${\bf アル：}$ 球面上で「直線」を定義し、それをもとして幾何学をしようとしているのですから、${\bf a}$ から ${\bf a}_f$ への回転角 $\omega $ も、球面上の何らかの幾何学的量としてあらわすことができると面白いですね。
展開図を離れて球面に戻るための一歩として、この緯線 $C$ の緯度を $\alpha $ で表し $\omega $ を $\alpha $ で表すことを考えてみましょう：母線 $SP$ にはさみを入れて円錐を押しつぶし平面に展開するときの、いわば $SP$ が両側に裂ける度合いを $\omega $ は表します。従って、緯度 $\alpha $、つまり赤道面から $C$ までの角度が $90$ 度に近くなればなるほど $\omega $ は小さくなると考えられ、そこには何らかの関係があるはずです。
${\bf カール：}$ $\omega $ の大小は展開図における ${\overline C}$ の長さに関係しているように思えますから、まずこの長さを $\alpha $ で表してみます。球の半径を $r$ とすると円 $C$ の半径は
$$r\cos \alpha $$であり、よって
$$C の全長=2\pi \times r\cos \alpha $$です。また
$$SP=r\tan \left( {{\pi }\over 2}-\alpha \right) =r{{\cos \alpha }\over {\sin \alpha }}$$です。従って、展開図を考慮すれば
\begin{equation} \omega =2\pi (1-\sin \alpha ) \label{eq:omegatoalpha} \end{equation}が得られます。アルバートが予想した通り、$\alpha $ が $\pi /2$ に近づくにつれて $\omega $ は小さくなります。このことからみても、途中の計算に間違いはないでしょう。
${\bf アル：}$ もう一歩、球面自体に近づけないものでしょうか。
${\bf カール：}$ 球面上の何かで表せと言われるのなら、$C$ で囲まれた図形くらいしか思いつきません。
${\bf アル：}$ ではその図形の面積を計算してみましょう。球面の内、緯度 $\alpha $ より北の部分の面積を求めたいのですから二重積分が使えます。$d\theta $ と $d\psi $ を無限小の量として、緯度が $\theta $ 以上 $\theta +d\theta $ 以下であり、経度が $\psi $ 以上 $\psi +d\psi $ 以下である球面の無限小部分の面積は
$$rd\theta \times r\cos \theta d\psi =r^2\cos \theta d\theta d\psi $$です。従って求めたい図形の面積を $\sigma $ で表すと
$$\sigma =\int _{\alpha }^{\pi /2}d\theta \int _0^{2\pi }d\psi r^2\cos \theta =2\pi r^2(1-\sin \alpha )$$となります。
${\bf カール：}$ 先に求めた (\ref{eq:omegatoalpha}) 式
$$\omega =2\pi (1-\sin \alpha )$$を考慮すると
\begin{equation} \omega ={1\over {r^2}}\sigma \label{eq:omegatosigmano} \end{equation}が得られたことになります。これはかなり意味深な感じを受ける等式ですね。球面上でも、平面上の幾何学に引けをとらない、面白い幾何学が存在する可能性を示唆しているのかもしれません。
${\bf アル：}$ それを確かめるためにも、何かもう一つ例を考えてみましょう。球面上の閉じた曲線 $C$ に沿って何らかのベクトル ${\bf a}$ を平行移動し、一周して（$C$ の内部を左に見るように一周するとします）始点に戻ってきたときのベクトル ${\bf a}_f$ が、${\bf a}$ から見て角度 $\omega $ だけ回転（反時計回りとする）した方向にあるとします。知りたいのは $C$ で囲まれた図形の面積と $\omega $ との関係です。
まったく一般の曲線 $C$ に対して $\omega $ を求めようとしても手掛かりがありません。ただ、平行移動が考えやすい大円によって囲まれた図形なら何とかなりそうです。そこで「球面三角形」、つまり三本の大円弧で囲まれた図形を考えてみましょう。
頂点を $A, B, C$ とし、$A$ から $B$ へ向かう大円弧の $A$ における接ベクトル ${\bf a}$ を $B$ まで平行移動して得られるベクトルを ${\bf a}'$ であらわします。この ${\bf a}'$ を今度は $B$ から $C$ へ向けて平行移動するのですが、接ベクトルの平行移動と比較して理解すると分かりやすいので、$B$ から $C$ へ向かう大円弧の $B$ での接ベクトルを ${\bf b}$ とし、${\bf a}'$ から ${\bf b}$ への回転角を $\beta $ で表します。このとき、平行移動によってベクトルの間の角度が変化しないことを思い出せば、${\bf a}'$ を $C$ まで平行移動したベクトル ${\bf a}''$ と ${\bf b}$ を $C$ まで平行移動したベクトル ${\bf b}'$ との角度は $\beta $ のままです。最後に $C$ から $A$ へ向かう大円弧の $C$ における接ベクトルを ${\bf c}$ で表し、${\bf b}'$ と ${\bf c}$ との角度を $\gamma $ で表すなら、${\bf a}''$ と ${\bf c}$ との角度は $\beta +\gamma $ であり、この角度は ${\bf a}''$ と ${\bf c}$ を $A$ まで平行移動する間いつでも不変です。${\bf a}''$ を $A$ まで平行移動した結果が ${\bf a}_f$ です。また ${\bf c}$ を $A$ まで平行移動した ${\bf c}'$ から ${\bf a}$ の方向までの回転角を $\alpha $ で表すなら、従って ${\bf a}_f$ から ${\bf a}$ までの回転角は
$$\alpha +\beta +\gamma $$だということになります。
${\bf カール：}$ ${\bf a}$ から ${\bf a}_f$ の方向までの（反時計回りの）回転角を $\omega $ と置けば
$$\omega =2\pi -\left( \alpha +\beta +\gamma \right) $$となりますね。ここまでくると
$$\omega =\left( \pi -\alpha \right) +\left( \pi -\beta \right) +\left( \pi -\gamma \right) -\pi $$と書き直せること、更にまた、三つの括弧がそれぞれ頂点における内角に等しいことには、おそらく誰でも気づかされます。つまり、それぞれの内角を $A, B, C$ で表すと（頂点を表す記号を再び使っても、おそらく誤解は生じないでしょう）、
$$\omega =A+B+C-\pi $$が成り立つことになります。
${\bf アル：}$ これはなかなかきれいな式ですね。緯線とそれが囲む領域の面積との先に求めた関係から、この球面三角形の内部の領域の面積を $\sigma $ で表せば
$$\omega ={1\over {r^2}}\sigma $$が予想できますが、確かめてみましょう。
ただ、まったく一般の球面三角形について $\sigma $ は簡単には書けそうにないので、簡単にわかる例として $A$ を北極点、$B$ を赤道上の点、$C$ をそこから赤道に沿って東の方向へいくらか進んだ点としてみます。$A, B$ を結ぶ大円は経線の一部、$B, C$ は赤道の一部、$C, A$ は再び経線の一部です。このとき頂点 $B, C$ での内角は共に $\pi /2$ ですから、よって
$$\omega =A+B+C-\pi =A$$となります。従って、予想によれば
$$A={1\over {r^2}}\sigma $$のはずです。
球面の上半分の面積は $2\pi r^2$ であり、よって
$$\sigma =2\pi r^2\times {A\over {2\pi }}=r^2\times A$$です。つまり、予想どおりです。
${\bf カール：}$ 正直言って、すこし驚きました。(\ref{eq:omegatosigmano}) とまったく同じ関係式
$$\omega ={1\over {r^2}}\sigma $$が得られたことになります。この関係式はすべての球面三角形について成り立つと思っておそらく間違いないでしょう。
${\bf アル：}$ もしそうであるなら、
$$A+B+C-\pi ={{\sigma }\over {r^2}}$$が任意の球面３角形について成立することになりますが、これは興味深い等式です：まず、球面三角形の内角の和は常に２直角より大きくて、しかもその過剰分は、内部の面積の $1/r^2$ 倍だということになります。球の半径 $r$ は小さなものも大きなものもありますが、非常に大きな球面上のある程度小さな３角形に限定するなら、内角の和がほぼ２直角に等しいことになります。半径が大きな球面上の十分小さな領域はほぼ平面と思ってよいはずですから、この結果はわれわれが小学生以来ずっと慣れ親しんできた平面幾何学での定理、『３角形の内角の和は２直角である』に連続的につながっていることになります。
これを見ると、平面幾何学が非常に特殊な幾何学であって、他にも面白い幾何学がありそうではないですか。３角形の内角の和が２直角以下となる幾何学があっても、不思議でない気がしてきました。この方向性をもう少し追及してみる価値は確かにありそうです。
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