${\bf C}$ 平面上の直線を特徴づけているもう一つの性質、「まっすぐ」についても考えてみましょう。例えば、平面上で円はもちろん直線ではなく、「まっすぐ」でもない。円周を「まっすぐ」でないと判断する理由はどこにあるのでしょうか。
${\bf A}$ やはり向きが一定でないことにあるでしょう。円周上のある点における円周の向きは、その点における接線の向きだと考えられますが、点が円周上を少しでも動くと、接線の向きも変化します。直線の場合はそうではない。直線上の点での接線 - 元々の直線に一致しますが - の方向は、点が動いても一切変わらず一定です。
${\bf C}$ 球面上の大円もその性質を持つのであれば、大きな確信をもって大円を球面上の「直線」と呼ぶことができそうです。しかし明らかにそうはなっていない、大円上の任意の点 $P$ で接線を考えれば、もちろんそれは球面に接する直線ですが、$P$ が大円上を動くにつれて向きが変わることは明らかです。
${\bf A}$ いや待って下さい、そう結論するのは早とちりかもしれません。３次元ユークリッド空間内での方向としては確かに変化します。しかし、今われわれは球面上での幾何学を論じています、従って球面上で考えて『変化なし』と判断できれば、それでいいのではないでしょうか。
${\bf C}$ 問題は、その『球面上で考えて』が何を意味するのかということですね。
${\bf A}$ 『行動が球面上に束縛されている』立場で考えると、いう感じなのですが、自分でももう一息はっきりしません。自分の直観を明瞭な形で把握したいので、大円上の点 $P, Q$ を考え、$P$ から $Q$ へその大円に沿って歩く場合を考えます。そのとき私の顔の向きは、もちろんその場での接線の向きですが、足を踏み出す方向もその方向です。何歩か歩いて、その結果 $Q$ へ到達することができるはずです。つまり、自分から見て真正面の方向へ足を踏み出すことを何度か繰り返せば、$P$ から $Q$ へ移動できると言えます。よって、$P, Q$ の２点で大円に接する接線の方向は、球面上に束縛されて移動する僕の立場からは一致し、変化していないと感じます。
${\bf C}$ アルバート、では接線の方向が『変化する』経路にはどんな例がありますか。
${\bf A}$ おそらく大円でない経路の場合は変化するでしょう。たとえば、北緯４５度の緯線に沿って歩く場合、足を踏み出す方向は真正面の方向ではないと思います。この感触は、その上の任意の点 $P$ を考え、$P$ においてその緯線と接する大円を考えると、分かって貰えそうです。点 $P$ を通過後、いつでも真正面に向かって足を踏み出すのであれば、そのときは大円に沿って歩くことになり、緯線をそれてしまうはずです。逆に言えば、$P$ を通過後も緯線に沿って歩き続けるためには、足を踏み出す方向を真正面ではなく、少し北側へそらす必要があるということです。そのようにして何歩か歩いたのち到達できる点 $Q$ での顔の向きは、$P$ での向きとは違ったものになっているはずです。
${\bf C}$ アルベルト、あなたの感覚が私にもわかったようです。大円に沿って歩くときのあなたの顔の向きは、３次元空間の中の向きとしては明らかに変化します。ただその変化は、地面に垂直な方向に起きていて、水平な方向には起きていないのです。すなわち、地面に束縛されて動くあなたにとって、地面に水平な方向の変化は起きていない、だからこそ、あなたはいつでも同じ方向に顔を向けて歩いていると感じるのです。
${\bf A}$ 地面に垂直な方向の変化を繰り返すだけなら、最初の方向と最後の方向は同じである、というのが、球面に束縛された立場での「方向に変化なし」の定義のようですね。
${\bf C}$ この定義は大事そうなので、正確にまとめておきましょう。まず、方向を扱う際の数学的な道具として「ベクトル」があるのでそれを使います。ここで取り扱うベクトルは球面に接するベクトルだということを忘れないでください。そこで、３次元ユークリッド空間内のベクトル ${\bf a}$ が、球面上の点 $P$ に始点を置くとき球面に接するならば、『${\bf a}$ は点 $P$ における面ベクトルである』と言うと約束しましょう。
硬い木の棒の先に矢印を付け、その根元を持って球面上をあなたが歩くとします。もちろんその矢印はベクトルを表し、常に球面の面ベクトルであり続けるように持つとします。ある点 $P$ 点における面ベクトルを、何らかの曲線に沿って、面ベクトルの状態を保ちながら、別の点 $Q$ まで移動させるのです。このとき、３次元空間内のベクトルとして見れば方向は一般に逐一変わりますが、ただ、常に地面に垂直な方向にだけ変わる移動を、「球面上に束縛された立場から見ると方向の変わらない移動」という意味で、「球面上でのベクトルの平行移動」と呼びましょう。当然、平行移動して得られるベクトルは最初のベクトルと『平行である』と言います。
${\bf A}$ 『常に地面に垂直な方向にだけ変わる』という部分に、若干の曖昧性が残っているように思えます。というのは「地面に垂直な方向」それ自体が、もし移動とともに変化しないのであれば理解は容易ですが、実際には球面を私が移動するとともに変化します。
${\bf C}$ 点 $P$ でのベクトルを ${\bf a}(P)$ で表し、少しだけ離れた $Q$ でのベクトルを ${\bf a}(Q)$ で表しましょう。
$${\bf a}(Q)-{\bf a}(P)$$がベクトルの変化分ですが、これが $P$ において地面に垂直なベクトルだという意味です。
とは言いましたが、確かにあなたの言う通り、曖昧です。$Q$ まで移動する間に地面に垂直な方向は逐一変化し、それを $P$ での方向に置き直してよい理由がない。
${\bf A}$ こういう際の常とう手段ですが、無限小の概念を使ってはどうでしょう。つまり $P$ から無限小の距離だけ離れた点への移動に限定し、その途中での地面に垂直な方向は $P$ での方向だとみなすのです。無限小の距離の移動を無限回繰り返すことにより、正の有限な距離だけ離れた別の点 $Q$ へ達することができますが、その無限回の歩みのそれぞれでベクトルの変化分が地面に垂直な方向のベクトルに一致するときに、「$P$ から $Q$ への平行移動」と呼ぶ、ということではどうでしょう。
${\bf カール}$ 無限小を扱うということは、おそらく微分を使わないと正確には表現できないことになりますね。そこへ向かう前に、直観的な範囲でいいですから、この平行移動の概念にもう少し慣れておきたいですね。
${\bf アル}$ 確かに！私がその矢印を持って大円に沿って歩くとき、矢印の向きを常に大円に接する方向に向けていれば、３次元空間内でのベクトルの変化は地球の中心を通る平面内で起きます。よって、その変化は地面に垂直な方向に起きることになり、ベクトルの平行移動に他ならないことになります。すなわち、大円上の各点で大円に接するベクトルは、すべて平行であると言えます。大円を球面上の直線とみなすのにこれは好都合です。
${\bf カール}$ 球面上を歩くアルバートの様子を頭に描くと、逆も成り立つように思えてきました。すなわち、ある曲線の一つの接ベクトルを平行移動する結果、いつでも行った先での接ベクトルが得られるのであれば、その曲線は大円以外になさそうです。何故ならば：点 $P$ をその曲線上の任意の点とし、$P$ を通りその曲線に接する大円を考えましょう。アルバートが $P$ を通過する瞬間、手に持つ棒はその大円を決定する平面に完全に含まれます。従って - いわば無限小の距離進んだ - 次の瞬間での棒も、すっぽり同じ平面に含まれているはずです。次の瞬間に移る際の棒の向きの変化は、$P$ での地面に垂直な方向のみの変化なのですが、その方向はその大円を決定する件の平面に完全に含まれるからです。
従って、移った先の点での曲線の接ベクトルも、その大円を決定する件の平面に含まれることになります。そこまで進んだとき、曲線は $P$ を通る大円をそれていないのです。この手続きを無限回繰り返せば、この曲線のどこまでも行けるはずです。結果的に、この曲線は一つの大円に一致することになります。
${\bf カール}$ うまくいったようですね。これで、大円はその上の２点を結ぶ最短の経路であり、同時に、接ベクトルが常に互いに平行になっているという意味で、「まっすぐ」だと考えられますから、球面上の「直線」だと考えてよいでしょう。
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