先へ進んでみましょう。
まず $\Vert {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\Vert $ を考えます：先に求めた $a^i(Q, S)$ と $a^i(R, S)$ から
\begin{equation} a^i(Q, S)-a^i(R, S)\approx -a^j{R^i}_{j, k l}dx^k\delta x^l \label{eq:AIminusAII} \end{equation}が得られます。但し
\begin{equation} {R^i}_{j, k l}=\partial _k{\Gamma ^i}_{j l}-\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}-{\Gamma ^i}_{m l}{\Gamma ^m}_{j k}+{\Gamma ^i}_{m k}{\Gamma ^m}_{j l} \label{eq:Rnodef} \end{equation}と定めました。
おどろおどろしい式が出現し、少々びっくりしましたが、よくよく見るとそれほどひどい状況ではなさそうです。まず、上の式を書き下す過程ですぐ分かることですが
$${R^i}_{j, k l}=-{R^i}_{j, l k}$$です。よって
$${R^i}_{j, 1 1}={R^i}_{j, 2 2}=0, \hskip 5mm {R^i}_{j, 1 2}=-{R^i}_{j, 2 1}$$です。つまり ${R^i}_{j, k l}$ は添え字 $k, l$ について四つの自由度を持つように見えるのですが、実は一つだけだということです。従って (\ref{eq:AIminusAII}) 式は
\begin{equation} a^i(Q, S)-a^i(R, S)\approx -a^j{R^i}_{j, 1 2}(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)\label{eq:AIkaraAIIwo} \end{equation}とも書き直せます。
$${\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)=\left( a^i(Q, S)-a^i(R, S)\right) {\bf r}_i(S)$$です。よって (\ref{eq:AfkaraAtoomega-2}) の左辺の２乗は
\begin{equation} \Vert {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\Vert ^2\approx a^j{R^i}_{j, 1 2}a^l{R^k}_{l, 1 2}(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)^2({\bf r}_i\cdot {\bf r}_k) \label{eq:sahenno2jyo} \end{equation}となります。但し ${\bf r}_i\cdot {\bf r}_k$ はベクトル ${\bf r}_i(S), {\bf r}_k(S)$ の内積（３次元ユークリッド空間内での普通の内積）を表すとします。
ここで
$$g_{i k}(x, y)={\bf r}_i(x, y)\cdot {\bf r}_k(x, y)$$と置けば、(\ref{eq:sahenno2jyo}) 式は
$$\Vert {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\Vert ^2\approx a^j{R^i}_{j, 1 2}a^l{R^k}_{l, 1 2}(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)^2g_{i k}$$と書けます。この $g_{i k}$ は点 $S$ での値ですが、$P$ での値を使っても大丈夫です。何故ならば、$g_{i k}(S)$ と $g_{i k}(P)$ との差は $dx^j$ や $\delta x^l$ のべき級数の形で書けますが、上の式での $g_{i k}$ の直前にある
$$dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1$$のお陰で、その差を無視していいからです。
${\bf カール：}$ (\ref{eq:AfkaraAtoomega-2}) 式によれば
\begin{equation} a^j{R^i}_{j, 1 2}a^l{R^k}_{l, 1 2}g_{i k} \label{eq:ajRij12} \end{equation}が $\Vert {\bf a}\Vert ^2$ を含んでいるはずですね。
${\bf アル：}$ おそらく ${R^i}_{j, 1 2}$ が $i, j$ に関して何らかの対称性を持っていて、そのために
$$\Vert {\bf a}\Vert ^2=a^ja^kg_{j k}$$を引っ張り出せるのだと予想できます。その対称性を見つけるためには (\ref{eq:ajRij12}) 式をよく見ると
$$R_{i j, k l}=g_{i m}{R^m}_{j, k l}$$によって、$R_{i j, k l}$ を定義するのが良さそうです。こう置くとき
$${R^i}_{j, k l}=g^{i m}R_{m j, k l}$$です。但し、$g^{i m}$ は
$$g^{i m}g_{m n}=\delta ^i_n=\cases{ 1 & $i=n$ のとき \cr 0 & $i\not= n$ のとき}$$によって定めます。つまり
$$\pmatrix{ g^{1 1} & g^{1 2} \cr g^{2 1} & g^{2 2}}$$は
$$\pmatrix{ g_{1 1} & g_{1 2} \cr g_{2 1} & g_{2 2}}$$の逆行列になるよう $g^{i m}$ を定めるのです。すると
$$(\ref{eq:ajRij12})=a^j{R^i}_{j, 1 2}a^l{R^k}_{l, 1 2}g_{i k}=a^ja^lg^{i m}R_{m j, 1 2}R_{i l, 1 2}$$と書けます。
このとき
$$R_{i j, k l}=-R_{j i, k l}$$が成り立ちます。この証明は、実は少し手間がかかり、ここでそれをしているとここまでの流れを中断させてしまうように思います。この対称性については後に立ちかえることとし、これを認めた上で、最初の目的を達成できるか見てみましょう。この対称性を考慮すれば、$R_{i j, 1 2}$ の内で実質的に残るのは $R_{1 2, 1 2}$ だけです。このことを使って (\ref{eq:ajRij12}) 式を変形したいのですが真っ正直にやってみると少し見通しが悪い形になります。少し工夫が必要です。
$i, j=1, 2$ に対し
$$\epsilon _{i j}=\cases{ 1 & $i=1, j=2$ の場合 \cr -1 & $i=2, j=1$ の場合 \cr 0 & $i=j$ の場合}$$により $\epsilon _{i j}$ を定めます。すると
$$R_{i j, k l}=\epsilon _{i j}\epsilon _{k l}R_{1 2, 1 2}$$と書けます。このとき (\ref{eq:ajRij12}) 式は
\begin{equation} a^j{R^i}_{j, 1 2}a^l{R^k}_{l, 1 2}g_{i k}=a^ja^lg^{i m}\epsilon _{m j}\epsilon _{i l}(R_{1 2, 1 2})^2 \label{eq:ajRij12-2} \end{equation}のように変形できます。更に、二次行列の逆行列に関してよく知られた事柄
$$\pmatrix{ g_{1 1} & g_{1 2} \cr g_{2 1} & g_{2 2}}^{-1}={1\over g}\pmatrix{ g_{2 2} & -g_{1 2} \cr -g_{2 1} & g_{1 1}}$$と
$$g_{i j}=g_{j i}$$を考慮するなら
\begin{equation} g^{i m}\epsilon _{m j}\epsilon _{i l}={1\over g}g_{j l} \label{eq:gimepmj} \end{equation}だとわかります。但し
$$g=g_{1 1}g_{2 2}-g_{1 2}g_{2 1}$$です。
よって (\ref{eq:ajRij12-2}) 式は
\begin{equation} a^j{R^i}_{j, 1 2}a^l{R^k}_{l, 1 2}g_{i k}={1\over g}\Vert {\bf a}\Vert ^2(R_{1 2, 1 2})^2 \label{eq:ajRij12-3} \end{equation}と書き直すことができます。以上によって (\ref{eq:sahenno2jyo}) 式は
\begin{equation} \Vert {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\Vert ^2\approx {1\over g}\Vert {\bf a}\Vert ^2(R_{1 2, 1 2})^2(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)^2 \label{eq:AIminusAIInoka} \end{equation}に等しいことがわかりました。
従って、(\ref{eq:AfkaraAtoomega-2}) より
\begin{equation} \vert \omega (D)\vert ^2\approx {1\over g}(R_{1 2, 1 2})^2(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)^2 \label{eq:omegaDnosiki} \end{equation}が導かれます。
${\bf カール：}$ $\omega (D)$ に絶対値が付いていることが少し気になるが、それはしばらく置くとして、次は $D$ の面積 $\sigma (D)$ を求めなくてはいけない。
$D$ は２つのベクトル ${\overrightarrow {PQ}}$ と ${\overrightarrow {PR}}$ を二辺とする平行四辺形に近似的に等しい。これらのベクトルはそれぞれ ${\bf r}_idx^i$ と ${\bf r}_i\delta x^i$ だが、３次元ユークリッド空間内の２つのベクトル ${\bf a}, {\bf b}$ を２辺とする平行四辺形の面積についてはベクトル積を使うのが便利だと思います。少し復習すると：次の３条件を満たすベクトルを「${\bf a}, {\bf b}$ のベクトル積」と呼んで ${\bf a}\times {\bf b}$ で表します。
(1) ${\bf a}, {\bf b}$ の両方に直交し、
(2) 向きは、ベクトル ${\bf a}$ から ${\bf b}$ の方向へ $180$ 度以内の角度で右ねじを回す時、ねじの進む方向であり、
(3) 大きさは、${\bf a}, {\bf b}$ を２辺とする平行四辺形の面積に等しい。
例えば ${\bf a}=(1, 0, 0), {\bf b}=(0, 1, 0)$ であれば
$${\bf a}\times {\bf b}=(0, 0, 1)$$という具合。
$${\bf a}\times {\bf a}=0, \hskip 5mm {\bf a}\times {\bf b}=-{\bf b}\times {\bf a}$$であることなども、定義からすぐわかります。また、成分で書いて
$${\bf a}=(a_1, a_2, a_3), {\bf b}=(b_1, b_2, b_3)$$であるなら
\begin{equation} {\bf a}\times {\bf b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)\label{eq:bekutorusekisei} \end{equation}と表されます。
ベクトル積の性質を使うなら
$${\bf r}_idx^i\times {\bf r}_j\delta x^j=({\bf r}_1\times {\bf r}_2)(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)$$はすぐにわかります。よって
\begin{eqnarray} \sigma (D)&\approx &\Vert {\bf r}_1\times {\bf r}_2\Vert \vert dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1\vert \label{eq:sigmaDnoatai} \end{eqnarray}です。
アルバートの結果と結び付けるためには ${\bf r}_i$ の間の内積を引っ張り出す必要がありそうなので、ベクトル ${\bf r}_1$ と ${\bf r}_2$ の間の角度を $\theta $ としましょう。すると
$$\Vert {\bf r}_1\times {\bf r}_2\Vert =\Vert {\bf r}_1\Vert \cdot \Vert {\bf r}_2\Vert \sin \theta $$です。この両辺を２乗して
\begin{eqnarray} \Vert {\bf r}_1\times {\bf r}_2\Vert ^2&=&\Vert {\bf r}_1\Vert ^2\Vert {\bf r}_2\Vert ^2(1-\cos ^2\theta )\\ &=&g_{1 1}g_{2 2}-{g_{1 2}}^2=g \end{eqnarray}です。$g_{1 2}=g_{2 1}$ に注意してください。特に $g>0$ です。
よって (\ref{eq:sigmaDnoatai}) により
$$\sigma (D)^2\approx g(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)^2$$が得られ、(\ref{eq:omegaDnosiki}) 式
$$\vert \omega (D)\vert ^2\approx {1\over g}(R_{1 2, 1 2})^2(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)^2$$と一緒にすると
$$\left( {{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\right) ^2\approx {{(R_{1 2, 1 2})^2}\over {g^2}}$$従って
\begin{equation} {{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\approx \pm {{R_{1 2, 1 2}}\over g}\label{eq:omegaDwarusigma} \end{equation}が得られます。この近似式は $dx^i, \delta x^i$ を $0$ に近づけるに連れて等式へ移行します。
${\bf アル：}$ やっと先が見えてきましたね。後世の人は
$$R_{i j}={R^k}_{i, k j}, \hskip 5mm R=g^{i j}R_{i j}$$と置いて、前者をリッチテンソル、後者をスカラー曲率と呼ぶことになります。(\ref{eq:gimepmj}) 式
$$g^{i m}\epsilon _{m j}\epsilon _{i l}={1\over g}g_{j l}$$を使えば
$$R_{i j}={1\over g}g_{i j}R_{1 2, 1 2}$$だと分かりますが、よって
\begin{equation} R={1\over g}g^{i j}g_{i j}R_{1 2, 1 2}={2\over g}R_{1 2, 1 2}\label{eq:RtoR1212} \end{equation}です。この記号を使うと (\ref{eq:omegaDwarusigma}) 式は
\begin{equation} {{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\approx \pm {1\over 2}R\label{eq:omegaDwarusigma-2} \end{equation}と書けます。
${\bf カール：}$ 随分すっきりした形になりましたが、最後にやはり絶対値の問題が残りました。(\ref{eq:omegaDwarusigma-2}) 式の $\pm $ のどちらが正しいのか決定しなくてはいけません。$\omega (D)$ と $R$ の符号の関係を知る必要があります。
$\omega (D)$ の正負の違いは二つのベクトル ${\bf a}(R, S)$ と ${\bf a}(Q, S)$ を紙面に描くとき、ベクトル積 ${\bf a}(R, S)\times {\bf a}(Q, S)$ の向きが紙面の裏から表に突き抜ける方向であれば $\omega (D)>0$ であり、逆向きであれば $\omega (D)<0$ です。
そこで ${\bf a}(R, S)\times {\bf a}(Q, S)$ を計算してみます：$dx^i$ と $\delta x^i$ それぞれの２乗以上を無視する近似で
\begin{eqnarray} {\bf a}(R, S)\times {\bf a}(Q, S)&=&{\bf a}(R, S)\times ({\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)) \nonumber \\ &\approx &{\bf a}(R, S)\times \left[ -a^j{R^i}_{j, 1 2}{\bf r}_i(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)\right] \nonumber \\ &\approx &-a^ka^j{R^i}_{j, 1 2}({\bf r}_k\times {\bf r}_i)(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1) \nonumber \\ &=&-a^ka^jg^{i l}\epsilon _{l j}\epsilon _{k i}R_{1 2, 1 2}({\bf r}_1\times {\bf r}_2)(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1) \nonumber \\ &=&{1\over g}\Vert {\bf a}\Vert ^2R_{1 2, 1 2}({\bf r}_1\times {\bf r}_2)(dx^1\delta x^2-dx^2\delta x^1)\nonumber \\ &=&{1\over 2}R\Vert {\bf a}\Vert ^2({\bf r}_idx^i\times {\bf r}_j\delta x^j)\label{eq:AIItimesAInosiki} \end{eqnarray}が得られます。二行目から三行目の変形で
$${\bf a}(R, S)=a^k{\bf r}_k$$を代入した理由は、二行目の大括弧の中に既に$dx^i$ と $\delta x^j$ のそれぞれに関する一乗の項が現れているからです。
${\bf r}_idx^i\times {\bf r}_j\delta x^j$ の方向は、紙面の裏から表へと抜ける方向です。従って、もし $R$ が正ならば、${\bf a}(R, S)\times {\bf a}(Q, S)$ の向きもその方向でなくてはいけない。よって $\omega (D)$ は正。一方、$R$ が負ならば $\omega (D)$ も負となる。従って (\ref{eq:omegaDwarusigma-2}) 式の符号はプラスを採用すべきであり
\begin{equation} {{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\approx {1\over 2}R \label{eq:omegawarusig} \end{equation}が得られた。
最後に $dx^i, \delta x^i$ を共に $0$ に近づけることによって
\begin{equation} K(P)=\lim _{\sigma (D)\rightarrow 0}{{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}={1\over 2}R(P) \label{eq:Kto1waru2R} \end{equation}が得られる。もちろんこれは厳密な意味の等式です。
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