${\bf カール：}$ 曲面上の各点に座標 $(x, y)$ を割り当てる座標系から、別の座標 $(x', y')$ を割り当てる座標系へ変換するとき、$R_{i j, k l}$ も別の表示 $R'_{i j, k l}$ へ変わると思われますが、この両者の関係を見つけることがもしできれば、局所ユークリッド系で証明した
$$R_{i j, k l}=-R_{j i, k l}$$の対称性が別の座標系でも成立するかどうかわかるはずです。
${\bf アル：}$ 添え字が四つも付いている $R_{i j, k l}$ にいきなり挑戦するのはやめて、添え字が一つだけの、たとえば ${\bf r}_i$ について考えてみましょう。定義によれば
$${\bf r}_i={{\partial }\over {\partial x^i}}{\bf r}$$です、但し ${\bf r}(x, y)$ は、３次元ユークリッド空間の原点 $O$ から、$(x, y)$ で表される曲面上の点へ向けてのベクトルとします。もちろん $x^1=x, x^2=y$ です。
曲面上の各点に新たな座標 $(x', y')$ を対応させる座標系を考えます。この座標系に関する ${\bf r}'_i$ ともとの ${\bf r}_i$ との関係を知りたいのです：まず定義によれば
$${\bf r}'_i={{\partial }\over {\partial x'^i}}{\bf r}'$$です。ここで
$${\bf r}'(x', y')={\bf r}(x(x', y'), y(x', y'))$$と書けます。但し、座標 $(x', y')$ の点の、変換前の座標系に関する座標が $(x, y)$ であるとき、$x, y$ はそれぞれ $x', y'$ の関数ですからそれを
$$x=x(x', y'), \hskip 5mm y=y(x', y')$$と書き表しました。このとき
$${\bf r}'_i={{\partial {\bf r}'}\over {\partial x'^i}}={{\partial {\bf r}}\over {\partial x^j}}{{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_j$$つまり
\begin{equation} {\bf r}'_i={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_j \label{eq:rdashiiworj} \end{equation}が成り立ちます。
次に $a^i$ はどうでしょうか。${\bf r}_i$ についての結論から類推するに、
\begin{equation} a'^i={{\partial x'^i}\over {\partial x^j}}a^j \label{eq:adashitoaj} \end{equation}が予想されますが、確かめてみましょう：任意の点 $P$ を考え、${\bf a}$ をそこでの面ベクトルとします。このとき $a^i$ は
$${\bf a}=a^i{\bf r}_i$$によって定義される量です。$a'^i$ はと言えば
$${\bf a}=a'^i{\bf r}'_i$$によって定義されます。同じベクトル ${\bf a}$ を、異なる ${\bf r}_i$ と ${\bf r}'_i$ で展開するときの係数が、それぞれ $a^i, a'^i$ なのです。ここで先に求めた
$${\bf r}'_i={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_j$$を代入すれば
$${\bf a}=a'^i{{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_j$$です。従って
$$a^j={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}a'^i$$となります。
$a'^i=$ の形にしたければ
$${{\partial x'^k}\over {\partial x^j}}{{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}={{\partial x'^k}\over {\partial x'^i}}=\delta ^k_i$$を思い出して、両辺の左から
$${{\partial x'^k}\over {\partial x^j}}$$をかけ $j$ に関する和を取ることにより、
$$a'^k={{\partial x'^k}\over {\partial x^j}}a^j$$を得ることができます。これは最初の予想 (\ref{eq:adashitoaj}) の通りです。添え字の記号が少し違いますが、$1, 2$ を表すためのものですから、意味することは同じです。
まとめておくに値する大事なことがわかったように思えます：$a^i$ の定義により
$$a^i{\bf r}_i={\bf a}$$ですが、右辺の ${\bf a}$ は座標系の取り方によらない、言うなれば曲面そのものに付随した対象です。従って座標系を取り換えても
$$a'^i{\bf r}'_i=a^j{\bf r}_j$$でなくてはいけません。ここで
$${\bf r}'_i={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_j$$ですから、当然
$$a'^i{{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}=a^j$$が得られる、というわけです。
座標系の取り方から決まる二つの量 $A^i$ と $B_i$ があって、一方の $B^i$ は座標系の取り換えに関して ${\bf r}_i$ と同じように変換するとします。つまり
$$B'_i={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}B_j$$が成り立つとします。更に、$i$ について和を取って得られる
$$A^iB_i$$が、曲面の性質そのものによって決まる、座標系の取り方によらない量になるとします。すると
$$A'^iB'_i=A^jB_j$$でなければならず、これより
\begin{equation} A'^i{{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}=A^j \label{eq:Adashipar} \end{equation}が結論できる可能性が生まれます。各 $j$ について (\ref{eq:Adashipar}) の結論を引き出すためには、${\bf r}_j$ が持っていた「線型独立性」のような性質を、$B_j$ が持つ必要があります。「可能性」と言うにとどめた理由はそこにあります。
添え字が一つの場合は大体理解出来たように思えますので、二つの場合の $g_{i j}$ を考えてみます。定義は
$$g_{i j}={\bf r}_i\cdot {\bf r}_j$$です、つまり二つのベクトル ${\bf r}_i$ と ${\bf r}_j$ の内積です。従って
$$g'_{i j}={\bf r}'_i\cdot {\bf r}'_j$$であり、ここで、先に求めた関係 (\ref{eq:rdashiiworj}) 式
$${\bf r}'_i={{\partial x^j}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_j$$を代入してみると
\begin{equation} g'_{i j}=\left( {{\partial x^k}\over {\partial x'^i}}{\bf r}_k\right) \cdot \left( {{\partial x^l}\over {\partial x'^j}}{\bf r}_l\right) ={{\partial x^k}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^l}\over {\partial x'^j}}g_{k l} \label{eq:gdashijwogkl} \end{equation}が得られます。
${\bf カール：}$ 添え字が一つの場合の先のまとめのような説明方法は、$g_{i j}$ の場合ありませんか。
${\bf アル：}$
$$g_{i j}={\bf r}_i\cdot {\bf r}_j$$ですから、$a^ib^j$ を両辺にかけて $i, j$ について和を取れば
$$g_{i j}a^ib^j=\left( a^i{\bf r}_i\right) \cdot \left( b^j{\bf r}_j\right) ={\bf a}\cdot {\bf b}$$となります。右辺はベクトル ${\bf a}$ と ${\bf b}$ との内積であり、座標系の取り方には依存しない量です。従って
$$g'_{i j}a'^ib'^j=g_{i j}a^ib^j$$でなくてはいけません。一方で
$$a'^i={{\partial x'^i}\over {\partial x^k}}a^k$$ $$b'^j={{\partial x'^j}\over {\partial x^l}}b^l$$であり、これより
\begin{equation} g'_{i j}{{\partial x'^i}\over {\partial x^k}}{{\partial x'^j}\over {\partial x^l}}=g_{k l} \label{eq:gdashijpartia} \end{equation}が $k, l$ の任意の組み合わせについて成立することを結論できます。これは (\ref{eq:gdashijwogkl}) 式
$$g'_{i j}={{\partial x^k}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^l}\over {\partial x'^j}}g_{k l}$$と同じ内容です。
${\bf カール：}$ (\ref{eq:gdashijpartia}) を結論するためには $a^kb^l$ の独立性が必要かと思いますが、そこは大丈夫ですか。
${\bf アル：}$ 結論の式 (\ref{eq:gdashijpartia}) の両辺の差を $A_{k l}$ と置きます。
\begin{equation} A_{k l}a^kb^l=0 \label{eq:Aklakal} \end{equation}から、$k, l$ の任意の組み合わせについて $A_{k l}=0$ が結論できるかどうか、が問題です。$a^k$ と $b^l$ は任意の数を取り得ますから、試しに
$$a^1=1, \hskip 5mm a^2=0, \hskip 5mm b^1=1, \hskip 5mm b^2=0$$と置いてみます。すると (\ref{eq:Aklakal}) 式
$$A_{k l}a^kb^l=0$$は
$$A_{1 1}=0$$を意味します。では
$$a^1=1, \hskip 5mm a^2=0,\hskip 5mm b^1=0, \hskip 5mm b^2=1$$と置いてみると
$$A_{1 2}=0$$が引き出せます。同じようにして $k, l$ のすべての組み合わせについて $A_{k l}=0$ です。
${\bf カール：}$ 私にも大体の感じがわかってきました。ここまでの結果から類推するに
\begin{equation} R'_{i j, k l}={{\partial x^m}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^n}\over {\partial x'^j}}{{\partial x^p}\over {\partial x'^k}}{{\partial x^q}\over {\partial x'^l}}R_{m n, p q} \label{eq:RdashaitawoRde} \end{equation}が成立すると考えられます。この等式はアルバートがまとめてくれた考え方でもって証明できそうですから、ここではこれが成り立つとして、最初の目的が達せられるかどうかを見ておきましょう。つまり、局所ユークリッド系で成り立つことを証明した対称性
\begin{equation} R_{i j, k l}=-R_{j i, k l} \label{eq:RijkltoRjikl} \end{equation}が、他の座標系に対しても成り立つかどうかです。
(\ref{eq:RdashaitawoRde}) 式をもちいて、$R$ については $P$ で(\ref{eq:RijkltoRjikl}) 式が成り立つと仮定し、同じ対称性が $R'$ についても成り立つことを示せば一件落着です：(\ref{eq:RdashaitawoRde}) 式は $i, j$ を入れ替えて書けば
$$R'_{j i, k l}={{\partial x^m}\over {\partial x'^j}}{{\partial x^n}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^p}\over {\partial x'^k}}{{\partial x^q}\over {\partial x'^l}}R_{m n, p q}$$ですが、ここで $m n$ も入れ替えれば
$$R'_{j i, k l}={{\partial x^n}\over {\partial x'^j}}{{\partial x^m}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^p}\over {\partial x'^k}}{{\partial x^q}\over {\partial x'^l}}R_{n m, p q}$$となります。ここで仮定により
$$R_{n m, p q}=-R_{m n, p q}$$ですから
$$R'_{j i, k l}=-{{\partial x^n}\over {\partial x'^j}}{{\partial x^m}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^p}\over {\partial x'^k}}{{\partial x^q}\over {\partial x'^l}}R_{m n, p q}$$ですが、この右辺をよくよく見ると、因子の順序が入れ替わっているだけで、マイナスを除いて (\ref{eq:RdashaitawoRde}) の右辺とそっくり同じだと気付きます。つまり
$$R'_{j i, k l}=-R'_{i j, k l}$$を証明できたことになります。
${\bf アル：}$ 話がうまくいく以上、おそらくカールの推測は当たっていると思うのですが、念のために確かめておきましょう：そのためには ５月８日の記事で紹介した $R_{i j, k l}$ の定義にまで立ち帰る必要があります。近接した四点 $P, Q, S, R$ をこの順に結んで出発点 $P$ へ戻る曲線を考えます。但しこの曲線が囲む領域を左方向に見ながら進むとします。これら四点を覆う座標系を選び、それぞれの座標を
$$P=(x^1, x^2), \hskip 5mm Q=(x^1+dx^1, x^2+dx^2)$$ $$S=(x^1+dx^1+\delta x^1, x^2+dx^2+\delta x^2), \hskip 5mm R=(x^1+\delta x^1, x^2+\delta x^2)$$とします。$P$ での任意の面ベクトル ${\bf a}$ を取って
$${\bf a}=a^i{\bf r}_i(P)$$により係数 $a^i$ を定めます。${\bf a}$ を $Q$ を経由して $S$ まで平行移動した結果を ${\bf a}(Q, S)$ で表し、$R$ を経由して $S$ まで平行移動した結果を ${\bf a}(R, S)$ で表すとします。このとき、一般には
$${\bf a}(Q, S)\not= {\bf a}(R, S)$$であり、
$$a^i(Q, S)-a^i(R, S)\approx -a^j{R^i}_{j, k l}dx^k\delta x^l$$が ${R^i}_{j, k l}$ の定義です。但し $dx^k$ の、あるいは $\delta x^l$ それぞれの二乗以上を含む項を無視する近似においてです。
$$R_{i j, k l}=g_{i m}{R^m}_{j, k l}$$が $R_{i j, k l}$ の定義ですが、カールの類推した (\ref{eq:RdashaitawoRde}) 式
$$R'_{i j, k l}={{\partial x^m}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^n}\over {\partial x'^j}}{{\partial x^p}\over {\partial x'^k}}{{\partial x^q}\over {\partial x'^l}}R_{m n, p q}$$が正しいことを確認するためには、
\begin{equation} b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l \label{eq:aiajRijkl} \end{equation}が、点 $P$ での任意の面ベクトル
$${\bf a}=a^i{\bf r}_i, \hskip 5mm {\bf b}=b^i{\bf r}_i$$に対し、座標系によらない曲面そのものに付随した量であることを示すことができれば、役に立ちそうに思えます。
まず (\ref{eq:aiajRijkl}) 式
$$b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l$$が何なのかを、考えてみましょう：${R^i}_{j, k l}$ の定義式
$$a^i(Q, S)-a^i(R, S)\approx -a^j{R^i}_{j, k l}dx^k\delta x^l$$から
\begin{equation} b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -g_{i m}b^i\left( a^m(Q, S)-a^m(R, S)\right) \label{eq:aiajRijtoamQ} \end{equation}が導かれます。この右辺は（マイナスを除いて）、二つのベクトル ${\bf b}$ と
$${\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)$$の内積の形をしています。ただ、よくよく見るとそうではありません。前者は点 $P$ での、後者は $S$ での面ベクトルであり、始点の位置が違うからです。もう少し慎重に扱う必要があります。
そこで (\ref{eq:aiajRijtoamQ}) 式
$$b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -g_{i m}b^i\left( a^m(Q, S)-a^m(R, S)\right) $$を
\begin{equation} b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -g_{i m}(S)b^i(Q, S)\left( a^m(Q, S)-a^m(R, S)\right) \label{eq:aiajRgSaS} \end{equation}に書き直します。$g_{i m}(S)$ と $g_{i m}=g_{i m}(P)$ との差は必ず $dx^i$ や $\delta x^i$ の一乗以上を含みます。また $b^i(Q, S)$ と $b^i=b^i(P)$ との差も同様です。
$$a^m(Q, S)-a^m(R, S)$$は、$dx^k$ と $\delta ^l$ に関する最低次の項でも積 $dx^k\delta ^l$ を含みます。従って (\ref{eq:aiajRgSaS}) 式
$$b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -g_{i m}(S)b^i(Q, S)\left( a^m(Q, S)-a^m(R, S)\right) $$への書き換えは、$\approx $ の示す近似の範囲で、確かに可能です。この右辺の形であれば
\begin{equation} b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -{\bf b}(Q, S)\cdot \left( {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\right) \label{eq:aiajRaQS-ARS} \end{equation}となります。$\cdot $ はその両側のベクトルの内積を表す記号です。
${\bf カール：}$ (\ref{eq:aiajRaQS-ARS}) 式の右辺は、座標系の取り方には依存しない量を表していますね。ベクトルの平行移動や内積は座標系の取り方には依存しない、曲面そのものに備わった特質ですから。ただ近似式なのが少し気になります。たとえば
$$g'_{i j}={{\partial x^k}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^l}\over {\partial x'^j}}g_{k l}$$を証明する際に用いた関係式
$$g_{i j}a^ib^j={\bf a}\cdot {\bf b}$$は等式であって、近似式ではなかった。
${\bf アル：}$ 近似式でも証明できるかどうかはやってみないと分かりません。座標系を変えた場合、
$$b'^ia'^jR'_{i j, k l}dx'^k\delta x'^l$$も (\ref{eq:aiajRaQS-ARS}) 式の右辺
$$-{\bf b}(Q, S)\cdot \left( {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\right) $$に近似的に等しいことになり、よって $$b'^ia'^jR'_{i j, k l}dx'^k\delta x'^l\approx b^ma^nR_{m n, p q}dx^p\delta x^q$$
です。$dx^p$ あるいは $\delta x^q$ の二乗以上を無視する近似です。ここで
$$b'^i={{\partial x'^i}\over {\partial x^m}}b^m$$ $$a'^j={{\partial x'^j}\over {\partial x^n}}a^n$$を代入し、更に
$$dx'^k={{\partial x'^k}\over {\partial x^p}}dx^p+[dx^p の二乗以上]$$ $$\delta x'^l={{\partial x'^l}\over {\partial x^q}}\delta x^q+[\delta x^q の二乗以上]$$を代入すると
$$b^ma^n{{\partial x'^i}\over {\partial x^m}}{{\partial x'^j}\over {\partial x^n}}R'_{i j, k l}{{\partial x'^k}\over {\partial x^p}}{{\partial x'^l}\over {\partial x^q}}dx^p\delta x^q\approx b^ma^nR_{m n, p q}dx^p\delta x^q$$が得られます。
この近似式は、移項と共通因子をくくりだすことにより
$$b^ma^nA_{m n, p q}dx^p\delta x^q\approx 0$$の形に書き直すことができます。つまり、左辺には $dx^p$ の二乗以上、あるいは $\delta x^q$ の二乗以上しか現れないというのです。従って任意の $p, q$ について
$$b^ma^nA_{m n, p q}=0$$でなくてはいけません（この等式は厳密な意味の等式です）。ここで $a^n$ と $b^m$ は任意の値をとり得ます。
$$a^1=b^1=1, \hskip 5mm a^2=b^2=0$$とおけば
$$A_{1 1, p q}=0$$が結論され、同様にして、すべての $m, n$ に対し
$$A_{m n, p q}=0$$が結論できます。つまり
$${{\partial x'^i}\over {\partial x^m}}{{\partial x'^j}\over {\partial x^n}}R'_{i j, k l}{{\partial x'^k}\over {\partial x^p}}{{\partial x'^l}\over {\partial x^q}}=R_{m n, p q}$$となります。これはカールの推測した (\ref{eq:RdashaitawoRde}) 式
$$R'_{i j, k l}={{\partial x^m}\over {\partial x'^i}}{{\partial x^n}\over {\partial x'^j}}{{\partial x^p}\over {\partial x'^k}}{{\partial x^q}\over {\partial x'^l}}R_{m n, p q}$$と同じことを意味しています。
${\bf カール：}$ 私の心配は杞憂に過ぎなかったということですね。これで
$$R_{i j, k l}=-R_{j i, k l}$$が証明できたことになるのですが、ただ少しだけ引っかかることがあります。(\ref{eq:aiajRaQS-ARS}) 式
$$b^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -{\bf b}(Q, S)\cdot \left( {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\right) $$において $b^i=a^i$ と置けば
$$a^ia^jR_{i j, k l}dx^k\delta x^l\approx -{\bf a}(Q, S)\cdot \left( {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\right) $$となります。ところが $R_{i j, k l}$ は $i, j$ を入れ替えるとマイナス倍され、$a^ia^j$ はその入れ替えに関して不変です。従って左辺は $0$ でなくてはいけません。よって
$${\bf a}(Q, S)\cdot \left( {\bf a}(Q, S)-{\bf a}(R, S)\right) \approx 0$$のはずですが、これも確かめてくれませんか。
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