${\bf カール：}$ シュバルツシルトの解
$$ds^2=\left( 1-{a\over r}\right) (dx^0)^2-{1\over {1-a/r}}(dr)^2-r^2\left[ (d\theta )^2+\sin ^2\theta (d\phi )^2\right] $$を見ると $r=a$ で $(dr)^2$ の係数が発散します。ここで何か妙なことが起きるのかもしれません。少し検討してみる価値がありそうです。
${\bf アル：}$ $M$ が地球質量の場合 $a=9\ {\rm mm}$ です。地球の半径は $6000$ キロメートルですから、シュバルツシルトの解は物質のない時空の領域で $R_{\mu \nu }=0$ を解いて導いたものである以上、$r=a$ の地点を云々しても意味がありません。$M$ が太陽質量
$$M=2.0\times 10^{30}\ {\rm kg}$$の場合でさえ $a=3\ {\rm km}$ です。一方で太陽の半径は $70$ 万キロメートルです。こう考えると、$r=a$ の近辺でシュバルツシルトの解について議論することが意味を持つ質量 $M$ は、この世に存在しないのではと思うかもしれません。でも宇宙は広く多様であって、非常に小さな範囲に非常に大きな質量が凝縮し、その結果 $r=a$ の地点が物質分布の範囲の外側へ現れる天体が存在するのです。そのような天体はブラックホールと呼ばれています。中からは何も出てこない、光さえも出てこないために真っ黒に見える、しかし外にあるものはなんでもかんでも引きずり込んでしまう、そういう宇宙にぽっかり空いた穴、という意味の言葉として使われています。ここではブラックホールがなぜそのような性質を持つのかを、数学を駆使してもう少し正確に考えてみます。たとえば、$r=a$ では内側へ向けての引力が無限に大きくなり、その結果その壁を越えて $r > a$ の外側へ飛び出てくる物体はない、ということかもしれません。その辺の事情を少し調べてみたいのです：
ある宇宙船が、もちろん最初はロケットを噴射するなどして初速を得るとしても、その後は $M$ からの重力の影響だけの下で運動する場合を考えます。運動方程式
$${{d^2x^{\lambda }}\over {d\tau ^2}}+{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }{{dx^{\mu }}\over {d\tau }}{{dx^{\nu }}\over {d\tau }}=0$$の $\lambda =2$ の等式から、$\theta =\pi /2$ の平面（$x-y$ 平面）上の運動を考えて一般性を失わないこと、更に、$\lambda =0, 3$ の等式から
$$\left( 1-{a\over r}\right) {{dt}\over {d\tau }}=b=一定, \hskip 3mm r^2{{d\phi }\over {d\tau }}=h=一定$$であることが導かれます。ここまでは既に見た通りです。$\lambda =1$ の等式からは
\begin{equation} {{d^2r}\over {d\tau ^2}}+{{ac^2}\over {2r^2}}\left( 1-{a\over r}\right) \left( {{dt}\over {d\tau }}\right) ^2-{a\over {2r^2}}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-r\left( 1-{a\over r}\right) \left( {{d\phi }\over {d\tau }}\right) ^2=0 \label{eq:lambdaga0yori} \end{equation}が導かれます。$\tau $ は宇宙船の乗員の時計が刻む時間、つまり宇宙船の固有時です。
シュバルツシルトの解を表す等式からは
$$c^2=\left( 1-{a\over r}\right) \left( {{dx^0}\over {d\tau }}\right) ^2-\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-r^2\left( {{d\phi }\over {d\tau }}\right) ^2$$が得られますが、定数 $b, h$ を使うと
\begin{equation} \left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-{{ac^2}\over {r}}+{{h^2}\over {r^2}}-{{ah^2}\over {r^3}}=c^2(b^2-1) \label{eq:drdtauac2} \end{equation}と書き直すことができます。
ここで $\lambda =0$ の運動方程式から得た (\ref{eq:lambdaga0yori}) 式
$${{d^2r}\over {d\tau ^2}}+{{ac^2}\over {2r^2}}\left( 1-{a\over r}\right) \left( {{dt}\over {d\tau }}\right) ^2-{a\over {2r^2}}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-r\left( 1-{a\over r}\right) \left( {{d\phi }\over {d\tau }}\right) ^2=0$$も $b, h$ を使って書き直してみると $${{d^2r}\over {d\tau ^2}}+{{ab^2c^2}\over {2r^2}}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}-{a\over {2r^2}}\left( 1-{a\over r}\right) ^{-1}\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-{{h^2}\over {r^3}}\left( 1-{a\over r}\right) =0$$
となりますが、これに (\ref{eq:drdtauac2}) 式
$$\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-{{ac^2}\over r}+{{h^2}\over {r^2}}-{{ah^2}\over {r^3}}=c^2(b^2-1)$$を代入し、少し整理すると
$${{d^2r}\over {d\tau ^2}}=-{{ac^2}\over {2r^2}}+{{h^2}\over {r^3}}-{{3ah^2}\over {2r^4}}$$が得られます。この式の右辺の第三項がなければ - 時間変数が固有時に置き換わっていることは別として - ニュートンの式そのものです（$a=2GM/c^2$ に注意）。第二項目は遠心力に由来する項です。
ここで
$$V(r)=-{{ac^2}\over {2r}}+{{h^2}\over {2r^2}}-{{ah^2}\over {2r^3}}$$と置けば
$${{d^2r}\over {d\tau ^2}}=-{{dV}\over {dr}}$$となります。これで、ニュートンの「引力」に相当するものがわかりました。ちなみに先に得た (\ref{eq:drdtauac2}) 式
$$\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2-{{ac^2}\over {r}}+{{h^2}\over {r^2}}-{{ah^2}\over {r^3}}=c^2(b^2-1)$$式は、この $V$ を用いれば
$${1\over 2}\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2+V(r)={1\over 2}c^2(b^2-1)$$と書けます。そこで
$$E={1\over 2}c^2(b^2-1)$$と置けば、$E$ は質量 $1$ の物体の力学的エネルギーだと解釈できます。
$$\left( {{dr}\over {d\tau }}\right) ^2=2\left[ E-V(r)\right] $$であり、運動が許される領域は右辺が非負の $r$ の範囲でなければなりません。従ってもし仮に $V(a)=+\infty $ であれば、宇宙船の力学的エネルギー $E$ がどれほど大きくても、$r < a$ の領域から出発する限り決して $r > a$ の領域へ出ることはできません。
ところが、
$$V(r)=-{{ac^2}\over {2r}}+{{h^2}\over {2r^2}}-{{ah^2}\over {2r^3}}$$を見る限り、$r=a$ で無限大になることはありません。グラフの形を正確に知るために導関数
$$V'(r)={{ac^2}\over {2r^2}}-{{h^2}\over {r^3}}+{{3ah^2}\over {2r^4}}$$を見てみます。$V'(r)=0$ の両辺に $r^2$ をかければ $1/r$ の二次方程式とみれますが、まず
$$h \leq {\sqrt 3}ac$$のとき常に $V'(r)\geq 0$ であり、$r$ が $0$ から $r=\infty $ へ変わるに従い、$V(r)$ は $-\infty $ から単調に増加して $0$ へ近づくことがわかります。よってこの場合、宇宙船がどこにいても常に原点の方向への力が働きますが、しかし $r=a$ においてその力が無限に大きくなることはありません。$E > 0$ であれば、たとえ $r < a$ の領域に最初いたとしても $r=a$ を超えて $r=\infty $ の領域まで到達することは可能です。
$${\sqrt 3}ac < h$$の場合にも同様です。$V'(r)=0$ は二つの解をもち、$V(r)$ が極大値、極小値をとる $r$ をそれぞれ
$$r_{\max}, \hskip 5mm r_{min}$$で表すなら
$${1\over {r_{max}}}={1\over {3a}}\left( 1+{\sqrt{1-{{3a^2c^2}\over {h^2}}}}\right) ,\hskip 5mm {1\over {r_{min}}}={1\over {3a}}\left( 1-{\sqrt{1-{{3a^2c^2}\over {h^2}}}}\right) $$です。このとき $V(r_{max})$ は有限な値であり、もし $E < V(r_{max})$ であるならそのような $E$ を持つ宇宙船の動ける範囲は制限されますが、でも $E > V(r_{max})$ であるならそのような制限はなく、$r=a$ の面を内から外へ飛び出ることも可能です。
${\bf カール：}$ つまり、ブラックホールの「ブラック」の所以は、ニュートン的な意味での「引力」の概念だけでは説明できないということになりますね。水星の近日点が一世紀に $43$ 秒角だけ進んだり、太陽の表面近くを通過する光の進路がゆがんだりする事実は、アルの幾何学的理論がニュートンの力学理論の一つの精密化であることを示していると私は解釈してきました。
でも、ブラックホールの性質の説明がもしアルの幾何学的理論でできるのであれば、そのことは、アルの理論がニュートン理論の精密化などではなく、世界を見るための全く新しい視点であることを示していると、解釈すべきなように思います。
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