${\bf O}$ 後輪の回転数が前輪のそれを上回る時間間隔がもしあるなら、当然、その間に列車の後ろの部分が進む距離は、前の部分が進む距離より長いはず。後ろが前を無理やり押すことになって、車体の圧縮など事故は避けられないと思うのですが。
${\bf K}$ 鉄でできた硬い剛体としての列車を思い描いている限り、おそらくその思いは払拭できないでしょう。しかし、列車の人たちにとって二つの車輪の加速が同時に行われる以上、車体がひずむなどの不都合は一切起きないことは、$O$ 君にも了解できるはずです。乗客たちが無事な時間を過ごしているにもかかわらず、外から見て車体が壊れる事故が起きるということはあり得ない。従って、$O$ 君の感覚はどこか間違っているのです。
それを正す新しい見地を得るために、「世界線」の考え方が便利です：ある任意の物体を考えます。その物体の「存在」は、一つの出来事と解釈できますから、時空図上の点で表すことができます。たとえば、その物体が地面にじっとしているとして、その位置を $x_0$ で表すなら、時刻 $t$ での存在は点 $(x_0, ct)$ で表され、この点は $t$ の変化とともに $x$ 軸に垂直な直線を形成します。もしその物体がじっとしてなくて、レールに沿って右へ行ったり左へ行ったりするのであれば、点 $(x, ct)$ は $t$ が変化すると同時に $x$ も変化することになり、時空図上で一本の曲線を形成します。このような直線、あるいは曲線を、その物体の「世界線」と呼びます。
念のために強調しておきますが、ある時刻 $t=t_0$ でのその物体の位置を知りたければ、水平な直線 $ct=ct_0$ とその物体の世界線との交点の $x$ 座標を求めればいいのです。
さて、物体の一つとして、列車上の一人の乗客を考えます。この乗客は自分の座席にじっと座っているとして、その位置を - 列車に固定された巻き尺で測って - $x'$ で表します。この乗客の世界線を考えてみましょう：ローレンツ変換の前半
$$x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$によれば、その世界線上の点 $(x, ct)$ は
$${{x-{v\over c}(ct)}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}=x'(定数)$$を満たすことになります。つまり、その世界線は
\begin{equation} ct={c\over v}x+\beta \label{eq:xdashsekai} \end{equation}が表す直線だということです。但し $\beta $ は $x'$ の値から決まる定数で
$$\beta =-{c\over v}{\sqrt{1-(v/c)^2}}x'$$です。
${\bf O}$ 言わんとしていることが大体わかってきました、走っている列車の長さを時空図を通して理解しようというわけですね。地上の人たちが動いている列車の長さを測るためには、ある時刻 $t=t_0$ で列車の後ろの端と前の端とが通過する地面に印を付け、その間の距離を測ることになります。それはつまり、列車の後端と前端の世界線を時空図に描き、$ct=ct_0$ の直線との交点の $x$ 座標を求め、それらの差を計算すればよいことになりますね。
${\bf K}$ その通り！その方針で求めてください。
${\bf O}$ まず、列車の最後尾にいる車掌の世界線は、その位置が $x'=0$ なのだから
$$ct={c\over v}x$$です。何故なら (\ref{eq:xdashsekai}) 式
$$ct={c\over v}x+\beta $$で
$$\beta =-{c\over v}{\sqrt{1-(v/c)^2}}x'=0$$だからです。一方、車両の前の端にいる運転手の世界線は、列車の上の人たちにとっての列車の長さを $l$ とすれば、その位置は $x'=l$ であり、よってその世界線は
\begin{equation} ct={c\over v}x-{c\over v}{\sqrt{1-(v/c)^2}}l \label{eq:untensekai} \end{equation}となります。
後は、これらの世界線と、水平な直線 $ct=ct_0$ との交点の $x$ 座標を求めて、それらの差を計算すればよい。しかし、図を描いてみれば一目瞭然 - 二つの世界線が平行なせいだが - $t_0$ が何であっても差は一定となる。最も簡単な場合は $t_0=0$ の場合だろう。車掌の世界線は原点を通るから、この場合、運転手の世界線と $x$ 軸との交点を求めれば、それ自身が列車の長さに一致するはず。(\ref{eq:untensekai}) 式
$$ct={c\over v}x-{c\over v}{\sqrt{1-(v/c)^2}}l$$によれば、それは
\begin{equation} x={\sqrt{1-(v/c)^2}}l \label{eq:lorensyusy} \end{equation}となります。
${\bf K}$ この等式の意味するところを考えてみましょう：$l$ は車両の先端の $x'$ の値ですから、列車に乗っている人たちにとっての列車の長さです。この長さは、列車がどこかの駅に止まっているときの長さでもあります、もちろんそのときの長さは、地上の人たちが地上に張られた巻き尺で測って得られる値とも一致します。
それに対して左辺の $x$ は地上の人たちにとっての長さです。その二つが一致しない、因子 ${\sqrt{1-(v/c)^2}}$ 分だけ一致しないことを、この等式は示しています。しかもこの因子は $1$ より小さい、つまり、走っている列車は止まっているときと比べて、進行方向に縮むことになります。しかも、$v$ が大きければ大きいほど、縮み方も大きくなり、$v=c$ では長さが $0$、更にそれ以上大きくなると因子は虚数になり、物理的な意味を失います。従って、$v$ は $c$ もしくは $c$ を超えることができない、つまり、現実の物体を光速以上には加速できないと考えるのが自然です。$c$ はその意味で限界速度の役割を持つのです。
${\bf O}$ 『前輪より後輪の方が、地上の人たちにとっては先に、その回転数を上げる』という以前考えた事柄と、ここで結びつくのですね。ある時間の間、列車の後ろの部分の方が前の部分よりたくさん進み、しかも列車が壊れないいのであれば、その間列車の長さは短くなる、としか考えようがない、言われてみれば確かにその通りです。しかし、どうしても硬い鉄の塊が縮むとは、考えにくい。
${\bf K}$ 鉄の塊としての硬さを感じるのは、その両端を押したり引いたりするときですが、当然、同時に行うときです。つまり、列車の上の人たちにとって同時に両端に触るのであれば、なかなか縮めたり伸ばしたりはできません。それがために「硬い」という感触を得るのです。でも、それが同時でないときには、そいう感触を得ることはないと考えられます、だって触っているのは一方の端だけですから。
地上の人たちが動いている列車の長さを測るときには、その人たちにとって同時に、列車の両端を自分たちの巻き尺の上に引き写します。でもその「同時」は、列車の上の人たちにとっての同時ではありません。従って、この測定において、地上の人たちが鉄の塊としての硬さを認識することはないはずです。
${\bf O}$ 空間的な長さが測る人の立場によって変わるというのであれば、要するに何でもありという感じがしてきました。おそらく時間的な長さも、その意味で相対的なのでしょうね。
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