${\bf O}$ すべての基準体でニュートンの運動法則を仮定することと、相対性原理とは両立しないということですが、でもだからと言って、ニュートンの法則を一切合財捨ててしまうことには、おそらく誰も賛成しないと思います。われわれの経験ではニュートン力学はよく成立しています、そのことを無視するのでは、実のある理論は見い出せないでしょう。
${\bf K}$ われわれが日常生活で経験する物体の運動は、光速 $c$ と比べて十分ゆっくりなものに限られます。君が言う『ニュートン力学が良く成立している』範囲は、そうした運動に限定されると考えてはどうでしょうか。
${\bf O}$ そのような運動しか考えないということですか。でもそれでは面白みがない。任意の速さで運動する物体に対する運動法則を見いだすことが、われわれの目論見だったはずです。
${\bf K}$ その通りです、ですから次の方法をとりましょう：物体がどんなに速く動いていても、それと並行して同じ速さで走る列車から見れば止まって見えるはずです。複線を走る電車に乗って、隣りを走る電車がすっかり止まって見える経験をするときがありますが、あの状況です。ただ、基準体としては等速直線運動する列車を考えているのに対し、ここで考えている物体は急激に加速したり、あるいは運動の向きを変えたりします。従って基準体としての列車で終始同じ速さで並走することはできません。
ただ、ある一瞬でよければ、その瞬間は物体が静止して見える基準体が存在するはずです。つまり、$t=t_0$ の任意の瞬間を考えるなら
$${{dx}\over {dt}}(t_0)=v$$と置き、一定速度 $v$ で走る列車を考えればよいのです。その瞬間が列車の上の人たちにとって $t'=t'_0$ の瞬間であったとすると、$t'_0$ の極々近くではニュートンの法則が非常に良い近似で成り立ち、$t'=t'_0$ においては厳密な意味で成り立つ、と考えることは自然でしょう。よって、$t'=t'_0$ の瞬間においてニュートンの方程式
\begin{equation} m{{d^2x'}\over {dt'^2}}(t'_0)=F' \label{eq:md2xdash} \end{equation}を仮定します。$F'$ はこの列車の人たちにとって $t'=t'_0$ の瞬間に物体に働く力です。
次の問題はこれを - 物体の運動が必ずしもゆっくりとは見えない - 地上の人たちにとっての $x, t$ に関する方程式に書き直すことです：ガリレイ変換では $t'=t$ であるために、方程式の書き直しが簡単でした、しかしローレンツ変換では $t'$ が $t$ のみならず $x$ にも依存するために、$t'$ による微分の書き直しが複雑なものになりました。よって、$t'$ による微分を、ローレンツ変換のもとで不変なパラメーターによる微分に、もし置き直すことができれば、状況が変わる可能性があります。
そこで「固有時」と呼ばれる新たな概念を導入します：物体と一緒に運動する時計の読みを、その物体の「固有時」と呼びます。つまり、時計を物体に括り付けて、その読みを考えるということです。以下では固有時の読みを $\tau $ （ギリシャ文字、タウ）で表しますが、$\tau $ は物体そのものに結び付いた量であり、よってローレンツ変換に関しても変化しません。$\tau $ の始点を適当に決めれば、$\tau $ の値によって物体の時空図の上でのありかを指定することができます。つまり、$x$ や $t$、あるいは $x'$ や $t'$ は $\tau $ によって決まる、$\tau $ の関数であると言えるのです。
そこで先に導いた等式
$$m{{d^2x'}\over {dt'^2}}(t'_0)=F'$$の $t'$ に関する微分を $\tau $ に関する微分にすりかえることができないかを考えます：「時計の遅れ」によれば、
$$\Delta t'={{\Delta \tau }\over {\sqrt{1-(dx'/dt')^2/c^2}}}+(\Delta \tau の二次以上の項)$$が成り立ちます。但し $\Delta t'$ は、この時計が $\Delta \tau $ の時間を刻む間に列車の人たちにとって経過する時間を表すとします。最後の誤差は、物体が必ずしも等速直線運動をするとは限らないために生じる誤差です。
この等式から
\begin{equation} {{dt'}\over {d\tau }}={1\over {\sqrt{1-(dx'/dt')^2/c^2}}} \label{eq:dtdadtausqrt} \end{equation}が従いますが
$$t'_0=t'(\tau _0)$$によって $\tau _0$ を定めると
$${{dt'}\over {d\tau }}(\tau _0)=1$$です。ここで
$${{dx'}\over {dt'}}(t'_0)=0$$を使いました。
また
$${{dx'}\over {d\tau }}(\tau _0)={{dx'}\over {dt'}}(t'_0)\times {{dt'}\over {d\tau }}(\tau _0)=0$$でもあり、これらから
$${{d^2x'}\over {dt'^2}}(t'_0)={{d^2x'}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)$$であることがわかります。
よって先に得た方程式 (\ref{eq:md2xdash})
$$m{{d^2x'}\over {dt'^2}}(t'_0)=F'$$は
\begin{equation} m{{d^2x'}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)=F' \label{eq:md2xdashtau} \end{equation}に書き換えることができました。
ただ、$x'$ を決めるだけでは物体の時間と空間の中での位置、つまり時空図上での位置は決まらず、$t'$ も決める必要があります。そこで (\ref{eq:dtdadtausqrt}) 式
$${{dt'}\over {d\tau }}={1\over {\sqrt{1-(dx'/dt')^2/c^2}}}$$をもう一度微分することにより
$${{d^2t'}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)=0$$が得られますから、$t', x'$ に関する連立方程式
$$m{{d^2(ct')}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)=0, \hskip 5mm m{{d^2x'}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)=F'$$を考えることにします。
以上によって、微分に使う変数をローレンツ変換に関して不変な $\tau $ に変えることができました。この方程式なら容易に、ローレンツ変換
$$ct={{ct'+(v/c)x'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 2mm x={{x'+(v/c)ct'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$を通して、$t, x$ に関する方程式
$$m{{d^2(ct)}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)={{(v/c)F'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 5mm m{{d^2x}\over {d\tau ^2}}(\tau _0)={{F'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$に変換できます。この新しい方程式は、逆向きのローレンツ変換を行えば、$t', x'$ に関するもとの方程式にもどすことができます。その意味で、$t', x'$ についての方程式を $t, x$ に関する方程式に過不足なく書き換えることができたと言えます。
記号を簡単にするために、この方程式の右辺を
$$F^0(\tau _0)={{(v/c)F'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 2mm F^1(\tau _0)={{F'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$と置くとすれば、
\begin{equation} m{{d^2(ct)}\over {d\tau ^2}}=F^0, \hskip 2mm m{{d^2x}\over {d\tau ^2}}=F^1 \label{eq:md2cttod2x} \end{equation}が $\tau =\tau _0$ で成立することを導いたと言えます。
ところで、最初に選んだ $t_0$ はまったく任意であって、$t_0=t(\tau _0)$ ですから $\tau _0$ も任意です。従って上の方程式 (\ref{eq:md2cttod2x}) はすべての $\tau $ について成立することになります。
念のために繰り返しますが、任意の $\tau $ に対し、$F^0(\tau ), F^1(\tau )$ は次のようにして定まります：$t=t(\tau )$ とすると
\begin{equation} F^0(\tau )={{(dx/dt)/c}\over {\sqrt{1-(dx/dt)^2/c^2}}}F', \hskip 2mm F^1(\tau )={1\over {\sqrt{1-(dx/dt)^2/c^2}}}F' \label{eq:F0tauF1tau} \end{equation}但し $dx/dt$ は
$${{dx}\over {dt}}(t)$$の略記号、$F'$ は $dx/dt$ の速度で運動する列車の上の人たちにとって $t'=t'(\tau )$ の瞬間に物体に働く力を表すとします。
方程式 (\ref{eq:md2cttod2x}) は
$$x^0=ct, \hskip 2mm x^1=x$$という記号を導入すると一層見やすくなって
$$m{{d^2x^0}\over {d\tau ^2}}=F^0, \hskip 2mm m{{d^2x^1}\over {d\tau ^2}}=F^1$$となります。これは地上の人たちにとっての方程式ですが、しかしこの形にすれば、今考えているレールの上を等速で走る任意の列車に対して、ローレンツ変換を通してまったく同じ形の方程式に変換できることは一目瞭然でしょう。但し、右辺に現れる $F^0, F^1$ も、$x^0, x^1$ のローレンツ変換とそっくり同じ変換をすると考えます。
疑問に思うかもしれないので注意しておきますが、(\ref{eq:F0tauF1tau}) 式が示すニュートン力学との関係は、地上の人たちにとってのみならず、今考えているレール上を任意の速さ $w$ で走行する列車の上の人たちにとってもそのまま成立します：その列車に対して速度 $v$ で走る列車は、地上の人たちにとっては
$$u={{v+w}\over {1+(vw)/c^2}}$$の速度で走る、という先に求めた結果から、少し長いが単純な計算によって導くことができます。
以上によって、地上の人たちと対等な立場にある任意の観測者にとってまったく同じ形の方程式で表される、つまり相対性原理をみたす、運動法則を見いだすことができました。
${\bf O}$ 物体が静止して見える基準体においてはニュートン力学を仮定し、他の任意の基準体に対する方程式を導く際には、相対性原理に従って拡張した、その結果としてニュートン力学がどのような修正を受けることになったか、興味の湧くところですね。
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