${\bf カール：}$ 球面以外の、もっと一般の曲面に対して同様の関係式が成り立つかどうか探る道があり、あるいは、今まで通り球面の上での幾何学をもう少し詳しく考えてみる道もありそうです。
${\bf アル：}$ 一つ目の方が面白そうな気がします、それに私の問題意識にも関係しそうなので、是非そちらへ進みたいのですが。
${\bf カール：}$ ではそうしましょう。面ベクトルの平行移動の定義は、一般の曲面に対してもそのまま拡張できます。「方向の変化が面に垂直な方向にのみ起きる移動」として定義すればよいでしょう。曲面上の一つの領域 $D$ を囲む閉じた曲線 $C$ を考え、$C$ に沿って（$D$ を左に見ながら）あるベクトル ${\bf a}$ を平行移動し、一周して出発点に戻ったときのベクトルを ${\bf a}_f$ で表します。この時、「${\bf a}$ から ${\bf a}_f$ まで反時計回りに測る角度」として $\omega $ も定義できます。念のために注意しておきますが、平行移動では二つのベクトルの間の角は変化しません、従って ${\bf a}$ として何を選んでも $\omega $ は同じです。領域 $D$ の面積を $\sigma $ と置けば、つまり、関係式
$$\omega ={1\over {r^2}}\sigma $$の両端の量は一般の曲面についてもはっきり定義できます。
${\bf アル：}$ しかし、$1/r^2$ の意味が判然としませんね。この量は球の半径によって表されていて、球面以外の一般の曲面でこれに何が対応するのか、まったく分からない。
${\bf カール：}$ 具体例でもう少し、これに対応するものが何かを探ってみましょう。
\begin{equation} \omega =K\sigma \label{eq:Knodef} \end{equation}を満たす $K$ が一般の曲面についても存在すると仮定し、$K$ が何であるかを探るということです。
もちろん最も簡単な曲面は平面です、まず最初にこれを片づけておきましょう。平面上での平行移動は、始点を移すだけの、ベクトルとしてまったく変わらない移動です。つまり
$${\bf a}_f={\bf a}$$です、よっていつでも $\omega =0$ です。従って $K=0$ でなくてはいけません。
平面の次に簡単な例としては円柱面が浮かびます。円柱面が何故簡単に思えるかと言えば、もちろん平面に展開できるからです。適当にハサミを入れて平面上に展開すれば、円錐面の展開の際にも考えたように、円柱面での平行移動を平面上の平行移動で置き直して考えることが可能です。平面上での平行移動は始点だけの移動ですから、よって ${\bf a}_f={\bf a}$ であり、この場合も $\omega =0$、従って $K=0$ という結論が得られます。
${\bf アル：}$ 円錐面も平面に展開できました、でも緯線に沿う平行移動では $\omega \not= 0$ だったのでは？
${\bf カール：}$ 確かにそうですね。単に展開できるというだけでは『いつでも $\omega =0$ が成り立つ』とは言えないことになりますね。ただ、円錐面であっても曲線 $C$ の内部、つまり領域 $D$ が頂点を含まないのであれば、$\omega =0$ であることは確かです。
${\bf アル：}$ 円錐の頂点は『とがっている』、あるいは『そこで曲面が滑らかにつながっていない』という意味で、特異な点です。そういう特異点を $D$ が含まない曲線 $C$ だけを、これからは考えることにしましょう。そうすれば私の不都合はなくなります。
${\bf カール：}$ 手っ取り早く、「いたるところ滑らかにつながっている曲面」だけを考えることにしてはどうでしょう。球面も平面も、あるいは円柱面もその類の曲面です。円錐面も、もし頂点を含めないのであれば、滑らかな曲面です。ただそのとき、以前考えた緯線は、その内部の領域に曲面以外の点があります。あるいは、曲面の領域をすっかり囲っているとは言えない曲線です。今後 $C$ としては、その内部がすっかり曲面の点で満たされる場合を考えましょう。
${\bf アル：}$ $K$ の意味を早く知りたいと思っているのは私だけでなく、カールも同じだと思いますが、平面の場合は $0$ であって、球面の場合に $0$ じゃない、ということは曲面の曲がり方に関係していると思って間違いないでしょう。
${\bf カール}$ まったく曲がっていない曲面の場合は $0$ であって、それと比較してどの程度曲がり方が急激かを表す量が $K$ だと言うのですね。もしそうならば、「曲率」とでも呼ぶのが良さそうです。
ただ、一般の曲面においては $K$ は１つの数では間に合いそうにない気がします。例えば、麦わら帽子のように、周辺は平面であり中央部が盛り上がって球面の一部をなしている滑らかな曲面を考えましょう。平面部に含まれる領域を囲む曲線に関しては $\omega =0$ ですから、当然 $K=0$ のはずです。一方、中央部の球面に近い部分に含まれる領域については $\omega \not= 0$ であり $K=0$ ではあり得ません。
つまり、この曲面については、１つの定数 $K$ で間に合わすことができそうにない。球面の場合 $K=1/r^2$ で、平面に展開可能な曲面の場合 $K=0$ で、それぞれ１つの定数で間に合ったのは、球面や平面の何か特別な性質の反映ではないでしょうか。
${\bf アル：}$ その帽子の中央部であっても、平面部に近い部分は緩やかに曲がるはずですから、曲がり方の緩やかな部分と急速に曲がる部分とが生じる可能性があります。前者の部分は半径の大きな、後者の部分は半径の小さな球面の一部に一致するとすれば、前者の部分では $K$ は小さく、後者の部分の $K$ は大きな値になります。
${\bf カール：}$ いっそのこと、$K$ は曲面上の各点に対して決まる数値、言い換えれば、各点 $P$ に対して、その近くでの曲面の曲がり方を表す数値 $K(P)$ を対応させる、曲面上の関数だとみましょう。もちろん $P$ を含む十分小さな領域とそれを囲む曲線について、近似的に
\begin{equation} \omega \approx K(P)\sigma \label{eq:K(P)noksiasyaku} \end{equation}が成り立ち、その領域が小さければ小さいほどこの近似の精度は高いと解釈します。
球面や平面（に展開可能な曲面）の場合には、曲がり方がいたるところ一様であって、その関数は定数関数になると考えられます。
${\bf アル：}$ カールは各点 $P$ を含む十分小さな領域について成り立つ (\ref{eq:K(P)noksiasyaku}) 式
$$\omega \approx K(P)\sigma $$で満足しようと言うのですか。
${\bf カール：}$ いやそうではない、近似式で満足するつもりはありません。曲面上の曲線 $C$ について常に成立する何らかの等式が、関数 $K(P)$ を使って表現できると予想しています。
一つの領域 $D$ とその周囲 $C$ を考えます。この $C, D$ に対する $\omega , \sigma $ をそれぞれ
$$\omega (D), \hskip 5mm \sigma (D)$$で表します。$D$ を非常に細かい領域に分けてそれぞれの領域 $D_j$ の内部では曲がり方がほとんど一定なようにするなら、その領域内の点 $P_j$ について近似式
$$\omega (D_j)\approx K(P_j)\sigma (D_j)$$が成り立つことになります。ここで、$C_j$ は領域 $D_j$ を左に見ながら一周する曲線を表します。この結果を $j$ について足し合わせる、そして各 $D_j$ を限りなく小さくする極限を考えることにより、何か面白い等式が得られるのでは、というのが私の感触です。
${\bf アル：}$ カールのその感触を確かめるために、$C$ の途中に二点 $P, Q$ を設けて、それらを $D$ 内を通る曲線で結び、$D$ を２つの領域 $D_1, D_2$ に分割しましょう。カールの直観は、おそらく
$$\omega (D_1)+\omega (D_2)=\omega (D)$$であると訴えているのでしょうが、確かめてみましょう：$P$ から $D_1$ を左に見て $Q$ へ至り、$C$ の一部を通って $P$ へ戻る曲線が $C_1$ です。また、$P$ から $D_2$ を左に見ながら $C$ の一部を通って $Q$ へ至り、$D_1$ と $D_2$ の境界線を通って $P$ へ戻る曲線が $C_2$ です。
$P$ での面ベクトル ${\bf a}$ （何でもよい）を $D_1$ と $D_2$ の境界線を通って $Q$ まで平行移動して得られるベクトルを ${\bf b}$ で表します。${\bf b}$ を $D_1$ を左に見ながら $C_1$ を通って $P$ まで平行移動したベクトルを ${\bf b}(P)$ で表せば、${\bf a}$ から ${\bf b}(P)$ まで反時計回りに測った回転角が $\omega (D_1)$ です。次に $C_2$ の始点を $Q$ であると考え、${\bf b}$ を $D_2$ を左に見ながら $P$ まで平行移動します。すると当然 ${\bf a}$ が得られます。その ${\bf a}$ を $D_2$ を左に見ながら $Q$ まで平行移動して得られるベクトルを ${\bf a}(Q)$ で表すならば、${\bf b}$ から ${\bf a}(Q)$ までの回転角が $\omega (D_2)$ です。一方、${\bf a}(Q)$ を $C$ に沿って $D_1$ を左に見ながら $P$ まで平行移動したベクトルが ${\bf a}_f$ です。よって、平行移動によって二つのベクトルの間の角度が不変であることを考慮するなら、${\bf b}(P)$ から ${\bf a}_f$ の方向への回転角は $\omega (D_2)$ に一致します。
${\bf a}$ から ${\bf b}(P)$ までの回転角が $\omega (D_1)$、${\bf b}(P)$ から ${\bf a}_f$ までの回転角が $\omega (D_2)$ なのですから、従って
$$\omega (D_1)+\omega (D_2)=\omega (D)$$となります。カールの直観が正しかったようです。
${\bf カール：}$ アルバートが二つの領域に分ける場合を証明してくれましたから、その論理を何度も繰り返せば、たくさんの非常に小さな領域 $D_j \ (j=1, 2, \cdots , n)$ に $D$ を分ける場合でも
$$\sum _{j=1}^n\omega (D_j)=\omega (D)$$が成り立つことが証明できたことになります。
各小領域 $D_j$ の中に点 $P_j$ をとります。すると (\ref{eq:K(P)noksiasyaku}) 式によって、$D_j$ が十分に小さい限り
$$\omega (D_j)\approx K(P_j)\sigma (D_j)$$が成り立つ、しかもこの近似の精度は $D_j$ が小さいほどよくなると考えられます。
従って
$$\omega (D)=\sum _{j=1}^n\omega (D_j)\approx \sum _{j=1}^nK(P_j)\sigma (D_j)$$が得られたことになります。右辺の和の、$n$ を限りなく大きくして各 $D_j$ を限りなく小さな領域にするときの極限値が、積分の記号
$$\int _DK(P)d\sigma $$の定義です。よって、
\begin{equation} \omega (D)=\int _DK(P)d\sigma \label{eq:omegaDwosekibun} \end{equation}が結論できたことになります。
${\bf アル：}$ 関数 $K(P)$ が定数関数である時には、その定数を $K$ とすれば右辺の積分の値は $K\sigma (D)$ になり、
$$\omega (D)=K\sigma (D)$$に帰着しますね。従って、半径 $r$ の球面の場合の関係式
$$\omega (D)={1\over {r^2}}\sigma (D)$$は、一般の曲面に対しては (\ref{eq:omegaDwosekibun}) の形に拡張されると理解すべきでしょう。
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