${\bf K}$ 地上の人たちにとって $w$ の速さで運動する物体を、同じく速さ $v$ の列車に乗って追いかけるとき、列車の上の人たちにとっての物体の速さを求めてみます：物体は $t=0$ の瞬間に $x=0$ の駅長の位置を通過するとし、そのとき同時に、列車に乗る車掌も駅長の位置を通過するとします。そのとき車掌の時計は $t'=0$ を指していたとし、車掌は列車の床の巻き尺の $x'=0$ の位置にいるとします。
地上の人たちにとってその後 $t$ 秒が経過すると、物体は
$$x=wt$$の位置に到達します。その出来事は、列車の人たちにとっては
$$x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$の位置で、
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$の時刻 $t'$ に起きます。このとき、$x'/t'$ がその物体の速さであり、$x=wt$ を代入して計算してみると
\begin{equation} {{x'}\over {t'}}={{w-v}\over {1-(vw/c^2)}} \label{eq:xdashovertdas} \end{equation}となります。これが、常識的な $w-v$ に代わる、正しい式だと思われます。
君の予想通り、$w$ が $c$ に比して十分小さいと、$vw/c^2$ は $v$ の如何に関わらず、$1$ に比べて十分小さな値になります。よってそれを無視できる状況下では $w-v$ と見分けがつかないことになります。でも、$w$ が大きくなると状況が変わり、$w-v$ の値から外れることになります。たとえば $w$が光速の $80$ パーセント、つまり秒速 $24$ 万キロの大きさになると、
$${{w-v}\over {1-(vw/c^2)}}={{w-v}\over {1-0.8(v/c)}}$$ですが、この値は $v$ によっては $w-v$ からかなりずれます。たとえば $v=0.5c$ を代入してみると
$${{w-v}\over {1-0.8(v/c)}}={5\over 3}(w-v)$$という具合です。
特に $w$ が限りなく $c$ に近づくときの極限値は、$w=c$ を (\ref{eq:xdashovertdas}) に代入して
$${{w-v}\over {1-(vw/c^2)}}={{c-v}\over {1-(v/c)}}=c$$です。
$w < c$ であれば、その物体に追いつき（$w-v=0$）、追い越す（$w-v < 0$）ことのできる $v$ が存在するのですが、$w=c$ だと、つまり光を追いかける場合だと、いくら速い $v$ で追いかけようが、一秒間に $30$ 万キロずつ引き離されていくことになります。
${\bf O}$ $w=c$ の場合を特に考えてみます。同じスタート地点から出発して、秒速 $29$ 万キロで光と競争するとき、一秒後の $t=1$ では光の先端はスタート地点から $30$ 万キロの地点に、列車はスタート地点から $29$ 万キロの地点に、それぞれいるはずです。従ってその差はわずか一万キロです。二秒後の $t=2$ での差は二万キロ、それ以降同様です。しかしこれは地上で静止している人たちにとっての話です。実際に追いかける人にとっては、出発から一秒後には光は実に $30$ 万キロも先にあり、二秒後にはなんと $60$ 万キロ引き離されている、しかもこの状況は、いくら速い乗り物で追いかけても変わらない、というのが「光速度不変の原理」の言うところです。立場の相違から生じるこの差には、おそらく誰でもひどく戸惑うと思うのです。この戸惑いを何とかして解決したいのです。
${\bf K}$ 君のその戸惑いの背景には、「時間は一つ」というニュートン流の考え方がまだ影響しているように、私には思えます。満足してくれるかどうかわからないが、一つの説明を試みてみます：光は時刻 $t$ に
$$x=ct$$の地点を通過します。列車の上の人たちにとってのこの出来事の時刻 $t'$ は、ローレンツ変換を使って
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}={\sqrt{{1-(v/c)}\over {1+(v/c)}}}ct$$つまり
$$t'={\sqrt{{1-(v/c)}\over {1+(v/c)}}}t$$だとわかります。
たとえば $v=毎秒 29 万キロ$ で追いかける場合は
$$t'={\sqrt{1\over {59}}}t=0.13\times t$$となります。従って、地上の人たちにとって $1$ 秒が経過していても、列車の人たちにとってはわずか $0.13$ 秒しか経過していません。速さ $v$ を大きくして $c$ に近づければ近づけるほど $t'$ は限りなく $0$ に近づきます。外の世界での $t$ がたとえ $1$ であったとしても、$t'$ は非常に小さい場合があり得るのです。この点は、常に $t'=t$ であるニュートンの時間と、大いに異なります。$t'=1$ になるのは、
$$t={{100}\over {13}}=7.7 秒$$のときです。
$v$ が $c$ に近いと $t'$ は非常に小さくなることは、速さ $v$ で動く列車内の時計が $1$ 秒を刻む間に地上では
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} 秒$$の時間が流れるという、「時計の遅れ」の式を思い出すと、ある程度納得できると思います。この式に $v=c$ を代入すると $1/0=\infty $ となって、地上では無限の時間が流れること、逆に言えば、そのような速さで運動する時計の針は外の人にとっては止まって見えることを意味するからです。
$x=ct$ の地点を時刻 $t$ で光が通過する出来事は、列車の人たちにとって
$$x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}={\sqrt{{1-(v/c)}\over {1+(v/c)}}}ct=ct'$$で起きます。この $x'$ も、$v$ を $c$ に近づければ、当然短くなります。その短くなり方は、$t'$ と歩調を合わせる形で、光の速さがちょうど $c$ になるようになっています。
${\bf O}$ 以前、等式
$$(ct')^2-x'^2=(ct)^2-x^2$$が任意の出来事について成り立つことを、ローレンツ変換を使って証明しましたが、今問題にしていることはこの等式からもわかりますね：$x$ と $t$ によって指定される一つの出来事を、いろんな速さの列車から観測するときを考えましょう。その時々で異なる $x', t'$ が得られますが、小さい $x'$ に対しては小さな $t'$ が、大きな $x'$ に対しては大きな $t'$ が、それぞれ現れることを、上の等式は示しています。
ニュートンの時間では、$t'=t$ であり、位置 $x'$ は $t'$ とは無関係に、自由に大きくも小さくもできます。従って、位置と時間の増減が無関係であり得ないことは、相対論の新しい局面であると言えます。時空図を描いてみれば大体推測できますが、このことはローレンツ変換の片割れ
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$の中に、ニュートンの理論ではなかった $x$ に依存する項が現れていることに起因しているように思われます。従って、このことはまた、列車と地上の二つの立場を考えるとき、一方にとって同時に起きる出来事が、他方にとっては同時でなく、たくさんの異なる瞬間の中に分散して入り込む、という先に導いた結果にも関連していると考えられます。こう考えてみると、等式
$$(ct')^2-x'^2=(ct)^2-x^2$$の重要性が少しわかったような気がします。
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