四方山話

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平面と球面での計算(2025年5月11日)

${\bf アル：}$ 具体例で少し計算しておきましょう：$R$ を求めるためには ${R^i}_{j, k l}$ が必要で

$${R^i}_{j, k l}=\partial _k{\Gamma ^i}_{j l}-\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}-{\Gamma ^i}_{m l}{\Gamma ^m}_{j k}+{\Gamma ^i}_{m k}{\Gamma ^m}_{j l}$$

であり

$$\begin{equation} {\overline {{\bf r}_{j k}}}={\Gamma ^i}_{j k}{\bf r}_i \label{eq:gammanodef-2} \end{equation}$$

が ${\Gamma ^i}_{j k}$ の定義式です。ここで ${\overline {{\bf r}_{i j}}}$ は、ベクトル

$${\bf r}_{i j}=\partial _j{\bf r}_i=\partial _j\partial _i{\bf r}$$

を面に接するベクトルと垂直なベクトルの和に分解するときの前者を表しました。

　まず ${\Gamma ^i}_{j k}$ を計算しやすい形に書き直すことを考えてみます。

　${\bf r}_{j k}$ の面ベクトル成分を求めることが絶対必要なように思いますが、面に垂直な成分と ${\bf r}_l$ との内積が $0$ であることに気付くなら、次のような少しずるい方法でも何とかなるのでは、と考えてしまいます。($\ref{eq:gammanodef-2}$) 式

$${\overline {{\bf r}_{j k}}}={\Gamma ^i}_{j k}{\bf r}_i$$

の両辺と ${\bf r}_l$ との内積をとるのです。

$${\bf r}_{j k}\cdot {\bf r}_l={\Gamma ^i}_{j k}g_{i l}=\Gamma _{l, i j}$$

が得られます。これは

$$(\partial _k{\bf r}_j)\cdot {\bf r}_l=\Gamma_{l, i j}$$

を意味します。左辺は、３次元ユークリッド空間の原点 $O$ と曲面上の点 $(x, y)$ を結ぶベクトル ${\bf r}(x, y)$ がわかれば、

$${\bf r}_i=\partial _i{\bf r}$$

は求まるはずですから、計算できそうです。従って

$${\Gamma ^k}_{i j}=g^{k l}\Gamma_{l, i j}$$

によって ${\Gamma ^k}_{i j}$ を計算できます。

${\bf カール：}$　ただ、数学者としてはもう少し整理した形で書いてみたくなります。単なる美意識の問題と言えば言えるのですが、おそらくそうしておく方が後で役に立つと思われるからです。

　ここまでの議論では $g_{i j}$ が基本的な役割を果たしてきました。ここでもそれを表に出す工夫をしてみます。

$$\partial _k({\bf r}_j\cdot {\bf r}_l)=(\partial _k{\bf r}_j)\cdot {\bf r}_l+{\bf r}_j\cdot (\partial _k{\bf r}_l)$$

です。従って

$$\begin{equation} \partial _kg_{j l}=\Gamma _{l, j k}+\Gamma _{j, l k}\label{eq:pargiltoga} \end{equation}$$

です。右辺の $\Gamma _{l, j k}$ だけを残したいので、等式を増やすために添え字を順ぐりに回すと

$$\begin{equation} \partial _jg_{l k}=\Gamma _{k, l j}+\Gamma _{l, k j}\label{eq:pargiltoga-2} \end{equation}$$

と

$$\begin{equation} \partial _lg_{k j}=\Gamma _{j, k l}+\Gamma _{k, j l}\label{eq:pargiltoga-3} \end{equation}$$

が得られます。ここで

$$\Gamma _{i, j k}=\Gamma _{i, k j}$$

に注意するならば

$$(\ref{eq:pargiltoga})+(\ref{eq:pargiltoga-2})-(\ref{eq:pargiltoga-3})$$

によって右辺に $\Gamma _{l, j k}$ だけが残るようにできます。つまり

$$\begin{equation} {1\over 2}\left( -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j} \right) =\Gamma _{l, j k} \label{eq:12-partialjk} \end{equation}$$

です。ただ、$g_{i j}=g_{j i}$ を使って添え字を少し見やすく配置し直しました。よって

$$\begin{equation} {\Gamma ^i}_{j k}={1\over 2}g^{i l}\left( -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j}\right) \label{eq:gamijk12gi} \end{equation}$$

が得られます。

${\bf アル：}$ この形なら $g_{i j}$ さえ求めれば良いから、確かに見通しがいいですね。具体例について ${\Gamma ^i}_{j k}$ を計算してみましょう。平面、球面の２例を取り上げます：

　平面の場合がもちろん最も簡単でガウス座標としては、直交座標系を１つ決めて $(x, y)$ とします。このとき

$$\begin{equation} {\bf r}(x, y)=(x, y, 0) \label{eq:rxygaxy0-2} \end{equation}$$

としてよいので

$$\begin{equation} {\bf r}_1(x, y)=\partial _x{\bf r}(x, y)=(1, 0, 0), \hskip 5mm {\bf r}_2(x, y)=\partial _y{\bf r}(x, y)=(0, 1, 0) \end{equation}$$

であり、よって

$$g_{1 1}=g_{2 2}=1, \hskip 5mm g_{1 2}=0$$

が得られます。よって、($\ref{eq:gamijk12gi}$) によれば、すべての $i, j, k$ について

$${\Gamma ^i}_{j k}={1\over 2}g^{i l}\left( -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j}\right) =0$$

です。

　よって、${R^i}_{j, k l}$ の定義式

$${R^i}_{j, k l}=\partial _k{\Gamma ^i}_{j l}-\partial _l{\Gamma ^i}_{j k}-{\Gamma ^i}_{m l}{\Gamma ^m}_{j k}+{\Gamma ^i}_{m k}{\Gamma ^m}_{j l}$$

から、これらすべて ${R^i}_{j, k l}=0$ です。よって

$$R_{i j}={R^k}_{i, k j}=0, \hskip 5mm R=g^{i j}R_{i j}=0$$

でもあります。

　半径 $r$ の球面上の点（但し、北極と南極は除外しますが）の座標としては、$Z$ 軸からの角度 $\theta$ と $X$ 軸からの角度 $\phi$ の組 $(\theta , \phi )$ を用います。このとき

$${\bf r}(\theta , \phi )=(r\sin \theta \cos \phi , r\sin \theta \sin \phi , r\cos \theta )$$

であって、

$$\begin{eqnarray*} {\bf r}_{\theta }&=&(r\cos \theta \cos \phi , r\cos \theta \sin \phi , -r\sin \theta ) \\ {\bf r}_{\phi }&=&(-r\sin \theta \sin \phi , r\sin \theta \cos \phi , 0) \end{eqnarray*}$$

となります。よって

$$\begin{equation} g_{\theta \theta }=r^2, \hskip 5mm g_{\theta \phi }=g_{\phi \theta }=0, \hskip 5mm g_{\phi \phi }=r^2\sin ^2\theta \label{eq:kyumenkeiryotensoru} \end{equation}$$

です。

　これらを ($\ref{eq:12-partialjk}$) 式

$$\Gamma _{l, j k}={1\over 2}\left( -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j} \right)$$

へ代入すれば

$$\begin{equation} \Gamma _{\theta , \phi \phi }=-r^2\sin \theta \cos \theta , \hskip 5mm \Gamma _{\phi , \theta \phi }=\Gamma _{\phi , \phi \theta }=r^2\sin \theta \cos \theta , \hskip 5mm 他は 0 \label{eq:kyumennogamma-0} \end{equation}$$

が得られます。

　また、行列

$$\pmatrix{ g_{\theta \theta } & g_{\theta \phi } \cr g_{\phi \theta } & g_{\phi \phi }}=\pmatrix{ r^2 & 0 \cr 0 & r^2\sin ^2\theta }$$

の逆行列を求めることにより

$$g^{\theta \theta }=r^{-2}, \hskip 5mm g^{\theta \phi }=g^{\phi \theta }=0, \hskip 5mm g^{\phi \phi }=r^{-2}\sin ^{-2}\theta$$

となり、よって ($\ref{eq:12-partialjk}$) 式

$$\Gamma _{l, j k}={1\over 2}\left( -\partial _lg_{j k}+\partial _jg_{k l}+\partial _kg_{l j} \right)$$

を丹念に計算することにより、最終的に

$$\begin{equation} {\Gamma ^{\theta }}_{\phi \phi }=-\sin \theta \cos \theta , \hskip 5mm {\Gamma ^{\phi }}_{\theta \phi }={\Gamma ^{\phi }}_{\phi \theta }={{\cos \theta }\over {\sin \theta }}, \hskip 5mm 他は 0 \label{eq:kyumennogamma} \end{equation}$$

が得られます。

　これらから

$$R_{1 2, 1 2}=r^2\sin ^2\theta$$

が導かれ

$$g=r^4\sin ^2\theta$$

であり、

$$R={2\over {r^2}}$$

です。従って

$$K={1\over 2}R={1\over {r^2}}$$

となります。これは最初の出発点で選んだ $K$ の値に一致しています。

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