${\bf K}$ 特殊相対論の中で「時計の遅れ」が論理的にどんな位置を占めているか、という点を考えてみます：任意に二つの出来事 $A, B$ をとり、$A$ の位置と時刻を列車の上の人たちにとって $x'=0, t'=0$、地上の人たちにとって $x=0, t=0$ だと仮定します。何度も繰り返しますが、この仮定は出来事 $A$ に対して何かの制約を課すものではありません。ただ単に物指と時計の目盛りを読み替えるだけの話です。
さて、出来事 $B$ については $x'=0$ を仮定します、つまり、$B$ は列車の上の人たちにとって $A$ と同じ場所で起きる出来事だと仮定します。このとき、地上の人たちにとっての $B$ の位置は、列車は動いていますから、当然 $A$ の位置とは異なります。
さて、$B$ の起きる時刻を、列車の上の人たちにとっては $t'$、地上の人たちにとっては $t$ とします。「時計の遅れ」によれば、$t'$ と $t$ は
$$t={{t'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$の関係で結ばれます。出来事 $B$ の起きる位置を $x$ と書けば $v=x/t$ です。よって上の等式から
$$(ct')^2=(ct)^2-x^2$$が得られます。
${\bf O}$ 何か意味深な式が現れた。非常にきれいな形であるだけに、どうしても一般化がしたくなる。$B$ を $x'=0$ の出来事に制限したために - 「時計の遅れ」を使うために必要な制限だった - この形になっただけで、$B$ が一般の出来事なら
\begin{equation} (ct')^2-x'^2=(ct)^2-x^2 \label{eq:fuhenasiki} \end{equation}が成り立つのではなかろうか、と思ってしまう。
${\bf K}$ ローレンツ変換
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 2mm x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$を左辺に代入することにより、確かに君の予想通り、勝手な $B$ に対して (\ref{eq:fuhenasiki}) 式が成り立つことがわかります。
この一般的な等式 (\ref{eq:fuhenasiki}) は、「時計の遅れ」から直接導くこともできます。ただし、出来事 $A$ を原点とする時空図において、原点を通る $+45$ 度の傾きの直線と、$-45$ 度の傾きの直線によって分けられる四つの領域の内、$ct$ 軸を含む二つの領域の中に $B$ が含まれると仮定します。この仮定のもとでは、適当な速さ $w$ で走る列車を考えることにより、$A$ も $B$ もその列車の原点 $x''=0$ で起きる出来事であるようにすることができます - 上記の領域についての制約は、光速以上の速さで走る列車が存在しないこと、つまり $\vert w\vert < c$ でなくてはいけないことから生じます - 。このとき、先とまったく同じ推論により
$$(ct'')^2=(ct)^2-x^2$$が導かれ、さらにまた、
$$(ct'')^2=(ct')^2-x'^2$$も導かれるはずです、よって (\ref{eq:fuhenasiki}) 式が成立することになります。
$B$ が上記の四つの領域の内、上下二つに含まれるという制約は
$$(ct)^2-x^2 > 0$$と書けます。ローレンツ変換を使うと、等式
$$(ct')^2-x'^2=(ct)^2-x^2$$が実はこの制約なしで成立することを証明できるというわけです。
この等式からは特に、$x=ct$ であれば、$x'=ct'$ でなくてはいけないことが導かれます。そのことは、地上の人たちにとって光が速さ $c$ で伝播するならば、列車の上の人たちにとってもその速さは $c$ であることを意味しています。つまり光速度不変の原理は「時計の遅れ」から得られると言ってよさそうです。これで君の疑問の一つが晴れたのではないでしょうか。
${\bf O}$ 上の推論の副産物ですが、ローレンツ変換について、『二次形式
$$(ct)^2-x^2$$の値を変えない』ことが重要な点だと気づかされました。
${\bf K}$ たとえば平面に直交座標を設定し、各点の座標を $(x, y)$ で表すとします。そのとき、二次形式 $x^2+y^2$ は原点からその点までの距離を表しますが、原点を中心とする回転によって不変です。つまり、回転によって $(x, y)$ の移る先を $(x', y')$ で表すなら、
$$x'^2+y'^2=x^2+y^2$$が成立します。
この類似から想像力をたくましくするなら、二次形式
$$(ct)^2-x^2$$は時空図における距離という意味合いで「時空距離」とでも表現すべきものであり、ローレンツ変換はその距離を不変にする変換という意味で、平面の回転に対応する変換だと言える。おそらくこの距離の重要性は後に明らかになるでしょう。
${\bf O}$ もう一つ疑問があります：もし地上を速さ $w$ で走る物体を速さ $v$ の列車で追いかけるなら、列車に固定された巻き尺と時計で測るとき
$$w-v$$の速さで走る物体が観測される、というのが常識的な考え方です。この物体として光を含めていけない理由はなく、よって光の速さが列車の人たちにとっては
$$c-v$$となって光速度不変の原理に反します。つまりこの常識は修正しなくてはいけない。
おそらく、速さ $w$ の物体を速さ $v$ で追いかけるときの $w-v$ に代わる真の式があると考えられます。その式の値は、$w$ が $c$ と比べて十分遅いときには近似的に $w-v$ に等しい、しかし $w$ が $c$ に 近づくにつれて $w-v$ から徐々に離れ、$w\rightarrow c$ の極限では - $v$ の如何にかかわらず - $c$ に一致するだろう、と推測できます。次はその式を知りたいのです。
光の速さが誰にとっても同じであるという原理は、式を通して説得されると承知せざるを得ない。しかし、直観的には承服しがたい。おそらく、それを可能にしている時空の仕組みがもう一息、自分にはわかっていないことがその原因だと思われます。$w-v$ に代わる正しい表式がわかれば、少しはヒントになるかもしれません。
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