${\bf カール：}$ 以前アルバートが保留した対称性
$$R_{i j, k l}=-R_{j i, k l}$$の証明を、ここいらでしてみましょう：
\begin{equation} {R^n}_{j, k l}=\partial _k{\Gamma ^n}_{j l}-\partial _l{\Gamma ^n}_{j k}-{\Gamma ^n}_{m l}{\Gamma ^m}_{j k}+{\Gamma ^n}_{m k}{\Gamma ^m}_{j l} \label{eq:Rnjkl} \end{equation} $$R_{i j, k l}=g_{i n}{R^n}_{j, k l}$$が ${R^n}_{j, k l}$ や $R_{i j, k l}$ の定義です。
対称性
$$R_{i j, k l}=-R_{i j, l k}$$については定義式を見れば明らかですが、前の二つの添え字 $i, j$ についての対称性はこの定義式を見るだけではわかりません。いろんな具体例を計算する中で予想されるようになったと思うのですが、いざ証明となると、やはり (\ref{eq:Rnjkl}) 式の右辺の複雑さが気になります。この複雑さを軽減できるといいのですが。
${\bf アル：}$ ${\Gamma ^i}_{j k}$ が基本的な量であって、これらで $R_{i j, k l}$ も書かれています。そこで ${\Gamma ^i}_{j k}$ ができるだけ簡単な値になる座標系としては何があるかを調べてみます。とは言うものの、すぐに適当なものが浮かんできません。まず、何かの手がかりを得るためにも、最も簡単だと思える座標系を考えてみましょう：
曲面上の任意の点 $P$ に対して $$R_{i j, k l}(P)=-R_{j i, k l}(P)$$
が成り立つことを示せば十分ですから、以下では $P$ は固定します。$P$ において曲面に接する、いわゆる接平面を考えるなら、$P$ の極々近くでは曲面の性質のいくばくかはその平面の性質を反映していると考えて間違いないでしょう。従って $P$ で直交する $x$ 軸と $y$ 軸を設定し、それを自然に曲面に移すことができれば、そうして得られる座標系は曲面上の座標系としてかなり良い性質を持つと予想できます。たとえば、平面の直交座標系に関する ${\Gamma ^i}_{j k}$ はすべて $0$ ですが、その直交座標系を曲面に自然に移すことができれば、曲面上のその座標系に関する ${\Gamma ^i}_{j k}$ は、少なくとも $P$ においては $0$ であることが期待できるのではないでしょうか。
${\bf カール：}$ もしそうなら
$${R^n}_{j, k l}=\partial _k{\Gamma ^n}_{j l}-\partial _l{\Gamma ^n}_{j k}-{\Gamma ^n}_{m l}{\Gamma ^m}_{j k}+{\Gamma ^n}_{m k}{\Gamma ^m}_{j l}$$の $P$ における値を考える際、右辺の第三項と四項が消えてしまって、確かに計算がずいぶん楽になります。
${\bf アル：}$ この方針でやってみる価値はありそうですね。接平面上で決まる直交座標系を曲面上に移す方法が、もちろん問題ですが、曲面上の任意の点 $Q$ に対し、そこから接平面へ垂線を降ろし、その足の座標 $(x, y)$ でもって $Q$ の曲面上の座標と定める、という方法が最も簡単そうなので試してみます。但し、たとえば曲面として球面を、点 $P$ として北極点を考えてみればわかりますが、$Q$ に対し、そこから $P$ での接平面へ降ろした垂線の足を対応させる対応が一対一であるためには、$Q$ の範囲をある程度制限する必要が一般には生じます。この例であれば、たとえば北半球に制限するという具合です。この対応が一対一でないと、同じ座標を持つ点が二つ以上に増えてしまい、座標系を設定したことになりません。従ってこの方法によって座標を定めることのできる点 $Q$ の範囲は、$P$ を含む適当に小さな領域であって、一般には曲面の一部です。
３次元ユークリッド空間の直交座標系としての $X, Y, Z$ 軸を、$X, Y$ 軸はそれぞれ、接平面に設定した $x, y$ 軸に一致させ、$Z$ 軸は $P$ を通って接平面に垂直になるよう定めます（従って $P$ がこの座標系の原点です）。このとき曲面上の座標が $(x, y)$ である点 $Q$ に対しベクトル ${\overrightarrow {PQ}}$ は
$${\bf r}(x, y)=(x, y, f(x, y))$$と表すことができます。$f(x, y)$ は接平面から $Q$ までの、いわば高さです。
このとき
$${\bf r}_1=\partial _x{\bf r}=(1, 0, \partial _xf), \hskip 5mm {\bf r}_2=\partial _y{\bf r}=(0, 1, \partial _yf)$$です。但し、$x^1=x, x^2=y$ と置きました。ここで接平面はもちろん、曲面に接していますから
$$\partial _xf(P)=\partial _yf(P)=0$$です。よって
$${\bf r}_1(P)=(1, 0, 0), \hskip 5mm {\bf r}_2(P)=(0, 1, 0)$$であり、特に
$$g_{1 1}(P)=g_{2 2}(P)=1, \hskip 5mm g_{1 2}(P)=g_{2 1}(P)=0$$です。
更に
$${\bf r}_{j k}=\partial _k{\bf r}_j=(0, 0, \partial _k\partial _jf)$$が $j, k=1, 2$ について成り立つことは明らかです。ここで $Z$ 軸は $P$ において曲面に垂直です、よって
$${\overline {{\bf r}_{j k}}}(P)=(0, 0, 0)$$であり、従ってすべての $i, j, k$ について
$${\Gamma ^i}_{j k}(P)=0$$です。よって
$$\Gamma _{i, j k}(P)=g_{i l}(P){\Gamma ^l}_{j k}(P)=0$$でもあります。
${\bf カール：}$ 割合あっさりと、アルバートの期待通りの結果がでましたね。このとき
$${R^n}_{j, k l}(P)=\partial _k{\Gamma ^n}_{j l}(P)-\partial _l{\Gamma ^n}_{j k}(P)$$となって、
\begin{eqnarray*} R_{i j, k l}&=&g_{i n}(P){R^n}_{j, k l}(P)\\ &=&g_{i n}(P)(\partial _k{\Gamma ^n}_{j l})(P)-g_{i n}(P)(\partial _l{\Gamma ^n}_{j k})(P) \end{eqnarray*}です。
$i, j$ の入れ替えについての対称性はまだ見えてきませんね。以前求めた、${\Gamma ^i}_{j k}$ を $g_{i j}$ で表す等式
$${\Gamma ^i}_{j k}={1\over 2}g^{i l}\left( -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j}\right) $$を使ってみてはどうでしょうか。
${\bf カール：}$ $R_{i j, k l}$ が $g_{n m}$ だけで書けることになりそうなので、いい考えかもしれません。それを使うと
\begin{eqnarray} R_{i j, k l}(P)&=&{1\over 2}g_{i n}(P)\partial _k\left[ g^{n m}\left( -\partial _mg_{j l}+\partial _jg_{l m}+\partial _lg_{m j}\right) \right] \vert _P \nonumber \\ &&-{1\over 2}g_{i n}(P)\partial _l\left[ g^{n m}\left( -\partial _mg_{j k}+\partial _jg_{k m}+\partial _kg_{m j}\right) \right] \vert _P \label{eq:Rijklnotocyu} \end{eqnarray}となります。但し
$$\partial _k\left[ \cdots \right] \vert _P$$は、『微分して後 $P$ を代入する』意味です。
その微分の際、$\partial _k$ が $g^{n m}$ を跳び越すことができれば、随分簡単な結果になりそうですが、以前証明した
$$\partial _kg_{i j}=\Gamma _{i, j k}+\Gamma _{j, i k}$$が使えそうです。何故なら、この等式から
\begin{equation} \left( \partial _kg_{i j}\right) \vert _P=0 \label{eq:partiagga0} \end{equation}が言えるからです。
$g^{n m}$ の定義式
$$g^{n m}g_{m l}=\delta ^n_l=\cases{ 1 & $n=l$ のとき \cr 0 & $n\not= l$ のとき}$$の両辺を微分することによって
$$\partial _kg^{n m}=-g^{n j}\left( \partial _kg_{j l}\right) g^{l m}$$が得られますが、(\ref{eq:partiagga0}) 式
$$\left( \partial _kg_{i j}\right) \vert _P=0$$によって
$$\left( \partial _kg^{n m}\right) \vert _P=0$$がすべての $k, n, m$ について言えます。
この結果を $R_{i j, k l}(P)$ の式(\ref{eq:Rijklnotocyu}) に適用すれば
\begin{equation} R_{i j, k l}(P)={1\over 2}\left( -\partial _k\partial _ig_{j l}+\partial _k\partial _jg_{l i}+\partial _l\partial _ig_{j k}-\partial _l\partial _jg_{k i}\right) \vert _P \end{equation}という結果が得られます。この形なら、
$$R_{i j, k l}(P)=-R_{j i, k l}(P)$$は一目瞭然です。
${\bf アル：}$ 次の条件
$$g_{1 1}(P)=g_{2 2}(P)=1, \hskip 5mm g_{1 2}(P)=g_{2 1}(P)=0$$ $${\Gamma ^i}_{j k}(P)=0 \hskip 5mm (i, j, k=1, 2)$$を満たす座標系を「点 $P$ における局所ユークリッド系」と呼ぶことにします。局所ユークリッド系に対しては
$$R_{i j, k l}(P)=-R_{j i, k l}(P)$$が証明できたのですが、任意の座標系に対しての証明がまだ残っています。
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