${\bf カール：}$ 曲面上の任意の点 $P$ について、$P$ を含む十分小さな領域 $D$ を考えれば、その領域内での曲面の曲がり方はほぼ一定だと思われます。そのとき、$P$ の周りでの曲面の曲がり方（曲率）を表す数値 $K(P)$ が存在し、近似的な等式
$$\omega (D)\approx K(P)\sigma (D)$$が成り立つと仮定して推論を進めてきました。$D$ が小さければ小さいほどこの近似の精度はよいと思われます。
この仮定によれば、$\sigma (D)$ を $0$ に近づける極限で
\begin{equation} {{\omega (D)}\over {\sigma (D)}}\rightarrow K(P) \label{eq:K(P)nodef} \end{equation}であり、これを用いて $K(P)$ の値を求めることができるはずです。
${\bf アル：}$ 最初の頃、私は次のように予想していました：任意の点 $P$ の近くでの曲面の曲がり方に最も近い球面が選べるはずであって、その半径を $r$ とすれば
$$K(P)={1\over {r^2}}$$とすればよいだろう、と考えていました。でも、この考えが間違っていることはすぐわかります。$P$ を通る法線、すなわち曲面に垂直な直線を考え、その法線を含む平面を法線の周りに回転してみます。その平面による曲面の切り口は一つの平面曲線ですが、もし仮に $P$ の近くでの曲面が何らかの半径の球面でよく近似できるのであれば、これらの切り口の曲線の曲がり方はいつでも同じだと考えられます。しかし、たとえばラグビーボールのような楕円体の表面を考えると、法線を含む平面での切り口の曲がり方は、緩やかになったり急になったりします。従って球面で近似することは、一般の曲面で常に可能とは言えないようです。
${\bf カール：}$ それは確かに言えないでしょうが、でもアルバート、その話をもう少し先へ進めてみると面白そうです：というのは、$P$ での法線を含む平面による曲面の切り口の曲線は、$P$ の近くでは必ず円によって近似できますが、
${\bf アル：}$ どのようにして近似するのですか？
${\bf カール：}$ その平面曲線の上に、$P$ 以外に二点 $Q, R$ をとります。相異なる三点 $P, Q, R$ を通る円はただ一つありますが、$Q, R$ を $P$ に限りなく近づければ、その円はある一つの円に限りなく近づくはずです。そのとき、その極限の円は、その平面曲線の点 $P$ での曲がり方を最もよく表している円だと解釈するのが自然でしょう。
例として、二次曲線 $y=ax^2$ と原点 $P=(0, 0)$ を考えてみます。$P$ 以外の点として $Q=(\alpha , a\alpha ^2)$ と $R=(\beta , a\beta ^2)$ をとると、これら三点を通る円の中心が計算で求まりますが、$Q, R$ を $P$ に近づける、つまり $\alpha $ と $\beta $ を $0$ に近づけるに従い、その中心は $y$ 軸上の点
$$(0, {1\over {2a}})$$に限りなく近づくことがわかります。従って、二次曲線 $y=ax^2$ の原点における曲がり方は、半径 $\vert 1/2a\vert $ の円の曲がり方と同じであると解釈できます。
$P$ での法線を含む平面によって曲面を切る話へ戻ります：切り口の曲線を $P$ の近くで円によって近似するとき、その半径は、平面が法線を軸として回転するに従い、一般に大きくなったり小さくなったりします。曲面が半径 $r$ の球である場合は特別であって、切り口の曲線は近似するまでもなく、いつでも半径 $r$ の円です。そしてそのときには $K(P)=1/r^2$ であることを、われわれ既に知っています。
${\bf アル：}$ カールの言わんとすることがやっとわかりました。一般の曲面の場合は、球という特別ケースから類推して
$$K(P)={1\over {r_1r_2}}$$が予想されると言いたいのですね。但し、$r_1$ と $r_2$ は、件の切り口の曲線を円で近似するときの半径の内の二つ、ということですね。
ただ、法線を軸として平面を回転させるとき、件の半径は連続的に大きくなったり小さくなったりするはずです。それら無限に生じる半径の内、二つをどう選ぶのですか。
${\bf カール：}$ そこが問題です。たとえば最大値と最小値を選ぶという手がありますが、正直なところあまりに単純すぎて、自信が持てません。ただ単純なだけに、非常に興味が持てることも確かです。
このことはしばらく置くとして、
\begin{equation} \omega (D)/\sigma (D) \label{eq:omewarusig} \end{equation}の $\sigma (D)\rightarrow 0$ での極限値としての $K(P)$ について考えてみることにしましょう。
${\bf アル：}$ (\ref{eq:omewarusig}) 式を計算しようにも、任意の曲面に対してそれを行うだけの道具が、手許に全くないように思えます。おそらく準備が必要です。
${\bf カール：}$ 今のわれわれにどうしても必要なのは、ベクトルの上手な表示方法だと思います。これまでのように、矢印の図に頼っているのでは、$K(P)$ を求める為の計算などできそうにありません。いわば曲面の性質に根ざした表示方法が必要です。
${\bf アル：}$ 平面上でのベクトルの表示で図に頼る以外の方法と言えば、成分による表示を思い出します。あるベクトル ${\bf a}$ の成分が、例えば $(2, 3)$ であるとは
\begin{equation} {\bf a}=2{\bf r}_1+3{\bf r}_2 \label{eq:anoseibun} \end{equation}であることを意味します。但し、${\bf r}_1$ は $x$ 軸の方向を、${\bf r}_2$ は $y$ 軸の方向を、それぞれ向く長さが $1$ のベクトルとします。
この方法は任意の曲面上でもできそうです。曲面上の点 $P$ での任意の面ベクトルは、$P$ でその曲面に接する平面（今後「接平面」と呼びましょう）内の平面ベクトルに他ならないからです。$P$ を始点とする二つのベクトル ${\bf r}_1$ と ${\bf r}_2$ を定めれば (\ref{eq:anoseibun}) のような表示が可能です。但し、${\bf r}_1$ と ${\bf r}_2$ は一直線上にない、つまり別々の方向を向いていさえすれば、直交している必要はなく、長さについても $1$ である必要はありません。
${\bf カール：}$ ただ ${\bf r}_1$ と ${\bf r}_2$ を各点 $P$ で定めるというだけでは、$P$ の変化に関するそれらの変化の仕方がでたらめになるおそれがあります。面ベクトルを成分で表し、平行移動を成分の変化によって記述することになると思うので、 ${\bf r}_j(P)$ の変化の仕方にもある程度の連続性が必要なはずです。
次の方法ならこの要請を満たすかもしれません：平面における座標の考え方を曲面の場合に拡張するのです。曲面上の領域を２つの曲線群からなる網目で覆います。一方の曲線群に属する曲線はそれぞれ $x$ の値によって指定され、その領域内の任意の点を通るこの曲線群に属する曲線は１本、そしてただ１本存在するとします。同様にもう一方の曲線群は $y$ の値によって表される曲線からなり、任意の点を通る曲線は１本、そしてただ１本存在します。
よって、領域内の任意の点は $x$ と $y$ の値によって指定される２本の曲線の交点として表されます、言い換えれば、２つの数字の組 $(x, y)$ によって表すことができるのです。
さて、各点 $P$ での２つのベクトル ${\bf r}_1(P), {\bf r}_2(P)$ は、それぞれ $y$ 曲線（$y$ の値が一定の曲線）と $x$ 曲線（$x$ が一定の曲線）の $P$ における接ベクトルとすれば良いでしょう。ただ、今後の計算の為には正確な数式で表しておくに越したことはありません。
${\bf アル：}$ 接ベクトルと言えば微分が絶大な力を発揮します：座標 $(x, y)$ の曲面上の点の３次元ユークリッド空間内での位置を
$${\bf r}(x, y)=(X(x, y), Y(x, y), Z(x, y))$$で表します。但し、３次元ユークリッド空間内には、ある点 $O$ （原点と呼ぶ）で直交する３本の軸、$X, Y, Z$ 軸が設けられていて、任意の点の位置は座標 $(X, Y, Z)$ によって表されるとします。
このとき、
\begin{equation} {\bf r}_1(x, y)=\lim _{h\rightarrow 0}{1\over h}\left[ {\bf r}(x+h, y)-{\bf r}(x, y)\right] \label{eq:r1nodef} \end{equation}として ${\bf r}_1(x, y)$ を定めれば、点 $(x, y)$ において $y$ 曲線に接するベクトルが得られ、同様に
\begin{equation} {\bf r}_2(x, y)=\lim _{h\rightarrow 0}{1\over h}\left[ {\bf r}(x, y+h)-{\bf r}(x, y)\right] \label{eq:r2nodef} \end{equation}は点 $(x, y)$ において $x$ 曲線に接するベクトルが得られます。
ちなみに、２つの変数 $x, y$ の関数 $f(x, y)$ に対し、$y$ を定数とみて固定し、変数 $x$ の１変数関数として微分することを『$x$ について $f(x, y)$ を偏微分する』と言い、得られる導関数を「$x$ に関する偏導関数」と呼んで
$$f_x(x, y), \hskip 5mm {{\partial f}\over {\partial x}}(x, y), \hskip 5mm \partial _xf(x, y)$$等の記号で表すのが慣例です。偏微分が関数のみならず、２変数で決まるベクトルなどにもそのまま適用できることはほとんど明らかでしょう。
従って先に定義したベクトル ${\bf r}_j$ は
$${\bf r}_1={\bf r}_x={{\partial {\bf r}}\over {\partial x}}=({{\partial X}\over {\partial x}}, {{\partial Y}\over {\partial x}}, {{\partial Z}\over {\partial x}})$$と書けます。${\bf r}_2(x, y)$ についても同様で、${\bf r}(x, y)$ を $y$ で偏微分すればよいことになります。
${\bf カール：}$ 簡単な曲面の場合でそのような座標系の例を挙げて、ベクトル ${\bf r}_1, {\bf r}_2$ を見ておくとよいと思います。
${\bf アル：}$ 平面の場合がもちろん最も簡単です：３次元ユークリッド空間内の座標系を、もし必要なら設置し直して、問題にしている平面が $X-Y$ 平面であるようにできます。このとき、曲面上の座標 $(x, y)$ の点を $X=x, Y=y, Z=0$ によって定めるのです。つまり
\begin{equation} {\bf r}(x, y)=(x, y, 0) \label{eq:rxygaxy0} \end{equation}です。こう定めれば
\begin{equation} {\bf r}_1(x, y)={{\partial {\bf r}}\over {\partial x}}(x, y)=(1, 0, 0)\label{eq:heimenr1} \end{equation}であり、
\begin{equation} {\bf r}_2(x, y)=(0, 1, 0) \label{eq:heimer2} \end{equation}です。
原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の球面についても見ておきます：$Z$ 軸からの角度 $\theta $ と $X$ 軸からの角度 $\phi $ の組 $(\theta , \phi )$ を用いることができます。つまり
\begin{equation} {\bf r}(\theta , \phi )=(r\sin \theta \cos \phi , r\sin \theta \sin \phi , r\cos \theta ) \label{eq:kyugausuzah} \end{equation}とするのです。このとき
\begin{eqnarray} {\bf r}_1&=&(r\cos \theta \cos \phi , r\cos \theta \sin \phi , -r\sin \theta ) \label{eq:kyurtheta}\\ {\bf r}_2&=&(-r\sin \theta \sin \phi , r\sin \theta \cos \phi , 0) \label{eq:kyurphi} \end{eqnarray}となります。
例えば球面上の点 $(r, 0, 0)$ の $(\theta , \phi )$ は
$$\theta ={\pi \over 2}, \hskip 5mm \phi =0$$ですから、この点では
$${\bf r}_1=(0, 0, -r), \hskip 5mm {\bf r}_2=(0, r, 0)$$となっています。
${\bf カール：}$ 球面上のこの座標系は、北極点と南極点ではうまく機能しません。たとえば北極点は $\theta =0$ ですが、$\phi $ の値が決まらない。よってこの座標系ではこれら２点の座標を定めることができないことになります。
でもその点は大した問題ではありません。というのは北極点や南極点でも機能する座標系が存在するからです。北極点や南極点が都合の悪い点になってしまった理由は、$\theta $ を $Z$ 軸から測るからであって、例えば $X$ 軸から測るようにすればこれら２点は都合の悪い点から外れます。ベクトルの平行移動は局所的な操作であって、一時に必要な座標系はある限られた範囲を覆うもので十分です。曲面全体が一つの座標系で覆われる必要はなさそうです。
それにもう一点、平面上で座標系を設定する場合は、普通直交座標系を考えます。すなわち２本の座標軸の方向が直交する座標系です。曲面上の座標系ではそのような直交性は仮定しないことにしましょう。ある領域が二つの曲線群からなる網目で覆われ、それらの曲線群に属する二本の曲線の交点として任意の点が指定できる、という条件だけ満たされればよいとするのです。それだけで、今われわれが必要としている ${\bf r}_j(P)$ が定義できるからです。必要最低限の仮定だけで議論を進めて、できるだけ適用範囲の広い理論を目指したいと考えています。
さて、ある領域を覆う座標系 ${\bf r}(x, y)$ が与えられたとし、${\bf a}$ はその領域に含まれる点 $P$ での面ベクトルとします。このとき、
$${\bf a}=a^1{\bf r}_1(P)+a^2{\bf r}_2(P)$$が成り立つ実数 $a^1, a^2$ がただ１組存在します。$a^1, a^2$ が ${\bf a}$ の成分です。
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