ガウス（1777-1855）とアインシュタイン（1879-1955）は数学者と物理学者であり、生きた時代にもまったく重なりがない、にもかかわらず、二人の豊かな発想と幅広い関心を知るとおそらく誰でも、彼らがとらえていたものの普遍性に気付かされ、そして心奪われる。ガウスが打ちたてた「曲面論」において使われた幾何学的諸概念は、幾人かの数学者の手を経て整備、一般化されたのだが、ちょうどそのころ特殊相対論を完成させたアインシュタインにとっては、彼が次のステップだと考えた「一般相対論」の論理的基盤として、うってつけのものだった。
ちょうど、ニュートンのにとっての「微分積分学」の役割を演じたのだが、その辺の様子を、二人が会い議論する機会がもしあったとしたら、しかも、ずっと若い頃に会う機会がもしあったとしたら、こんな会話をしながら理論をくみ上げていったのでは、と勝手に想像する中で紹介しようと思う。
${\bf ガウス}$ 気鋭の物理学者でいらっしゃるアインシュタインさんを、私の書斎へ迎えることができて大変光栄です。曲面に関する私の理論に興味をお持ちとのこと、嬉しく思います。
${\bf アインシュタイン}$ 少し一般化したいと考えている物理理論をかかえているのですが、その方向性はかなりはっきり把握できています、しかしその数学的な表現方法がもう一息つかみきれないのです。私の数学者の友人の一人が、ガウス先生の曲面論がヒントを与えてくれるかもしれない、と教えてくれました。お考えの一端でもお教え願えますと嬉しい限りです。
${\bf ガウス}$ お教えするというより、私の推論をアインシュタインさんの立場から批判検討していただけると、これ以上有り難いことはありません。私のことはカール（Carl）と呼んでください。
${\bf アインシュタイン}$ では私はアルバート（Albert）で結構です。
${\bf C}$ 平面上のユークリッド幾何学で最も基本的なものといえば、直線の概念だと思います。そこで、曲面の内最も簡単そうな球面を考え、そこでの「直線」を定めることができるかどうかを考察の出発点にしましょう。
${\bf A}$ なるほど！われわれが住むこの地球は、確かに凹凸はありますが、その半径 $6000$ キロに比べればほぼ無視できる程度です。よってほとんど球面だと考えれば、そこから得られる直観が何かの役に立つかもしれません。
${\bf C}$ 平面上での「直線」を特徴づける性質を挙げてみて、それによって地球表面上での「直線」が定義できないか考えてみるのが一つの方法かと思います。私が思うに、平面上の直線の際立った性質は「最短である」ことではないでしょうか、つまり机の面に２つのピンを立て、一方に結んだ糸を他方にひっかけ、たるみのない状態に引っ張るときにできる経路が、それら２点を結ぶ直線です。
${\bf A}$ カール、もう一つ、すぐ思いつく性質としては「まっすぐ」があります。これら二つの性質を球面上の図形に対しても考えることができて、それらが同じ図形を定めると分かれば、おそらくその図形を「直線」と定義していいのではないでしょうか。
${\bf C}$ アルバート、その通りだと思います。ではまず「最短」を問題にしましょう。例えばベルリンとニューヨークを結ぶ最短の経路は、ベルリンに端を固定したロープをニューヨークから引っ張り、地球表面に沿ってピンと張った状態を作れば得られます。
${\bf A}$ カール、これから先、「直線」を考える度ごとにロープを持ち出すのも大変です、もう少し数学的にスマートな言葉で、その最短経路を表現できないものでしょうか。
${\bf C}$ 今私の目の前に地球儀があるのですが、赤い線で描かれている赤道を利用すると直観が働きやすいように思います。赤道上の２点に押しピンを立て、一方に端を結びつけた糸を他方にかけて適当に一、二度引っ張ると、糸は赤道に沿って落ち着く傾向が見えます。すなわち赤道上の２点を結ぶ最短経路は、赤道に沿った道だと言えます。
${\bf A}$ 赤道は地球を真っ二つに切ってできる曲線です、従って「地球の中心を通る平面で地球の表面を切った切り口」です。
${\bf C}$ そういう切り口は「大円」と呼ばれています。球面を平面で切ってできる切り口はいつでも円ですが、その内で「最も半径の大きな円」という意味です。
${\bf A}$ カール、大円上の２点を結ぶ最短経路はその大円に沿う道だと分かったのですが、逆に、地球表面上の任意の２点、例えばベルリンとニューヨークを選ぶ時、それら２点を通る大円は存在するのでしょうか。
${\bf C}$ それは大丈夫です。ベルリンと地球の中心を通る直線を考えて下さい。その直線を含む平面をその直線を軸にして徐々に回転すれば、いつかニューヨークを通る平面を見つけることができます。その平面による地球表面の切り口は、ベルリンとニューヨークを通る大円です。
${\bf A}$ わかりました。以上で、球面上の２点を結ぶ最短経路は、それら２点を通る大円の一部だとわかったことになります。
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