${\bf アル：}$ 今までは図だけに頼ってきたベクトルの表示を、成分でも行えることがわかりました。次に、これを使って曲線に沿う平行移動が表せないか、考えてみましょう。
ある点 $P$ での面ベクトル ${\bf a}$ を無限小の距離 $ds$ だけ離れた曲線上の点 $P'$ まで平行移動したいのですから、曲線上の任意の点を、曲線に沿って始点から測った長さ $s$ で表すと使い勝手がいいはずです。$P$ とその近傍の点を座標 $(x, y)$ で表し
$$P=(x(s), y(s)), \hskip 5mm P'=(x(s+ds), y(s+ds))$$とします。
$P$ での任意の面ベクトル ${\bf a}$ は、成分を用いて
\begin{equation} {\bf a}=a^1{\bf r}_1(P)+a^2{\bf r}_2(P) \label{eq:Asnohyouji} \end{equation}の形で書き表せます。但し、３次元ユークリッド空間内の原点 $O$ を始点とし、曲面上の点 $(x, y)$ を終点とするベクトルを ${\bf r}(x, y)$ で表し
$${\bf r}_1={{\partial }\over {\partial x}}{\bf r}, \hskip 5mm {\bf r}_2={{\partial }\over {\partial y}}{\bf r}$$によって、$(x, y)$ での曲面の接ベクトル ${\bf r}_1$ と ${\bf r}_2$ を定めました。
点 $P'$ まで平行移動して得られる面ベクトルを ${\bf a}'$ で表すなら、これも成分を用いて
\begin{equation} {\bf a}'=a'^1{\bf r}_1(P')+a'^2{\bf r}_2(P') \label{eq:Adashnohyouji} \end{equation}と書けます。
${\bf a}$ の始点を $P$ から $P'$ へそのまま移す、つまり３次元ユークリッド空間内で $P$ から $P'$ へ平行移動し、その後で面に垂直なベクトルを加えることにより $P'$ での面ベクトルになるよう修正して得られるベクトルが ${\bf a}'$ です。この事情を、${\bf a}$ と ${\bf a}'$ の成分の間の、何らかの関係として表現したいのです。
${\bf カール：}$ おそらく一歩一歩着実に推論を推し進めれば自ずと見えてくるでしょう：
$${\bf a}'-{\bf a}$$は曲面に垂直なベクトルですから
\begin{equation} {\bf a}'-{\bf a}=a'^1{\bf r}_1(P')-a^1{\bf r}_1(P)+a'^2{\bf r}_2(P')-a^2{\bf r}_2(P) \end{equation}の右辺が曲面に垂直（$ds$ が無限小である以上、$P$ で考えても $P'$ で考えても、あるいはその途中の点で考えても構わないことは、既に知っています）だということになります。
ただ、この表示は少し複雑で、この先どう進めばいいものか見えてこない。
${\bf アル：}$ 微小量 $ds$ の二乗以上を無視して $P'$ への平行移動を考えればよいことを、われわれはもう既に知っています。そういう平行移動を無限回繰り返して任意の点 $Q$ まで達することができるのですが、無限回の和を取る過程で残るのは $ds$ の一乗までの効果だけです。よって、微分の論理に従って推論を進めるときっとわかりやすくなると思います。
まず ${\bf a}$ を平行移動して得られるベクトルを $s$ をパラメーターとして ${\bf a}(s)$ で表しましょう。
$${\bf a}={\bf a}(s), \hskip 5mm {\bf a}'={\bf a}(s+ds)$$です。このように書くと
$${\bf a}(s+ds)-{\bf a}(s)={{d{\bf a}}\over {ds}}(s)ds+\left( ds の二乗以上の項\right) $$です。従って
\begin{equation} {{d{\bf a}}\over {ds}}(s) \label{eq:daoverds} \end{equation}は曲面に垂直なベクトルでなくてはいけません。
この条件をもっと明瞭な形で書きたいのですが、
$${\bf a}(s)=a^1(s){\bf r}_1(s)+a^2(s){\bf r}_2(s)$$と書けます。ここで
$${\bf r}_1(s)={{\partial {\bf r}}\over {\partial x}}(x(s), y(s))$$であり
$${\bf r}_2(s)={{\partial {\bf r}}\over {\partial y}}(x(s), y(s))$$です。このとき
\begin{equation} {{d{\bf a}}\over {ds}}(s)=\sum _{j=1}^2{{da^j}\over {ds}}{\bf r}_j+\sum _{j, k=1}^2a^j{\bf r}_{j k}{{dx^k}\over {ds}} \label{eq:doverdsAs} \end{equation}が得られます。但し、$x$ を $x^1$ で、$y$ を $x^2$ で表しました。$x^2$ は「$x$ の２乗」の意味ではないので誤解のないようにして下さい。${\bf r}_{j k}$ は ${\bf r}_j$ を $x^k$ に関して偏微分して得られる偏導関数、すなわち
$${\bf r}_{j k}(x, y)={{\partial {\bf r}_j}\over {\partial x^k}}(x, y)$$とします。３次元ユークリッド空間の原点 $O$ から曲面上の点 $(x, y)$ へ向かうベクトルを ${\bf r}(x, y)$ とするなら
$${\bf r}_j={{\partial {\bf r}}\over {\partial x^j}}$$であったことを思い出してください。よって
$${\bf r}_{j k}(x, y)={{\partial ^2{\bf r}}\over {\partial x^j\partial x^k}}(x, y)$$です。特に
$${\bf r}_{j k}(x, y)={\bf r}_{k j}(x, y)$$です。
さて、(\ref{eq:doverdsAs}) 式
$${{d{\bf a}}\over {ds}}(s)=\sum _{j=1}^2{{da^j}\over {ds}}{\bf r}_j+\sum _{j, k=1}^2a^j{\bf r}_{j k}{{dx^k}\over {ds}}$$によれば、曲面に垂直な左辺のベクトルが右辺のように書けることになります。右辺の第一項目は面ベクトルです。ところが、第二項目の ${\bf r}_{j k}(x, y)$ は、点 $(x, y)$ において曲面に接しているとも垂直だとも言えそうにありません、おそらく中途半端な方向を向いていると考えられます。
${\bf カール：}$ ではそれを曲面に接する方向と垂直な方向に分けてはどうでしょう。
\begin{equation} {\bf r}_{j k}={\overline {{\bf r}_{j k}}}+({\bf r}_{j k})_{垂直}\label{eq:rijwobunkai} \end{equation}右辺の第一項目が曲面に接する方向のベクトルで、第二項目が垂直な方向のベクトルを表すとします。このとき
\begin{equation} {{d{\bf a}}\over {ds}}=\sum _{j=1}^2{{da^j}\over {ds}}{\bf r}_j+\sum _{j, k=1}^2a^j{\overline {{\bf r}_{j k}}}{{dx^k}\over {ds}}+\left[ 面に垂直なベクトル\right] \end{equation}となります。
右辺の第１項目と第２項目は面ベクトルだが、第３項目は面に垂直なベクトルです。従って $d{\bf a}/ds$ が曲面に垂直だという条件は
\begin{equation} \sum _{j=1}^2{{da^j}\over {ds}}{\bf r}_j+\sum _{j, k=1}^2a^j{\overline {{\bf r}_{j k}}}{{dx^k}\over {ds}}=0 \label{eq:suicyokujyouken} \end{equation}に等しいことになります。
${\bf アル：}$ (\ref{eq:suicyokujyouken}) 式をもう少しきれいに表すことを考えてみましょう：
\begin{equation} {\overline {{\bf r}_{j k}}}=\sum _{i=1}^2{\Gamma ^i}_{j k}{\bf r}_i \label{eq:gammanodef} \end{equation}によって $x, y$ の関数 ${\Gamma ^i}_{j k}(x, y)$ を定義します。${\overline {{\bf r}_{j k}}}$ は面ベクトルですから
$${\bf r}_1(x, y), \hskip 5mm {\bf r}_2(x, y)$$の線型結合として一意的に表されるはずです。その係数を
$${\Gamma ^1}_{j k}, \hskip 5mm {\Gamma ^2}_{j k}$$で表すのです。
このとき、(\ref{eq:suicyokujyouken}) 式は
$$\sum _{i=1}^2\left[ {{da^i}\over {ds}}+\sum _{j, k=1}^2a^j{\Gamma ^i}_{j k}{{dx^k}\over {ds}}\right] {\bf r}_i=0$$と書き直すことができます。
$${\bf r}_1, \hskip 5mm {\bf r}_2$$が各点において線型独立（一次独立ともいう）であることを考慮するなら、$d{\bf a}/ds$ が曲面に垂直であるべしという条件は、従って
\begin{equation} {{da^i}\over {ds}}+\sum _{j, k=1}^2{\Gamma ^i}_{j k}a^j{{dx^k}\over {ds}}=0 \label{eq:dAk+gammak} \end{equation}が $i=1, 2$ について成り立つ、という条件になります。
ここで一つ提案ですが、和の記号 $\sum $ が煩雑なので次の約束事を導入してはどうかと思います：つまり
$$\sum _{i=1}^2a^ib_i$$などは、和の記号を省略して単に
$$a^ib_i$$と書くのです。つまり、一つの添え字が１つの項の中に上下２ヶ所に現れて $1, 2$ について和を取る時には、和の記号を省略するというものです。例えば (\ref{eq:dAk+gammak}) 式はこの約束に従えば
\begin{equation} {{da^i}\over {ds}}+{\Gamma ^i}_{j k}a^j{{dx^k}\over {ds}}=0 \label{eq:dAk+gammak-2} \end{equation}となります。式が意味していることはまったく同じであって、しかも見やすいので、今後この約束に従うことにしましょう。
${\bf カール：}$ 後世の人はおそらく「アインシュタインの規約」と呼ぶでしょうね。ところで随分大事な結論が得られたように思います：(\ref{eq:dAk+gammak-2}) 式は $s$ の関数 $a^1(s)$ と $a^2(s)$ に対する微分方程式です。$s$ の関数
$${\Gamma ^i}_{j k}(x(s), y(s)), \hskip 5mm {{dx^k}\over {ds}}(s)$$は、座標系 ${\bf r}(x, y)$ と曲線が与えられた時点で決まってしまいます。従って、$s$ における値
$$a^1(s), \hskip 5mm a^2(s)$$が与えられれば、この微分方程式により
$${{da^1}\over {ds}}(s), \hskip 5mm {{da^2}\over {ds}}(s)$$が決まることになり、このことは、点 $P$ における ${\bf a}$、すなわち $a^1(s), a^2(s)$ が与えられれば、この微分方程式によって
$$a^1(s+ds), \hskip 5mm a^2(s+ds)$$の値が決まることを意味します。これを繰り返せば、$P$ での面ベクトルから出発して、曲線上のすべての点における面ベクトルを求めることができます。すなわち、ベクトルの平行移動をわれわれは成分に関する微分方程式によって表すことに成功したのです。
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