${\bf K}$ 列車の上の人と、地上の人の二つの立場を考えるとき、一方にとって一秒が経過するなら、他方にとっても一秒が経過するか？という問題を考えてみましょう：『一秒が経過する』と言っても、正確には『何かと何かの出来事の間に一秒が経過する』と言うべきでしょう。そこで、二つの出来事 $A, B$ を任意にとって、その間に経過する時間について考えます。簡単の為に、一方の出来事 $A$ は車掌と駅長がすれ違うとき、そのすれ違う場所で起きるとします。念のために言い添えますが、この仮定は $A$ について何かの制約を課すものではありません。その出来事の起きる場所が $x'=x=0$ であるように、時刻が $t'=t=0$ であるように、巻き尺と時計の目盛りを書き換えればいいだけの話です。もちろん、列車は前後に十分に長いとします。
出来事 $B$ が、列車の上の人たちにとっては位置 $x'$ で、時刻 $t'$ に起き、地上の人たちにとっては位置 $x$ で、時刻 $t$ に起きたとします。このとき、$A, B$ 間に経過した時間は、一方にとっては $t'$ であり他方にとっては $t$ ですが、それらの間の関係は $x', t'$ から $x, t$ へのローレンツ変換の後半
$$ct={{ct'+(v/c)x'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$が教えてくれます。$t$ が $t'$ のみならず $x'$ にも依存するために、$t$ と $t'$ は直接には結びつきません、しかし $x'=0$ である出来事、つまり車掌の位置で起きる出来事に $B$ を限定するのなら
$$t={{t'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$が得られます。このことは、列車の中でじっとしている人の持つ時計が $1$ 秒を刻む間に、地上の人たちにとっては
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} 秒$$が経過することを意味しています。
${\bf O}$ またしても ${\sqrt {1-(v/c)^2}}$ ですか。空間的な長さの場合は分子に現れたのが、今度は分母に出てきた。この根号の値は $1$ より小さい、従って全体は $1$ 秒より長い時間を表していることになります。つまり、『列車の乗客にとって $1$ 秒が経過する間に、地上の人たちにとっては $1$ 秒より長い時間が経過する』ことになりますね。言いかえれば、『列車に積み込まれている時計の進みは、地上の人たちにとってはゆっくりしている』とも言える。
${\bf K}$ その言い方だと少し誤解を生みやすいように思います。というのは、一方から他方を見てゆっくりしているのであれば、立場を逆転して見る方向を変えると、今度は『速く進む』と結論しがちだからです。でもそんなことは、列車と地面が基準体として対等であることを考えるなら、あり得ないことです。どちらから見ても、必ず相手方がゆっくりしているはずなのです。
念のために列車の上で固定された時計の代わりに、地上の時計、たとえば駅長の持つ時計を考えてみます。今度は、出来事 $B$ の位置 $x$ を $x=0$ に定めることになります。するとローレンツ変換
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$によって
$$t'={t\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$が得られることになり、駅長の時計が $1$ 秒を刻む間に列車の上の人たちにとっては $1$ 秒より長い時間
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$が経過することになります。
${\bf O}$ どちらから見ても相手方の時計の進みがゆっくりしている、というのは数式の上では理解できますが、感覚的にはストンと落ちてこないものがあります。
${\bf K}$ 車掌の時計の進み方を地上の人たちが観測するときどんな観測をするかを考えてみれば、そのもやもや感は解けます：出来事 $B$ は『車掌の時計の針が一秒の時刻を指す』を意味すると考えられますが、その出来事が起きる位置 $x$ は
$$x={{x'+vt'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}={v\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$であって、もはや、当然のことですが、駅長の位置ではありません。この位置に居た人を「田中さん」と呼びます。すると、目の前で起きる出来事 $B$ を田中さんは目撃するのですが、そのとき田中さんの時計が指している時刻が
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} 秒$$です。
駅長が時刻 $0$ を指す車掌の時計を目撃し、そのとき駅長の時計も時刻 $0$ を指している、その後、時刻 $1$ 秒を指す車掌の時計を目撃する田中さんが居て、そのとき田中さんの時計が指している時刻は $1$ 秒ではなく、たとえば $1.3$ 秒というような時刻なのです。地上の人たちにとって車掌の時計がゆっくり進む、とはこの意味です。
${\bf O}$ 確認させて下さい、では、車掌が窓の外を次から次へと通り過ぎていく地上の時計を目で追うとき、それらの時計の針の進み方は、自分の時計のそれより速いと判断することになりますね。
${\bf K}$ いかにも！
${\bf O}$ 今私が言った『速く進む』も正しいのであれば、相対論では何故、『ゆっくり進む』という事実だけが強調されるのですか。
${\bf K}$ どちらの事実がより重要かということではないかと思います：何らかの物質の時間的な変化の仕方に興味があるとしましょう。たとえば、放射性物質の自発的な崩壊とか、化学反応の進み方とか、あるいは人の老化のスピードとかについてです。そのとき、その物質をたくさんずらりと並べて、それらの変化の様子を移動しながら順番に見るという立場と、その物質の一つに着目して、その変化の様子を見る立場とでは、おそらく後者の方が重要です。しかも、その運動状態によって変化の仕方が変わるということであれば、尚更です。
${\bf O}$ ちょっと待ってください。時計の進み方を問題にしてきたのに、急に物質の変化が入り込んできましたね。どうつながるのですか。
${\bf K}$ 以前、子どものころの遠足バスの中での経験をもとに説明した「相対性原理」があるからです：『等速直線運動する列車や飛行機に乗っている人が、それぞれを基準にしてまわりの物理現象を観測するとき、地面に静止して見るときと同じ推移をする』という原理です。この原理によれば、列車の中の人たちは、車内で起きる物理現象を見ている限り、自分の乗り物が動いているのか止まっているのかを判断できません。それらの現象には、積み込まれている時計の進み方も、物質の変化の仕方も含まれます。従って、もし地上でその物質がある状態から別のある状態へ変化するのに一分がかかるのであれば、動く列車の中でも一分がかかることになります。その変化が $30$ 秒で完了するようなことをもし目にすれば、乗客たちはそれだけで自分たちの乗り物の異変を察知できることになります。それは相対性原理に反します。
つまり、時計がゆっくり進むのであれば、すべての現象がゆっくり進展する、特に物質の化学的変化なども、同じ調子でゆっくり進むことになるのです。
宇宙から大気圏内へ降りそそいでいる宇宙線によって作られる物質の中に、ミュー粒子と呼ばれる粒子があります。地上から約 $10$ キロメートルの高さで、ある物理過程によって生み出されるのですが、静止状態に置くと大体百万分の一秒、$10^{-6}$ 秒で他の粒子に崩壊してしまいます。従って、宇宙線によって生み出されたミュー粒子が、もし静止状態と同じ速さで崩壊してしまうのであれば、たとえ光の速さで走ったとしても、$300$ メートル程度で消えてしまうことになり、地上まで到達することはあり得ません。しかし現実には、地上まで届くたくさんのミュー粒子が観測されるのです。これは、運動することによって崩壊のテンポがゆっくりになったことを示している、と考えるのが自然でしょう。
${\bf O}$ 『時計がゆっくり進む』のは単に『時計が故障した』ことを示すのではないか？と質問したかったのですが、それだけの証拠があるということなら、時計だけの「故障」では片付きそうにないですね。
${\bf K}$ 具体的な $v$ について少し計算をしてみます：光速に比べて遅い $v$ については、たとえば新幹線の速さの
$$時速 300 キロ=秒速 0.1 キロ$$程度だと
$${v\over c}=3\times 10^{-7}$$であり
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$の値はほとんど $1$ であって、従って、「時計の遅れ」がわれわれの五感に直接かかることはまったくないと言えます。
では、$v$ が $c$ に近い値、たとえば
$$v=0.8\times c=秒速 24 万キロ$$だとどうなるかというと、
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}={1\over {\sqrt{1-(4/5)^2}}}={5\over 3}$$つまり、この速さで走る列車の時計が $1$ 秒を刻む間に、地上の時計は $1.7$ 秒を刻むことになります。これなら五感にもかかるはずです。たとえばこの速さで飛ぶ宇宙船に乗って $50$ 年を宇宙旅行で過ごした人が地球に帰還してみると、地球では $85$ 年の時が流れ、親兄弟も皆亡くなっている、でも自分の時計は $50$ 年の歳月しか刻んでなくて、老化もその程度のものでまだ若々しい、という経験をする。 いわゆる「浦島太郎」の経験とそっくり同じです - ただし、玉手箱はもちろんない、帰還後の歳の取り方は他の人と同じ - 。
もっと速い場合として
$$v=0.99995\times c=秒速 29万9985 キロ$$つまり光速に毎秒 $15$ キロだけ足りない速さだと
$${1\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}=10^2$$となります。従って、この速さで飛ぶ物体にとっての、たとえば百万分の一秒の間に、地上では
$$10^{-6}\times 10^2=10^{-4}$$の時間が経過することになり、よって、その間にこの物体はおおよそ
$$v\times 10^{-4}=c\times 10^{-4}=3\times 10 {\rm km}$$を移動できることになります。先に紹介したミュー粒子も、このような高速でもし飛ぶのであれば、容易に、地表面近くまで崩壊せずに達することができるのです。
${\bf O}$ 『時計がゆっくり進む』というのは、一つの時計の進み方をたくさんの人が観測する結果であることを忘れないようにします。それはいいとして、お互いに相手の時計がゆっくり進むと観測される、そのことを可能にしている「からくり」があるはずで、それをもう少し掘り下げて理解したいのですが。
${\bf K}$ 先に登場願った田中さんにもう一度参加してもらいましょう：車掌の時計が時刻 $1$ 秒を刻むことを目の前で目撃する田中さんの時計は、たとえば $1.3$ 秒というような $1$ 秒を超える時刻を指しています。それ故、駅長や田中さんを含めた地上の人たちは、『車掌の時計はゆっくり進む』と判断する、ここまでは既に了解済みとします。
さて、駅長の時計が $1.3$ 秒の時刻を指すという出来事は、地上の人たちにとっては、田中さんの時計が $1.3$ 秒を指す出来事と同時であり、よって『車掌の時計が $1$ 秒を指す』出来事とも同時です。このときもし、これら二つが列車の上の人たちにとっても同時であるならば、彼らにとって駅長の時計が $1.3$ 秒の時間を刻む間に自分たちの時計は $1$ 秒しか刻まないことになり、『駅長の時計は速く進む』と結論することになります。しかし実は、これら二つは列車の人たちにとっては同時の出来事ではなく、駅長の時計が $1.3$ 秒の時刻を指す出来事は彼らにとっては、たとえば $t'=1.7$ 秒の時刻に起きるということです。
こう考えると、車掌と駅長の異なる二地点で起きる出来事が、地上の人たちにとって同時であったとしても、列車の上の人たちにとっては同時でないことが、君の知りたい「からくり」と言えそうです。
${\bf O}$ 少しは理解できたように思いますが、ただ、疑問は次々に湧いてきます：理論全体のまとまり具合、あるいはひろがりについての疑問なのですが、「光速度不変の原理」からローレンツ変換が導かれること、ローレンツ変換から『動く物体は進行方向に縮む』、あるいは『動く時計はゆっくり進む』が導かれることを、ここまで考えてきたように思います。ここで、逆は言えるのでしょうか、つまり、物体が短くなったり、時計が遅れたりすることを仮定すれば、そこから光速度不変の原理の成立を証明できるのでしょうか。
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