${\bf アル：}$ ブラックホールの「ブラック」さを、私の理論がどう説明するのかを見ていただきたいのですが、できるだけ簡単に話を進めたいので、宇宙船は天体の中心である原点に向かう真っすぐな直線、たとえば $x$ 軸上を運動するとします。この時 $h=0$ であり、よって $h < {\sqrt 3}ac$ となり、従って $0 < r < +\infty $ の範囲で $V(r)$ の値は $(-\infty , 0)$ の間を単調に増加します。実際
$$V(r)=-{{ac^2}\over {2r}}$$です。ここでは力学的エネルギー $E$ は
$$E={1\over 2}c^2(b^2-1) \geq 0$$を満たすとします、つまり $b^2 > 1$ です。
$$\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2=2\left[ E-V(r)\right] $$ですから、この宇宙船の動き得る範囲が制限されることはなく、無限の遠方まで到達できるだけの速度を持っています。
さてシュバルツシルトの解を表す等式からは
$$c^2=c^2\left( 1-{a\over r}\right) \left( {{dt}\over {d\tau }}\right) ^2-\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2$$が得られますが、定数 $b$ の定義式
$$\left( 1-{a\over r}\right) {{dt}\over {d\tau }}=b$$を使うと
\begin{equation} {{dr}\over {d\tau }}=\pm c{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}} \label{eq:droverdtaupm} \end{equation}が得られます。先頭の符号はもちろん、宇宙船の運動の向きによって決まります。$t$ に関する微分の等式に直して
\begin{equation} {{dr}\over {dt}}=\pm {c\over b}{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}\left( 1-{a\over r}\right) \label{eq:droverdtpm} \end{equation}とも書けます。
さて、まず、$r > a$ の領域から質量 $M$ へ向かって落下する場合を考えます。この時 (\ref{eq:droverdtaupm}) 式の符号はマイナスであって
$${{dr}\over {d\tau }}=-c\sqrt{ b^2-1+{a\over r}}$$です。$a < r_0 < R$ とし、$R$ から $r_0$ までの落下の間の $\tau $ の経過時間を $\tau _0$ で表すなら
$$\tau _0=\int _0^{\tau _0}d\tau =-{1\over c}\int _0^{\tau _0}\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}{{dr}\over {d\tau }}d\tau ={1\over c}\int _{r_0}^R\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}dr$$です。最後の変形は置換積分です。
よって $r_0\rightarrow a$ につれて
$$\tau _0\rightarrow {1\over c}\int _a^R\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}dr$$ですが、$E > 0$ と仮定していますから $b^2-1 > 0$ であり、よって右辺の積分値は有限です。すなわち $R$ を通過した後、船内の時計がこの有限の時間を刻み終わるとき、$r=a$ の地点に到達しそれ以後 $r < a$ の領域へ侵入すると考えられます。
では、宇宙船の固有時間ではなく座標時間 $t$ で $R$ から $r_0$ までの経過時間を測って $t_0$ とします。(\ref{eq:droverdtpm}) 式
$${{dr}\over {dt}}=-{c\over b}{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}\left( 1-{a\over r}\right) $$から
$$t_0={b\over c}\int _{r_0}^R\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}dr$$です。よって $r_0\rightarrow a$ につれて
$$t_0\rightarrow {b\over c}\int _a^R\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}dr$$です。積分記号下の一番目の因子は固有時での計算に現れたものであり、問題ないのですが、二番目の因子が $a$ の近傍で
$${1\over {r-a}}$$の振る舞いをし、その積分は発散します。つまり宇宙船が $r=a$ に近づくに従い、その時間座標 $t$ の値は限りなく大きくなるのです。この点、固有時で測るときとは大違いです。
宇宙船が落下し $r=a$ に近づくにつれて、その $t$ 座標の値は限りなく大きくなります。ところが宇宙船の乗組員にとっては有限の時間内に $r=a$ の地点を通過します。従って『宇宙船が $r=a$ の地点を通過する』という出来事は確かに存在するのです、でも、その出来事の $t$ 座標の値は有限ではない、あえて言うなら、$t=+\infty $ と言わざるを得ません。有限な座標値 $(t, x, y, z)$ を持つ出来事の範囲に、この出来事は含まれない、言い換えるなら、座標系 $t, x, y, z$ が覆う範囲に、この出来事は含まれないということです。
似たようなことは珍しいことではなく、たとえば
$$x^2+y^2+z^2=1$$で定義される半径 $1$ の普通の球面においても起こります：球面上の点を極座標 $\theta , \phi $ で表すとき、つまり
\begin{eqnarray*} x&=&\sin \theta \cos \phi \\ y&=&\sin \theta \sin \phi \\ z&=&\cos \theta \end{eqnarray*}で表すとき、$\theta =0$ と $\theta =\pi $ に対応する $z=\pm 1$ の二点は、この座標系が覆う範囲内にあるとは言えません。これらの二点については $\phi $ の値が一意的に確定しないという意味においてです。でもかといって、これらの二点を覆う座標系が存在しないのかというと、そうではありません。例えば、$x$ 軸からの偏角を $\theta $、$y$ 軸からの偏角を $\phi $ とすれば
\begin{eqnarray*} x&=&\cos \theta \\ y&=&\sin \theta \cos \phi \\ z&=&\sin \theta \sin \phi \end{eqnarray*}ですが、先ほど外れた
$$(x, y, z)=(0, 0, 1)$$については
$$(\theta , \phi )=(\pi /2, \pi /2)$$が、
$$(x, y, z)=(0, 0, -1)$$については
$$(\theta , \phi )=(\pi /2, 3\pi /2)$$が、それぞれ一意的に対応します。時空間の座標系についても、『$r=a$ を宇宙船が通過する』という出来事に（及びその近くの出来事に）、有限確定の四つの数値を対応させることのできる座標系が存在します。この件については後程帰ってくることになると思いますので、ここでは先に進みましょう。
ここまでは $r > a$ の領域から原点にある物質に向かって落ちていく場合を考えてきたのですが、逆に $r < a$ の領域から $r > a$ の領域へ出ていく宇宙船を考えましょう。
${\bf カール：}$ 前回の記事で解説してくれたように、力学的エネルギー $E$ が十分に大きな宇宙船であるなら、そのような運動も可能なのですね。でもそんな宇宙船があるのなら光であっても $r < a$ の領域から外へ出てくると考えられます。にもかかわらず、何故「ブラックホール」なのか、アルの理論による説明が是非聞きたいものです。
${\bf アル：}$ 理解してもらえるといいのですが：(\ref{eq:droverdtaupm}) 式
$${{dr}\over {d\tau }}=\pm c{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}$$をもう一度思い出してください、今回の宇宙船の場合は右辺の符号は $+$ です。$r_0 < a < R$ とし、$r=r_0$ から $r=R$ まで運動する間に刻まれる固有時を $\tau _0$ とするなら、以前した計算と全く同じで
$$\tau _0=\int _0^{\tau _0}d\tau ={1\over c}\int _{r_0}^R{1\over {\sqrt{b^2-1+a/r}}}dr$$となります。
$$E={1\over 2}c^2(b^2-1) > 0$$を仮定していることを思い出すなら、この積分記号下の関数が積分区間 $[r_0, R]$ の端点を含めてすべての点で有界であることは明らかです。よって $\tau _0$ の値は有限であり、$r_0$ を出発後この有限の時間を自分たちの時計が刻む間に、$r=a$ を通過し $R$ の地点まで到達する経験を、宇宙船の乗組員はすることになります。
しかし、座標時間 $t$ で測ると、事情は異なります：今度は (\ref{eq:droverdtpm}) 式
\begin{equation} {{dr}\over {dt}}=\pm {c\over b}{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}\left( 1-{a\over r}\right) \label{eq:drdtpmcb} \end{equation}が必要ですが、ただここで右辺に現れる
$$1-{a\over r}$$は $r=a$ を境に符号を変えます。よって右辺の先頭の符号をどう選ぶかに少し迷います。そこで、宇宙船が $r=a$ から $r=R$ まで運動する間に座標時間 $t$ がどれだけ経過するかを、まず考えてみます。このとき $r$ の増加とともに $t$ も増加すると考えるのが自然です、従って (\ref{eq:drdtpmcb}) の右辺の先頭の符号は $+$ であって
$${{dr}\over {dt}}={c\over b}{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}\left( 1-{a\over r}\right) $$です。よってこの間の $t$ の経過時間を $t_1$ とするなら
$$t_1=\int _0^{t_1}dt={b\over c}\int _a^R\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}dr$$です。右辺の積分記号下の関数は $r=a$ の近傍で
$${{定数}\over {r-a}}$$の振る舞いをし、よって積分区間に $a$ が含まれる限り積分は発散します。
${\bf カール：}$
$$t_1=+\infty $$ということは何を意味しているのか、少し考える価値はありますね：$r=a$ を出てから $r=R$ に到達するまでにプラス無限大の座標時間が経過しているということは、この宇宙船が $r=a$ の地点を通過するという出来事の $t$ の値が $-\infty $ だということを意味していると考えざるを得ません。特に、この出来事は座標系 $t, x, y, z$ が覆う出来事には含まれていないことになります、宇宙船が落下して $r=a$ を横切る出来事についてと同じです。
宇宙船の世界線を描いてみると理解がよりしやすくなるかもしれません。宇宙船は $x$ 軸上を運動するとしていますから、時空図としては平面上に横軸 $x$ と縦軸 $t$ だけを描けば足ります。世界線の終点は $x=R$ の点ですが、それまでに $t_1=+\infty $ の座標時間が経過していることから、世界線は $t=-\infty $ の方向から伸びてくる $x=a$ の漸近線だと考えざるを得ません。
${\bf アル：}$ おそらくその解釈で間違いないでしょう。その世界線を完成させるために、宇宙船が $r=r_0 < a$ を出発後、$r=a$ に到達するまでを考えてみます：カールの描いてくれた時空図をそのまま使うとして、世界線の始点は $x=r_0$ であって $r$ が増加する方向へ伸びます。そのとき $t$ も増加するなら、$r > a$ の領域での世界線とつながりようがありません。$t$ が減少する方向に伸びるとするなら、
$$t=-\infty , \hskip 5mm x=a$$に対応する点で $r > a$ での世界線とつながる可能性が出てきます。（この点は座標系 $t, x, y, z$ が覆う出来事の範囲には含まれていないのですが、この点については後でもう一度考えましょう。）時間が逆行するとは何事か、と思うかもしれませんが、$t$ は各出来事を表す四つの数字（座標）の内の一つ、であってそれ以上の意味はありません。固有時間は実際の時計が刻む時間ですが、$t$ を刻む時計は想定していないのです。
従って (\ref{eq:drdtpmcb}) の右辺の先頭の符号はやはり $+$ であって
$${{dr}\over {dt}}={c\over b}{\sqrt{b^2-1+{a\over r}}}\left( 1-{a\over r}\right) $$です。よって $r=r_0$ から $r=a$ までに経過する座標時間 $t_2$ は
$$t_2=\int _0^{t_2}dt={b\over c}\int _{r_0}^a\left( b^2-1+{a\over r}\right) ^{-1/2}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}dr=-\infty $$によって与えられます。世界線は $x=r_0$ を始点として $t=-\infty $ の方向へ伸びる、直線 $x=a$ の漸近線になるでしょう。
${\bf カール：}$ 漸近線については納得しました、でもまだ、ブラックホールの「ブラック」の所以が納得できません。というよりむしろ、真っ黒に見えるわけがない、という確信が生まれてきました：
$$t=-\infty , \hskip 5mm x=a$$に対応する出来事を通してつながる一本の世界線があって、宇宙船はこの世界線に沿って $r < a$ の領域から $r > a$ の領域へ飛び出してくる、という結論が得られたように思います。 宇宙船という人工物を考えてきましたが、この宇宙船と同じような条件を満たす自然物が皆無だとはちょっと考えられません。そのような物体は $r=a$ の境界を突き抜けて $r > a$ の領域へ飛び出してくるはずです。おそらく、きっちり計算してみないと明言はできませんが、光も飛び出してくるでしょう。ならば、何故「ブラック」なのですか。
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