${\bf K}$ 次のステップに進む前に、ここまでの結果をまとめて、同時に四次元時空間に拡張しておきます。空間は三次元である、と言うときそれは次のことを意味します：ある点 $O$ で互いに直交する三本の数直線を考え、それぞれ $x, y, z$ 軸と呼ぶ。任意の点 $P$ に対し、$y, z$ 軸を含む平面に平行で $P$ を通る平面が $x$ 軸を切る点の値を $x$ とする。$y$ については $z, x$ 軸を含む平面、$z$ については $x, y$ 軸を含む平面に関し同じ手続きで $y, z$ の値を決める。こうして得られる数字の組 $(x, y, z)$ を点 $P$ の「座標」と呼ぶ。$x, y, z$ 軸の総体を「座標系」と呼ぶのだが、平面の場合には座標系としては二つの軸 $x, y$ 軸で足りて、直線の場合には一つの軸だけで足りる。座標が三つの数の組から成るときを三次元、二つ、あるいは一つのときをそれぞれ二次元、一次元と言う。
さて、この空間で起きるすべての出来事を考えてみます。これまでの議論では地面に設置されたまっすぐなレールを考え、そのレールに沿って起きる出来事だけを考えてきたのですが、その制約を取り除いてすべての出来事について考えようというのです。レールのそばでの出来事については、レールに沿って張られた物指（数直線）によってその出来事の起きた位置 $x$ を、レールに沿って地面に固定された時計によってその出来事の起きた時刻 $t$ を、それぞれ決めました、そうして得られる数字の組 $(t, x)$ がその出来事の座標と言うべきものです。この場合、座標系はレールの脇の物指と、レールに沿って配置された一群の時計です。
空間全体で起きる出来事について考える際には、従って、地面 - ここでは平らだと考えていますが - に張られた直交する二本の物指と、それらが交わる点で垂直に立てられた長い物指を必要とします。それら三つの軸が空間での $x, y, z$ 軸の役割を担い、更に空間の各点に固定された一群の時計が出来事の起きた時刻 $t$ を決めます。このとき、一つ一つの時計は互いに静止の状態にあり、更に三本の物指との位置関係もしっかり固定されているというのが、大事な前提条件でした。こうして決まる四つの数字の組 $(t, x, y, z)$ がその出来事の座標であり、それを決めるために使う三本の物指と時計の総体が座標系です。
各出来事の座標が四つの数字の組で表されることをもってして、出来事の全体 - 今後「時空」とも呼び、各出来事を「時空点」と言いますが）は四次元であると言います。「四次元」という言葉は、ときには何か怪しげな意味に取られかねない言葉ですが、数学や物理でこれ以上の意味を持つことはありません。
物指や時計を固定する剛体としては地面だけでなく、まっすぐに一定の速さで走る列車も考えられます。列車の床に物指を固定し、更に二本の物指を、それぞれ直交する方向に、たとえば水平と垂直というように、固定します。更にまた、それら物指に対し静止の状態にあるように、空間全体に広がって固定した一群の時計も必要です。列車の乗客にとってはこれら物指と時計が座標系です。現実にこのような設定を実現することは不可能に近いことですが、こういう設定のもとで推論を進めていることを忘れてはいけません。
等速直線運動する任意の座標系から光の速さを測ると、光源の運動状態によらず一定値、一秒間に $30$ 万キロが得られる、というのが「光速度不変の原理」です。互いに等速直線運動する二つの座標系が与えられると、各時空点には二つの座標
$$(t, x, y, z), \hskip 5mm (t', x', y', z')$$が対応することになりますが、当然 - 同一の時空点に対する座標ですから - それらの間には関連があるはずです。$t', x', y', z'$ はそれぞれ $t, x, y, z$ によって表されるはずなのです。光速度不変の原理が成り立つという条件を使って、その関連を特定したのがローレンツ変換です：
時空点 $A$ を出発した光が時空点 $B$ に到達したとして、ある座標系から見て $A$ の座標が $(t, x, y, z)$、$B$ の座標が
$$(t+\Delta t, x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z)$$であったとすれば、光の速さは
$${{\sqrt {\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}}\over {\Delta t}}$$です。この座標系に対し等速直線運動する別の座標系から見ての $A$ と $B$ の座標がそれぞれ
$$(t', x', y', z'), (t'+\Delta t', x'+\Delta x', y'+\Delta y', z'+\Delta z')$$だとすると、この座標系にとっての光の速さは
$${{\sqrt {\Delta x'^2+\Delta y'^2+\Delta z'^2}}\over {\Delta t'}}$$です。従って光速度不変の原理によれば、
$$(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2=0$$から
$$(c\Delta t')^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2=0$$が従う必要があります。
二つの任意の時空点にたいし、上のようにして得られる
$$\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z$$と
$$\Delta t', \Delta x', \Delta y', \Delta z'$$が
$$(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2=(c\Delta t')^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2$$を満たすように、決められたのがローレンツ変換です。
先に挙げた例では、互いに等速直線運動する座標系として、地面の上に組み立てられた座標系と、その $x$ 軸方向に速さ $v$ で走る列車の上に組み立てられた座標系を考えました。列車の座標系の $x'$ 軸の方向を $x$ 軸の方向と一致させるとき、それらの間のローレンツ変換は
$$t'={{t-(v/c^2)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 3mm x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 3mm y'=y, \hskip 3mm z'=z$$です。
この、地面と列車の例は、いかにも特殊な例のように思えますが、よく考えてみるとローレンツ変換の本質的な面はこれで言い尽くされていることがわかります：互いに等速直線運動する二つの座標系を考え、$S$ 系と $S'$ 系と呼びます。それぞれによって決まる時空点の座標を $(t, x, y, z)$ と $(t', x', y', z')$ とします。$S$ 系にとって $S'$ 系は速度ベクトル ${\bf v}$ でもって運動しているとします。このとき、$x, y, z$ 軸を適当に回転して、$x$ 軸の方向を ${\bf v}$ の方向に合わせます。$S'$ 系でも、$x', y', z'$ 軸を適当に回転して $x'$ 軸の方向を $x$ 軸の方向へ合わせることができるはずです。すると新たにできる二つの座標系は、これまで地面と列車の上に組み立ててきた座標系の例と同じになります。
回転前の座標系と回転後の座標系による座標の間の変換には難しいことは一切ありません：まず時間座標については変化なしです。また、たとえば、$z$ 軸の周りに角度 $\theta $ だけ $x, y$ 軸を回転して新しい軸を作る場合、回転前の座標系による座標が $(t, x, y, z)$ である時空点の、回転後の座標系による座標は
$$(t, x\cos \theta +y\sin \theta , -x\sin \theta +y\cos \theta , z)$$です。実は、$x, y, z$ 軸の任意の回転は、原点 $O$ を通る直線の周りでの回転を、せいぜい三回繰り返すことによって得られます。従って、ローレンツ変換の特徴は、地面と列車の例で本質的には表現されていることになります。
これまでは地面と列車を例として表現してきましたが、互いに等速直線運動する二つの座標系は、諸々の物理現象を観測する立場としてまったく対等な関係にあります。ここで対等な関係とは、どの座標系もまわりで起きる現象の起き具合から他の座標系との違いを見いだすことはない、という意味です。言いかえれば、物理法則 - つまり物体の位置や状態、もっと広くは物理的な何らかの状況が、時間の経過とともにどう変化するかを記述する規則 - が同じ形をすると言う意味です。たとえば地面近くでの物体の落下について、それを地面から見ても列車から見ても、いつでも鉛直方向の加速度が一定であり、水平方向への加速度は $0$ であることが観測されます。このような落体の法則に限らず、すべての物理法則が同じ形をしているという要請を「相対性原理」と呼びます。
この原理が新たな物理法則を発見するための指導原理として役立つことを、ニュートン力学を修正したアインシュタインの手法を通して紹介しました：ニュートンの力学法則『質量×加速度が力に等しい』という関係式は、ローレンツ変換を通して別の座標系に移してみると形が変わってしまいます。
物体が一瞬静止して見える座標系では、その一瞬だけはニュートン力学が成立すると仮定し、他の任意の座標系に対する拡張は、固有時の概念を用いることにより、相対性原理を満たすようできることがわかりました。新し力学法則は
$$E=mc^2$$などの著しい結果を含んでいたのです。
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