${\bf K}$ 新しい運動方程式を得たのですが
$$p^0=m{{d(ct)}\over {d\tau }}, \hskip 5mm p^1=m{{dx}\over {d\tau }}$$と置きます。以前導いた「時計の遅れ」によれば
$$\Delta t={{\Delta \tau }\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}+(\Delta \tau の二乗以上の項)$$が成り立ちます。ここで $\Delta t$ は、固有時 $\tau $ が 時刻 $\tau $ から $\tau +\Delta \tau $ まで進む間に地上の人たちにとって経過する時間間隔です。$v$ は
$$v={{dx}\over {dt}}(t)$$です。ここで $t=t(\tau )$ ですが、$v$ は地上の人たちにとっての時刻 $t$ での物体の速度を表します（これまでは $v$ はもっぱら等速で運動する列車の速度を表すために使ってきましたが、以下では任意の物体の速度を表すときにも使います）。従って
$${{dt}\over {d\tau }}={1\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$です。よって
$$p^0={{mc}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$です。また
$$p^1=m{{dx}\over {d\tau}}={{mv}\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$です。
これら $p^0, p^1$ で運動方程式を表すと
$${d\over {d\tau }}p^0=F^0, \hskip 5mm {d\over {d\tau }}p^1=F^1$$ですが、ニュートン力学との関連を見いだすために微分の変数を $\tau $ から $t$ へ置き直してみると
\begin{equation} {d\over {dt}}p^0={\sqrt{1-\left( {v\over c}\right) ^2}}F^0, \hskip 5mm {d\over {dt}}p^1={\sqrt{1-\left( {v\over c}\right) ^2}}F^1 \label{eq:ddtp0ddtp1} \end{equation}となります。
ところで、以前注意したことですが、任意の $\tau $ に対して
$$F^0(\tau )={{v/c}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}F', \hskip 5mm F^1(\tau )={1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}F'$$という関係がありました。$F'$ は速度
$$v={{dx}\over {dt}}(t), \hskip 5mm t=t(\tau )$$で等速運動する列車の人たちにとって $t'(\tau )$ の瞬間に物体に働く力を表します。この関係式から
$$F^0(\tau )={v\over c}F^1(\tau )$$だとわかります。
よって (\ref{eq:ddtp0ddtp1}) 式は
$${d\over {dt}}(cp^0)={\sqrt{1-\left( {v\over c}\right) ^2}}vF^1, \hskip 5mm {d\over {dt}}p^1={\sqrt{1-\left( {v\over c}\right) ^2}}F^1$$ですが、ここで
$$K={\sqrt{1-\left( {v\over c}\right) ^2}}F^1$$と置けば
$${d\over {dt}}(cp^0)=vK, \hskip 5mm {d\over {dt}}p^1=K$$と書き直すことができます。
ここで、$p^1$ を物体の運動量とみれば、$K$ はニュートン力学における力と解釈できて、更に
$$vK=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{{\Delta x\times K}\over {\Delta t}}$$は単位時間中に力 $K$ によって物体に与えられる仕事、という解釈ができることに気付きます。
この解釈から更に面白い結論が引き出されます：質量 $\times $ 速度である運動量が
$$p^1={{mv}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$なのですから、『運動する物体の質量（つまり慣性の大小）は、速度によって変化し
$${m\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$に増加する』と考えねばならないことになります（従ってここでの $m$ は静止質量と呼ぶべきものです）。この結論によれば、$v$ が $c$ に近づくにつれて慣性は限りなく増加し、よって光速もしくはそれ以上の速さには決して到達できないことになります。これまでは ${\sqrt{1-(v/c)^2}}$ の根号の中身が負になるから、という幾分数学的な根拠に頼ってきたことの、物理的な根拠を見いだしたと言えるのです。
また等式
$${d\over {dt}}(cp^0)=vK$$は
$$cp^0={{mc^2}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$の時間的変化率が、力 $K$ による単位時間に注入されるエネルギーに等しいことを示しています。従って
$$cp^0=(物体の持つエネルギー) + 定数$$が成り立つことになりますが、アインシュタインはこの定数を $0$ だと考えました。よって
\begin{equation} W={{mc^2}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} \label{eq:zenenerugi} \end{equation}と置くと $W$ が物体の全エネルギーを表すことになります。アインシュタインのこの判断が正しいかどうかは実験によって決まることですが、現在では十分な裏付けが得られています。
$x=0$ の周りでのテイラー展開
$${1\over {\sqrt{1-x}}}=1+{1\over 2}x+{3\over 4}x^2+\cdots $$を使うと、$v$ が $c$ に比して十分小さい場合
$$W={{mc^2}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}=mc^2+{1\over 2}mv^2+\cdots $$が成り立つことがわかります。右辺の第二項目はニュートン力学における運動エネルギーであり、従ってこの等式は、ニュートン力学とアインシュタインが新しく到達した相対論的力学との関係を、象徴的に表しています。
ここで少し話がそれますが、『速度 $v$ で運動する物体の質量は、その静止質量を $m$ とすると
$${m\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$に増加する』ことの理解を助ける、少なくともそういうこともあり得ると思える、一つの思考実験を紹介しておきます：あなたに双子の兄弟がいるとします、体の大きさや作りも同じで、各部分の大きさ、質量、全て全く同じだとします。ただ仲が極めて悪く、顔を合わせば必ず相手の顔面めがけてパンチを繰り出す癖があるとします。
二人の体の作りは同じですから、もし家の中で戦ったとすると、あなた方二人、及び家人にとって双方のパンチの速さは同じです。これを $w\ {\rm m\cdot s^{-1}}$ で表します。また二人のこぶしの質量を $m\ {\rm kg}$ で表すと、二つのパンチの勢い（運動量）は共に
$$mw\ {\rm kg\cdot m\cdot s^{-1}}$$であって全く同じになり、二人が繰り出すパンチはぶつかった瞬間にそこで止まってしまい、一方が他方を押しもどすことは決してないはずです。これからの議論の性格上、強調しておくべきことだと思いますが、この $m$ の値は静止質量、つまり二人のこぶしが静止して見える観測者に取っての慣性を表す質量です。
さて二人は、互いに反対方向に走る列車に乗っていて、ある時すれ違うとしましょう。もちろんその時にも、すれ違いざまに相手に向かってパンチを繰り出そうと身構えています。パンチを繰り出す方向は列車の運動方向、すなわち線路の方向と直角の方向とします。
さて、『自分に対して動いている乗り物の中の時計が１秒を刻む間に、自分の時計は１秒以上を刻む』ことを、あなたは既に知っています。相手がする動作は全て、あなたから見るとゆっくりになるのです。
よって、相手の列車がやってくるのを待つあなたは、次のように考えてニヤニヤするはずです：『こちらに取ってはあいつの列車の中での時間はゆっくり進む。こちらの時計が１秒を刻む間にあいつの時計は１秒以下の時間しか刻まない。従って俺のパンチが $w\ {\rm m}$ 進む間に、あいつのパンチはそれ以下の距離しか突き出てこない。すなわちあいつのパンチの速さは、俺に取っては家の中での速さよりゆっくりのはずだ。こぶしの質量は自分とあいつとでは同じなのだから、パンチの運動量は自分の方が大きくなる。今日こそあいつを打ち負かせるぞ！』と。
ところが一方、あなたの兄弟が「時計の遅れ」について知っている人なら、全く同じことを考えるはずです。地上の人たちにとって二人の乗った列車が逆向きに同じ速さで動いているとするなら、二人の立場が全く対称的である事は明らかでしょう。よって実際に二人がすれ違い、パンチを繰り出したときに何が起きるか。答えは明瞭でしょう。やはり今日も引き分けなのです。二人にとって全く対称な状況下で非対称な結果が生じるわけがないからです。
引き分けになって悔しがりながら、あなたは次のように考えて頭をひねるはずです：『確かにあいつのパンチは家でよりもゆっくり突き出てきた。すなわち、確かにパンチの速度は自分のパンチのそれよりも遅かった。パンチの運動量は自分のは $mw$ で、あいつのは
$$m\times (w より小さな速度)$$となり、自分の方が大きいはずだ。なのに何故打ち負かせなかったのだ』と。
あなたが兄弟を打ち負かせないことは確実なのですから、あなたにとって目の前に繰り出されてきた相手のパンチの運動量は、自分のパンチのそれと同じであったと考える以外にありません。すなわち相手のこぶしのあなたにとっての質量が増えて、その結果
$$(増えた慣性質量)\times (w より小さな速度)=mw$$となったと考えざるを得ないのです。
どのくらい増えるかを計算してみましょう：一方から見て相手の列車の速度が $v$ であったとすると、相手の時計が１秒を刻む間に自分の列車の中の時間は
$$1/{\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}$$秒を刻みます。よって相手の時計が
$${\sqrt {1-\left( {v\over c}\right) ^2}}$$を刻む間に自分の列車内では $1$ 秒が経過し、その間に相手のパンチは
$$w\times {\sqrt {1-(v/c)^2}} {\rm m}$$しか突き出てこない事になります。すなわち相手のパンチの速さは
$$(w より小さな速さ)=w\times {\sqrt {1-(v/c)^2}}$$なのです。
よって
$$(増えた慣性質量)\times (w より小さな速度)=mw$$から
$$増えた質量={{mw}\over {w\times {\sqrt {1-(v/c)^2}}}}={m\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$となります。すなわち、速度 $v$ で運動する兄弟のこぶしの質量は、あなたにとってこのように増加するのです。
動いている物体の慣性質量が増すことは、ある大きさの加速をその物体に与える為には、動いているときの方が止まっているときより大きな力を必要とすることを意味します。直観的に言うならば、『物体を手で後ろから押して徐々に加速してゆくと、速くなればなるほど手に感じるずっしり感が増す』と言うことです。$v=c$ で無限大になりますから、よって物体に力を加えて加速するとしても、光速、もしくはそれ以上にはできない、ことになります。
${\bf O}$ 少し気になったのですが、私にとって兄弟のこぶしは $x$ 方向に $v$ で運動すると同時に、それと直角方向に $w$ でも運動しています。従って、質量の増加があるとすると $v$ だけではなく $w$ の影響もあると思えるのですが。
${\bf K}$ 確かにその点がこの思考実験から出せる計算結果の弱い点です。ただ、勝負がつかないこと、そして、相手のこぶしの速さがあなたにとって遅いこと、よって相手のこぶしの質量が増加すると考えざるを得ないこと、これらにつては間違いないと思えるはずです。
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