${\bf アル：}$ 大円上の点 $P$ での接ベクトルをその大円に沿って平行移動すれば、いつでもその大円の接ベクトルが得られることは納得できました。しかし、平行移動の概念に慣れるためにも、接ベクトルではないベクトルから出発する場合を考えてみませんか。
${\bf カール：}$ 一つの大円、たとえば赤道上の任意の点 $P$ での面ベクトルで、必ずしもその大円の接ベクトルではないベクトル ${\bf a}$ を、赤道に沿って別の点 $Q$ まで平行移動するときどんなベクトルが得られるか、という問題ですね。
${\bf アル：}$ ${\bf a}(P)={\bf a}$ を $Q$ まで平行移動して得られる ${\bf a}(Q)$ をどう表現するかを考えると、$Q$ での大円の接ベクトルと比較して表示する方法が思い浮かびます。従って、${\bf b}$ を $P$ での大円の接ベクトルとし、${\bf b}$ の平行移動も並行して考えてはどうでしょうか。
${\bf カール：}$ ${\bf b}$ の平行移動が常に接ベクトルであることは既に知っていますから、それは使えそうです。
${\bf アル：}$ $P$ から無限小の距離離れた $P'$ へ ${\bf a}$ と ${\bf b}$ を平行移動するとき、それぞれのベクトルの３次元ユークリッド空間での変化分は、$P$ での地面に垂直な方向のベクトルです。よって ${\bf a}$ と ${\bf b}$ の間の角は変化しないことになります。この手続きを無限回繰り返して得られる ${\bf a}(Q)$ と ${\bf b}(Q)$ についても、従ってそれらの間の角度は、最初の $P$ での角度（正確には ${\bf a}$ から ${\bf b}$ へ反時計回りに回転する角度として定める）と同じはずです。これを $\theta $ で表すなら、よって ${\bf a}(Q)$ から角度 $\theta $ だけ反時計回りに回転すれば、大円の $Q$ での接ベクトルが得られることになります。
${\bf カール：}$ 角度が変化しないと同様に、長さも変化しないことになりますね。これらの厳密な証明は後に考えることにましょう。
${\bf アル：}$ 大円に沿っての平行移動については大体わかりましたから、大円以外の曲線、たとえば北緯45度の緯線について考えてみませんか。この緯線を $C$ で表し、$C$ 上の点 $P$ から出発し、ベクトル ${\bf a}$ を平行移動してぐるりと一周し $P$ に戻るとき、得られるベクトルは ${\bf a}$ と一致するでしょうか。いきなり一般の ${\bf a}$ を扱うのはよして、${\bf a}$ は $P$ における $C$ の接ベクトルであるとしましょう。
${\bf カール：}$ $C$ に沿って球面に接する円錐の帽子をかぶせてみてはどうでしょう。球面に垂直な方向は、$C$ 上の点で考える限り、この円錐面に垂直な方向と一致します。また球面の面ベクトルである為には、円錐面の面ベクトルであればよい、よって、円錐面上で $C$ に沿ってベクトルを平行移動すればよいことになります。
更に、円錐の帽子を思いついたもう一つの大きな理由ですが、円錐面は、その頂点を $S$ とすれば、$S, P$ を通る母線にハサミを入れて平面上に展開できます。曲線 $C$ が机の面に乗るように置き、$S$ を上から押して押しつぶせばいいのです。このとき、円錐面上の任意の二点間の距離はまったく変化なく平面上の二点に移ります。このことは推論に使えないでしょうか。
${\bf アル：}$ 円錐面上での平行移動の結果は、展開後の平面上で考えると、そこでの平行移動の結果に一致していると言いたいのですね。ベクトルの平行性や、それらの間の角度は、その曲面での距離によって決まることがらのように思えます。ですから、円錐面と平面で対応する二点間の距離がいつでも同じである以上、確かに平面上で平行移動すれば良いことになりそうです。このあたりの厳密な証明は、平行移動を微分を使って正確に定義するときに考えることにして、ここでは直観的な理解で満足することにしましょう。
${\bf a}$ を $C$ に沿って平行移動し、一周して $P$ に戻るとき得られるベクトルを ${\bf b}$ で表しましょう。${\bf b}$ と ${\bf a}$ の関係が何であるかを知りたいのです。円錐面を平面へ展開するとき、$C$ が対応する曲線を ${\overline C}$ で表し、その終点を ${\overline P}$ で表します。${\bf a}$ の平面上での平行移動は、単に始点を移動させるだけの、普通の意味での平行移動ですから、${\overline P}$ まで ${\overline C}$ に沿って移動させる途中でも、いつでも ${\bf a}$ のままであり、${\overline P}$ まで移動して得られるベクトルを ${\bf a}_f$ で表せば、
$${\bf a}_f={\bf a}$$です。
一方 $P$ を出発するときの最初の ${\bf a}$ は、$P$ における接ベクトルであり、よって ${\overline P}$ において考えるならそこでの ${\overline C}$ の接ベクトルです。その ${\bf a}$ の方向から ${\bf a}_f$ の方向までの角度を $\omega $ で表せば（正確には、${\bf a}$ から反時計回りに ${\bf a}_f$ までの回転角として定めます）、$\omega $ は、直線 $S{\overline P}$ を反時計回りに $SP$ まで回転するときの回転角に一致します。
${\bf カール：}$ やっと解決しましたね。結局、円錐面、あるいは球面上で $C$ を一周して ${\bf a}$ を平行移動したときに得られるベクトル ${\bf b}$ は、${\bf a}$ から反時計回りに $\omega $ だけ回転する方向にあることがわかりました。
ただ、願わくば、展開図に関する量としてこの回転角を表すのではなく、もっと直接的に、球面に関係する量として表すことができれば、と思います。
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