${\bf アル：}$ シュバルツシルトは重力方程式の一つの解を、極座標 $r, \theta , \phi $ を用いて
$$c^2d\tau ^2=\left( 1-{a\over r}\right) (dx^0)^2-{1\over {1-a/r}}dr^2-r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$のように書き下したのですが、四つの数字 $(t, r, \theta , \phi )$ によって識別することのできる出来事の範囲に、例えば『宇宙船が $r=a$ の点を横切る』というような出来事が含まれていません。この出来事は $t=+\infty $ で起きる、敢えて言うなら、我々の時間が終わった後に起きる、のです。そのような出来事が存在するという意味で、$t, r, \theta , \phi $ を用いる座標系は少し不便です。特に、カールの疑問について考える際に不便です。幸い、クルスカル座標という、この不便さを取り除く座標系がありますのでまずそれを紹介します：
新しい座標系で用いる数字の組は
$$(v, u, \theta , \phi )$$であって、これまで用いてきた $(t, r, \theta , \phi )$ との関係は以下の通りです。まず $r > a$ の領域では
\begin{eqnarray} v&=&v(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{{r\over a}-1}}\sinh {{x^0}\over {2a}} \nonumber \\ u&=&u(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{{r\over a}-1}}\cosh {{x^0}\over {2a}} \label{eq:r>avu} \end{eqnarray}です。符号は複合同順で考えてください、$x^0=ct$ です。また $r < a$ の領域では
\begin{eqnarray} v&=&v(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{1-{r\over a}}}\cosh {{x^0}\over {2a}} \nonumber \\ u&=&u(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{1-{r\over a}}}\sinh {{x^0}\over {2a}} \label{eq:rsmallavu} \end{eqnarray}です。$\theta $ と $\phi $ については両方の座標系で同じ意味を持ちます。
これら新しい変数を用いるとシュバルツシルトの表示式
$$c^2d\tau ^2=\left( 1-{a\over r}\right) (dx^0)^2-{1\over {1-a/r}}dr^2-r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) $$は
\begin{equation} c^2d\tau ^2=f(r)\left( dv^2-du^2\right) -r^2\left( d\theta ^2+\sin ^2\theta d\phi ^2\right) \label{eq:c2dtau2f2} \end{equation}の形に書き換えることができます。むしろ $c^2d\tau ^2$ がこの形になるように $v, u$ を選んだと言うべきです。$f(r)$ はその結果として
$$f(r)={{4a^3}\over r}e^{-r/a}$$となります。
$\theta $ と $\phi $ については従来と同じ意味ですから脇へ置くとして、$(v, u)$ と $(t, r)$ の関係を理解するために、平面上に直交座標を描き横軸を $u$、縦軸を $v$ としてください。原点を $O$ として、二直線 $v=\pm u$ によって $u, v$ 平面を四つの領域に分け、$u$ 軸の正の部分を含む領域を $I$ 領域、そこから反時計回りに順番に $II, III, IV$ 領域と名付けます。それぞれの領域には境界部分は入れません。$I, II$ 領域の境界を半直線 $OA$ で表し、$II, III$ 領域、$III, IV$ 領域、$IV, I$ 領域の境界もそれぞれ $OB, OC, OD$ で表します。
$r > a$ の $t, r$ と $v, u$ との対応を表した (\ref{eq:r>avu}) 式
\begin{eqnarray*} v&=&v(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{{r\over a}-1}}\sinh {{x^0}\over {2a}} \\ u&=&u(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{{r\over a}-1}}\cosh {{x^0}\over {2a}} \end{eqnarray*}によれば、
$$u^2-v^2=e^{r/a}\left( {r\over a}-1\right) ,\hskip 5mm {v\over u}=\tanh {{x^0}\over {2a}}$$です。このとき
$$u^2-v^2 > 0$$であり、$(v, u)$ は $I$ 領域、および $III$ 領域に分布することがわかります。それぞれの領域は
$$u^2-v^2=正定数$$で表される双曲線群で満たされますが、一つの双曲線上の $(v, u)$ は一つの $r$ に対応します。また、第二式から、
$$v=定数\times u \hskip 1cm (-1 < 定数 < +1)$$の直線群が $I, III$ 領域を埋め尽くし、一つの直線上の $(v, u)$ には一つの $x^0=ct$ が対応します。従って一つの $(t, r)$ によってあらわされる出来事には、$r$ によって決まる双曲線と $t$ によって決まる直線の交点の $(v, u)$ が対応することになります。$I$ 領域と $III$ 領域にはそれらの点がひとつ ずつありますが、同一の $(t, r)$ に対応するのですから、それらは同一視すべき対象です。
$r < a$ での (\ref{eq:rsmallavu}) 式
\begin{eqnarray*} v&=&v(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{1-{r\over a}}}\cosh {{x^0}\over {2a}} \\ u&=&u(t, r)=\pm e^{r/(2a)}{\sqrt{1-{r\over a}}}\sinh {{x^0}\over {2a}} \end{eqnarray*}からは、
$$v^2-u^2=e^{r/a}\left( 1-{r\over a}\right) ,\hskip 5mm {v\over u}={1\over {\tanh x^0/2a}}$$が従い、
$$0 < v^2-u^2 \leq 1$$ですから、このような $(t, r)$ に対応する $(v, u)$ は $II$ 領域と $IV$ 領域に分布することがわかります。$r=0$ を表す双曲線は
$$v^2-u^2=1$$であり、$II$ 領域ではこの双曲線より下、$IV$ 領域ではこの双曲線より上にある $(v, u)$ を考えることになります。これら二つの領域の間でも、原点に関して点対称な二つの $(v, u)$ は同一視し、同じ出来事を表すとしなくてはいけません。
さて、このように定めたクルスカル座標 $(v, u)$ が、従来の座標 $(t, r)$ の持つ欠点を除いたものになっているか見ておく必要があります： いわば $t=+\infty , r=a$ で起きる出来事が有限な $v, u$ に対応しているかどうかですが、領域 $I$ での (\ref{eq:r>avu}) 式
\begin{eqnarray} v&=&v(t, r)=e^{r/(2a)}{\sqrt{{r\over a}-1}}\sinh {{x^0}\over {2a}} \nonumber \\ u&=&u(t, r)=e^{r/(2a)}{\sqrt{{r\over a}-1}}\cosh {{x^0}\over {2a}} \label{eq:Iryouikivu} \end{eqnarray}に $t=+\infty , r=a$ を代入してみても $0\times \infty $ の不定形になり、判断できません。そこで
$$r\rightarrow a, \hskip 5mm t\rightarrow +\infty $$の場合の $(v, u)$ の動きを追ってみます。
$${{dv}\over {du}}={{dv}\over {d\tau }}/{{du}\over {d\tau }}$$の挙動がわかれば推測できそうです。
これまで通り $x$ 軸上を原点へ向けて自由落下する宇宙船を想定するなら、運動方程式などから
$$\left( 1-{a\over r}\right) {{dt}\over {d\tau }}=b (定数)$$ $${{dr}\over {d\tau }}=-c{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}$$です。力学的エネルギーについて
$$E={1\over 2}c^2(b^2-1) > 0$$を仮定します。座標時間 $t$ は無限遠方では静止する観測者の固有時に一致しますがそこでの宇宙船の速さを $v_{\infty }$ とすれば、特殊相対論の結果より
$$b={{dt}\over {d\tau }}={1\over {\sqrt{1-(v_{\infty }/c)^2}}}$$です。特に $b > 1$ です。
さて (\ref{eq:Iryouikivu}) 式から
\begin{eqnarray*} {{dv}\over {d\tau }}/{{du}\over {d\tau }}&=& {{(dr/d\tau )\sinh (x^0/2a)+b\cosh (x^0/2a)}\over {(dr/d\tau )\cosh (x^0/2a)+b\sinh (x^0/2a)}}\\ &=&{{{\sqrt{b^2-1+a/r}}\sinh (x^0/2a)-b\cosh (x^0/2a)}\over {{\sqrt{b^2-1+a/r}}\cosh (x^0/2a)-b\sinh (x^0/2a)}} \end{eqnarray*}だとわかりますが、これより $r > a$ である限り
$$\left( {{dv}\over {d\tau }}/{{du}\over {d\tau }}\right) ^2 > 1$$であって、かつ $r\rightarrow a$ のとき
$${{dv}\over {d\tau }}/{{du}\over {d\tau }}\rightarrow -1$$です。従って $I$ 領域内の任意の点を発した宇宙船（正の有限質量の物体）の世界線は、宇宙船が自由落下をする限り半直線 $OA$ 上のどこかの点に限りなく近づくことになります。よって、その点が『宇宙船が $r=a$ の地点に到達する』出来事を表すと解釈できます。この意味で、クルスカル座標 $(v, u)$ は古い座標系 $(t, r)$ の欠点を補ったものになっています。
ちなみに、質量 $0$ の光の場合、(\ref{eq:c2dtau2f2}) 式から得られる
$$c^2d\tau ^2=f(r)\left( dv^2-du^2\right) $$の左辺が $0$ なので常に
\begin{equation} {{dv}\over {du}}=\pm 1 \label{eq:hikaridvdu} \end{equation}のはずです。実際 $\rho $ を $\tau $ に代わる座標変換に関して不変なパラメーターとすると、測地線の方程式から
$$\left( 1-{a\over r}\right) {{dt}\over {d\rho }}=b (定数)$$であり、$t$ と $\rho $ の増加の方向を合わせるために $b > 0$ と置くなら、原点方向へ向かう光については
\begin{equation} {{dr}\over {d\rho }}=-bc \label{eq:drdrhogabc} \end{equation}です。正質量の場合と同じように計算すれば
\begin{equation} {{dv}\over {d\rho }}/{{du}\over {d\rho }}=\left[ {{dr}\over {d\rho }}\sinh {{x^0}\over {2a}}+bc\cosh {{x^0}\over {2a}}\right] / \left[ {{dr}\over {d\rho }}\cosh {{x^0}\over {2a}}+bc\sinh {{x^0}\over {2a}}\right] \end{equation}が得られますが、(\ref{eq:drdrhogabc}) 式を代入すればこの値が常に $-1$ であることがわかります。よってその世界線は、原点の質量 $M$ へ向かう限り、半直線 $OA$ 上のどこかで直角に横切り、 $r < a$ の領域 $II$ へ入り込みます。
さて領域 $II$ へ侵入した後の物体及び光の挙動が次の関心事です。まず正の有限質量の場合：このとき
$$\left( 1-{a\over r}\right) {{dt}\over {d\tau }}=b$$はそのまま持ち込まれますから、
$${{dt}\over {d\tau }} < 0$$つまり $\tau $ の増加とともに $t$ は減少することに注意してください。
(\ref{eq:rsmallavu}) 式
\begin{eqnarray*} v&=&v(t, r)=e^{r/(2a)}{\sqrt{1-{r\over a}}}\cosh {{x^0}\over {2a}} \\ u&=&u(t, r)=e^{r/(2a)}{\sqrt{1-{r\over a}}}\sinh {{x^0}\over {2a}} \end{eqnarray*}から
\begin{eqnarray} {{dv}\over {du}}&=&{{dv}\over {d\tau }}/{{du}\over {d\tau }} \nonumber \\ &=&\left[ {{dr}\over {d\tau }}\cosh {{x^0}\over {2a}}+bc\sinh {{x^0}\over {2a}}\right] /\left[ {{dr}\over {d\tau }}\sinh {{x^0}\over {2a}}+bc\cosh {{x^0}\over {2a}}\right] \nonumber \\ &=&{{{\sqrt{b^2-1+a/r}}\cosh (x^0/2a)-b\sinh (x^0/2a)}\over {{\sqrt{b^2-1+a/r}}\sinh (x^0/2a)-b\cosh (x^0/2a)}} \label{eq:rsmalladvdu} \end{eqnarray}が得られますが、$r < a$ である限り
$$\left( {{dv}\over {du}}\right) ^2 > 1$$であることは容易にわかります。従って $II$ 領域内の任意の点 $P(u, v)$ を通過する世界線は、$P$ から発する傾き $\pm 1$ の半直線の間を上向きに進むことになります。更に、$x^0 > 0$、つまり $v$ 軸より右の領域では
$$-\infty < {{dv}\over {du}} < -1$$かもしくは
$${{dv}\over {du}} > {v\over u} \hskip 3mm (\ ={{\cosh (x^0/2a)}\over {\sinh (x^0/2a)}})$$が成り立ち、$x^0 < 0$、つまり $v$ 軸の左側では
$${v\over u} < {{dv}\over {du}} < -1$$が成立します。これは
$${{dt}\over {d\tau }} < 0$$であることを表します。以上で $I$ 領域を出発した宇宙船が最終的に $r=0$ に到達するまでの世界線が、クルスカル座標系では例外点なしに表示できることがわかりました。
ここいらで少し小休止して、クルスカル座標系のお陰でわかったことをまとめておきます：半直線 $OA$ の $O$ 以外の点は、そこを経験して $II$ 領域へ侵入するいろんな状態の宇宙船があり得ますから、それぞれ $r=a, t=+\infty $ の時空点を表すと解釈できます。つまり、半直線 $OA$ から $O$ を除いた部分は、$\theta $ と $\phi $ の自由度も加えるならば、三次元の時空を表すと考えなくてはいけません。では $O$ はと言えば、$r=a, t=有限$ な点をすべて表していることになります。識別されるべきたくさんの時空点を一点で表示していることになり、その意味で $O$ は特異な点です。
$r < a$ の領域へ落ち込む宇宙船、つまり正の有限質量の物質すべては、この $r=a, t=+\infty $ の三次元時空を経験します。その意味でこの三次元時空はわれわれにとっての $r < a$ の領域への玄関口です。原点 $O$ が表す $r=a, t=有限$ の三次元時空はそうではありません。敢えて言うならば、その玄関口はわれわれの時間 $t$ が終了した後に現れると言えます。従って、われわれが $t=有限$ な時空に身を置いている限り、$r=a$ に到達する、ましてやそれを突き抜けて $r < a$ の領域へ侵入していく物体を観測することは決してできません。$r=a$ へ近づくにつれて動きが鈍くなり、あたかも凍結したかのように $r=a$ の近くに居座り続ける物体を観測できるだけであって、$r=a$ の向こう側へ物質がどんどん吸い込まれていくというイメージを持つことには、十分慎重でなくてはいけません。
おそらく、この後引き続いて計算するつもりですが、$r=a, t=-\infty $ も実は三次元の時空を表します。$u, v$ 平面では $O$ を除く半直線 $OD$ がその表現ですが、$r < a$ の領域から $(t, x, y, z)$ で記述されるわれわれの時空へ物質が流れ込んでくるとしたら、この三次元時空を通過してくることになります。原点 $O$ が表す $r=a, t=有限$ の三次元時空を通過してやってくる物質はありません。ブラックホールの「ブラック」はこの意味で捉えるべきだと考えられます。
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