${\bf K}$ 光速度不変の原理、つまり『光は、その光源の運動状態に関わらず、同じ速さ、秒速 $30$ 万キロで伝播する』という実験事実について考えましょう。実はわれわれの常識では、この原理は決して成り立ちそうに思えないのです。その意味で、この単純な原理は、抜き差しならぬ難問をわれわれに突き付けてきます：
この光の速さを測定する基準体として、まっすぐに伸びたレールとその上を疾走する列車を考えましょう。地上に立つ人たちは、レールに沿って張られた巻き尺 - $x$ 軸 - と、列をなして並べられた時計 - 時刻を $t$ で表す - によって、各出来事がどこでいつ起きたかを測定します。同様に列車の上の人たちは、列車の床に張られた巻き尺 - $x'$ 軸 - と、そこに固定された時計 - 時刻を $t'$ で表す - を用います。無用な混乱を避けるためですが、地面に固定された巻き尺の正の方向と列車の床に固定された巻き尺の正方向は一致させます。
はっきりとしたイメージを持って考えるために、ある駅のホームに駅長が居て、駅長はある瞬間、マッチを擦って煙草に火をつけたとします。このマッチから $x$ 軸の正方向へ伝播する光の先端部分の速さを考えましょう。
${\bf O}$ マッチはその光の光源だが、地上の人たちにとっては静止している、しかし車上の人たちにとっては運動している。でも、光速度不変の原理が言うことには、その運動状態によらず光の速さは常に一定値、$c$ だということですね。従って、地上の人たちにとって速さ $c$ で飛ぶ光を追いかけて走る人たちにとっても、やはり速さが $c$ でなくてはいけないことになりますね。
しかしそれは甚だしく常識と反します：地上の人たちにとって速さ $w$ で運動する物体を速さ $v$ の列車で追いかける場合、$w$ より遅い速さ、$w-v$ で観測されると考えるのが常識です。この常識の適用範囲から光を除外する理由はなく、光が地上の人たちにとって速さ $c$ で伝わるのであれば、列車の乗客たちにとっては $c-v$ で伝わることになります。
${\bf K}$ 問題の深刻さをわかってくれましたか。たとえば秒速 $29$ 万キロの乗り物が開発されたとして、それに乗って「よーいドン」で光と競争するとき、$1$ 秒後の光の先端は自分の $1$ 万キロ前方にいると考えるのが普通です。でも、光速度不変の原理は、$30$ 万キロ先を走っていると言うのです。
${\bf O}$ 地上の人たちとっては、$1$ 秒後の光の位置はスタート地点から $30$ 万キロ、列車の位置は $29$ 万キロ、従ってその差は $1$ 万キロで、列車の $1$ 万キロ先を光の先端が飛んでいることになる。これは確かなはずです。問題は、列車の人たちは自分たちの列車を基準にして光の位置を測るということにありますね。自分たちの時計がスタートから $1$ 秒を指すとき、光の先端は自分たちの巻き尺の目盛り $30$ 万キロの位置にあるというのですから、従って、列車の中で流れる時間と地上での時間の流れが違う、あるいは、列車に固定された物指で測る距離と地上の物指で測る距離が違う、少なくとも一方の可能性があります。ひょっとしたら両方かもしれない。
${\bf K}$ その違いを明確な形で理解する必要があるのです。イメージをはっきりと持つためですが、次のように仮定しましょう：列車の最後尾に車掌が居て、その位置が $x'=0$ であり、ホームに立っている駅長の位置が $x=0$ だとします。車掌が駅長の前を通過するときがありますが、その瞬間、車掌の時計が $t'=0$ を、駅長の時計が $t=0$ を指したとします。この仮定は単に時計の目盛りを適当に読み替えるだけですから本質的な仮定ではありません。そのとき駅長はマッチを擦って煙草に火をつけるのです。
地上の人たちにとっての時刻 $t$ にその光の先端部分は $x=ct$ の位置に居ます。場所 $x=ct$ に光が到達するという出来事が、列車の乗客たちにとっては場所 $x'$ で時刻 $t'$ に起きたとしましょう。
${\bf O}$ 従来の常識では時間はすべての人にとって共通であり、よって $t'=t$ である。また、列車の巻き尺と地上の巻き尺とはそれぞれの原点、つまり車掌と駅長の位置が時間の経過とともにずれていくだけだと考えられ、時刻 $t$ では車掌は駅長から $vt$ の位置にいて、駅長にとっての位置 $x$ は車掌からは $x-vt$ だけ離れていると考えられる。従って
\begin{equation} x'=x-vt, \hskip 2mm t'=t \label{eq:garireihenkan} \end{equation}となりますね。しかしおそらくこれでは光速度不変の原理は成り立たない。
実際計算してみると：経過時間 $t'$ の間に、距離 $x'$ を光は走ったのだから、その速さは - $x=ct$ を使えば -
$${{x'}\over {t'}}={{x-vt}\over t}=c-v$$となり、$c$ と異なる。
${\bf K}$ (\ref{eq:garireihenkan}) 式は、ある一つの出来事が地上の人たちにとって $x, t$ で起き、列車の人たちにとって $x', t'$ で起きるとするときの、両者の間の関係を表す式であり、ガリレイ変換と呼ばれている。これでは当然、地上の人たちにとって同時に起きる出来事は列車上の人たちにとっても同時であり、逆も言える。これは、乗客たちにとっての同時が何を意味するのかについて正確な考察を経て先に導いた結論と、明らかに矛盾する。
「光速度不変の原理」にも矛盾することは、今 $O$ 君の説明してくれた通りです。従って、この変換式が間違っている、現実世界の様子を正確に反映していない、と考えざるを得ません。
${\bf O}$ 正しい変換式を求めろと言われても、常識を手掛かりにできない以上、何を頼ればいいものか？
${\bf K}$ 「光速度不変の原理」そのものを手掛かりとして、つまりそれが成り立つような変換式を求めた結果、次の変換式が得られました。この式は最初に言い出した人の名前をとってローレンツ変換と呼ばれています：
\begin{equation} x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^ 2}}}, \hskip 2mm t'={{t-(v/c^2)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} \label{eq:t'tx'x} \end{equation}$c$ は光の速さ、秒速 $30$ 万キロを表し、$v$ は地上の人たちにとっての列車の速さです。
全体にかかっている妙な因子
$${1\over {\sqrt {1-(v/c)^2}}}$$のことはしばらく忘れるとして
$$x'=x-vt, \hskip 2mm t'=t-(v/c^2)x$$と書いてみると、前半はガリレイ変換と変わらない、しかし後半がガリレイ変換とは大きく違う。列車の中の人たちにとっての時間 $t'$ が、外の時間 $t$ だけでなくその位置 $x$ にも依存しているというわけです。この依存性があるお陰で、$O$ 君の計算をもう一度やり直してみると
$${{x'}\over {t'}}={{x-vt}\over {t-(v/c^2)x}}={{(c-v)t}\over {(1-(v/c))t}}=c$$であり、列車の人たちにとっても駅長のマッチから出たこの光の速さは、$c$ であることになります。
${\bf O}$ 因子 $1/{\sqrt{1-(v/c)^2}}$ がなくても光速度不変の原理に矛盾しないのであれば、ローレンツ変換の式には何故そんな無駄なものが付いているのですか。
${\bf K}$ その因子は別の意味の働きをしているのです。この因子を省いた変換式
\begin{equation} x'=x-vt, \hskip 2mm t'=t-(v/c^2)x \label{eq:gimon} \end{equation}からは、単純な計算によって
\begin{equation} x={{x'+vt'}\over {1-(v/c)^2}}, \hskip 2mm t={{t'+(v/c^2)x'}\over {1-(v/c)^2}} \label{eq:gimongyaku} \end{equation}が得られます。これは、$(x', t')$ から $(x, t)$ への変換式とみなし得るのですが、しかしこれは、物理的に判断して不都合な形をしています。というのは、何度も強調しているように、地上と列車は諸々の出来事を観測する立場として対等です。従って一方から他方への変換式はお互いに同じ形をしているべきだからです。
もともとのローレンツ変換の式を逆に解くと
\begin{equation} x={{x'+vt'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 2mm t={{t'+(v/c^2)x'}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} \label{eq:Lorgyaku} \end{equation}となり、確かに元の形と同じです。$v$ の符号が反対になっていますが、地上の人たちにとって $x$ が増加する方向に列車が走っているのであれば、列車の人たちにとっては $x'$ が減少する方向に地面が動いているはずであり、速さの符号が逆転するのは理にかなっています - 地面の巻き尺と列車の床の巻き尺とは正の方向が一致するように設定したことを思い出して下さい - 。
${\bf O}$ 「光速度不変の原理」と矛盾しないことは理解しましたが、それはそれとして形が複雑で、ガリレイ変換と比べると全く別物であり、われわれの直観にまったく反しているように思えますが、その点はどうですか。
${\bf K}$ よくよく考えてみると決してそうではないのです：われわれの直観は、経験を通して形成されてきたもののはずです。われわれが経験し得るのは徒歩とか車、せいぜい飛行機程度の速さの運動です。そういう速さ $v$ は $c$ と比べて小さい、つまり $v/c$ が $1$ と比べて無視できるほどに小さい場合です。そのとき、まず近似的に
$$1-(v/c)^2\approx 1$$であり、また - $ct$ は $x$ と同程度かあるいはそれ以上の大きさとみなし得るので -
$$ct-(v/c)x\approx ct$$と見るべきです。$x$ と $vt$ は同程度の大きさと考えて $x-vt$ はそのままに置きましょう、すると結局、ローレンツ変換 (\ref{eq:t'tx'x})
\begin{equation} x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}, \hskip 2mm t'={{t-(v/c^2)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}} \end{equation}は
$$x'=x-vt, \hskip 2mm t'=t$$に、つまりガリレイ変換に帰着します。
${\bf O}$ $v$ が $c$ に比べて小さくないときは、われわれの直観の範囲を越えるときであって、もはや直観を頼りにガリレイ変換の正しさを主張することはできないということですか。そういうときでもローレンツ変換が現実世界のありさまを正しく反映している変換式であるのなら、この式を発見した人はすごいですね！
ローレンツ変換とガリレイ変換の違いを認識するために、試しに
$$v=0.8\times c=毎秒 24 万キロ$$という大きな速さ $v$ の場合を考えてみよう。この値を選んだのは
$$1-(v/c)^2=(0.6)^2$$となって、その平方根が計算しやすいからです。このときローレンツ変換の前半は
$$x'={{x-vt}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}=1.7\times \left( x-vt\right)$$となり、ガリレイ変換の前半
$$x'=x-vt$$とは確かにはっきり異なる。後半の
$$t'={{t-(v/c^2)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$はこのままでは分かりにくいが、両辺に $c$ をかけて
$$ct'={{ct-(v/c)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$に書き直すと分かりやすい。$v/c=0.8$ を代入すると
$$ct'=1.7\times \left( ct-0.8x\right) $$となる。ガリレイ変換では
$$ct'=ct$$なので、最初の因子 $1.7$ はさておくとしても、$t'$ の値が $t$ の値だけでなく $x$ の値、つまり出来事の起きる場所に大きく関係することを示していて、ガリレイ変換とは様相が一変する。
${\bf K}$ ローレンツ変換とガリレイ変換の大きな違いは、$O$ 君が今気づいたように、$t'$ が $t$ だけではなく、$x$ にも依存することにあるように思います：以前考えたことですが、たとえば列車の乗客がゴミを窓から放り投げるというような、彼らにとって同時に起きる出来事を考えてみましょう。つまりそれらの出来事の $t'$ の値が一致するとするのです。このとき、ローレンツ変換 (\ref{eq:t'tx'x}) の後半
$$t'={{t-(v/c^2)x}\over {\sqrt{1-(v/c)^2}}}$$によれば、各出来事に対応する $t, x$ の値は
$$t-(v/c^2)x=定数$$を常に満たすことになります。これをもう少し奇麗な形に書くと
\begin{equation} ct={v\over c}x+\alpha \label{eq:ctgavcx} \end{equation}となります。$\alpha $ は $t'$ の値から決まる定数であり
$$\alpha =ct'{\sqrt {1-(v/c)^2}}$$です。
この式が何を意味するかは、平面上に直交座標系を描き、横軸の目盛りが $x$ の値を、縦軸の目盛りが $ct$ の値を表すとするとわかりやすいです。その平面上の $(x, ct)$ の点は、地上の人達にとって場所 $x$ で時刻 $t$ に起きる出来事を表すと解釈できます（各出来事の内容は区別しない、ただ単に時刻と場所だけに着目する）。従って、レールの近くで起きるすべての出来事がこの図の上の点で表されることになります。その意味を込めて、この図は「時空図」と呼ばれます。
レールのそばだけでなく、任意の場所での出来事を時空図の上の点で表すには、地上に $x$ 軸方向のみならず、それに直交して $y, z$ 軸方向にも伸びる物指を設定しなくてはいけません。そのときの時空図は $4$ つの方向に広がりの自由度を持つ、いわゆる $4$ 次元の対象になり、これは図に描くには極めて難しい。そういう事情もあり、本質的な点は $2$ 次元の時空図で十分説明できるということもあって、レールのそばで起きる出来事だけに着目しているのです。
さて、列車の上の人達にとって同一時刻に起きる出来事の $t, x$ の値が満たす関係式が (\ref{eq:ctgavcx}) 式
$$ct={v\over c}x+\alpha $$だったのだが、これはこれらの出来事が時空図の上では傾き $v/c$ の直線上の点で表されることを示しています。従って、列車の前の方で起きる出来事ほど $t$ の値は大きい、つまり地上の人達にとっては遅れて起きることになります。
${\bf O}$ そのことは、先にペットボトルを放り投げる乗客たちを例に導いた結論と、確かに一致しますね。
${\bf K}$ 時空図上では、列車の乗客にとってある瞬間に同時に起きる出来事は斜めに傾いた直線上に乗っていることに注意してください。一方で、地上の人達にとって同時に起きる出来事、つまり $t$ が一定の出来事は水平な直線上に乗っています。ということは、乗客たちにとって同時の出来事は、地上の人たちにとってのたくさんの同時の中に分散して入り込むことを意味しています。もちろん逆も言えます。
${\bf O}$ 言うなれば、「瞬間」という言葉はその人の運動状態によって違う意味を持つ、ということですか。これは確かに常識からは大きく逸脱している、ガリレイ変換の立場からは決して見えてこないことですね。
時間についてローレンツ変換が意味していることの片鱗は垣間見たように思うのですが、空間についてはどうですか。距離についても何か常識外れのことがない限り、どれだけ速く走っても $1$ 秒間に $30$ 万キロづつ引き離されるという現象は起きそうにないように思えるのですが。
${\bf K}$ それを理解するには列車が駅のホームに停車しているときから、徐々に加速して $v$ の速さにまでなる過程を考えてみるとよいと思います。停車しているときの列車の長さを $l$ としましょう。もちろんこの長さは地上に張られている巻き尺で測っても同じです。
さて少しづつ加速するのですが、ある一瞬に少し速さを増し、しばらく置いて次の一瞬に再び増す、ということの繰り返しだと考えると以下の説明がわかりやすいかもしれません。当然、前輪と後輪の回転数は少しづつ増加します、しかも、列車の上の人たちにとって同時に増加します。そうでないと、たとえば後輪の回転数が前輪の回転数より多い時間間隔が、列車の上の人たちにとってもし存在すれば、ひどい場合には後部車両が前の部分に乗り上げるという悲惨な事故が起きるからです。この加速の過程で、列車の長さは、車上の人たちにとってはいつでも同じ、$l$ のはずです。
ところが、先に見たように、列車の上の人たちにとっての同時は地上の人たちにとっての同時ではないのです。
${\bf O}$ 地上の人たちにとって前輪の方の加速が後輪よりも遅れて起きることになりますね。すると、後輪の回転数が前輪の回転数より多い時間間隔が存在することになります。これはどうしたことだ、それでは事故が起きるのではなかったのですか。
${\bf K}$ 車中の人たちにとっては前輪と後輪の加速は同時に行われるのですから、何事も起きないはずです。車中の人たちが平穏でいられるにも関わらず、外から見ていて事故を目にすることはあり得ないでしょう。ということは、地上の人たちにとってどんな現象が起きると考えられますか？
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