２４年１月１１日の記事でフーリエ変換に関する等式の上手な証明を思いつかず、保留したことがありました。厳密な証明をここで紹介してもあまり意味がないことで、そのつもりはないのですが、直観的に納得できるだけの材料を紹介することは、ある程度意味のあることだと思います。
問題は、$\psi (x)$ が $\vert x\vert $ が大きいところで急速に小さくなり、かつ何度でも微分可能な関数（急減少関数と呼ばれます）のとき
\begin{equation} \psi (x)={1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dte^{itx}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (y)e^{-ity}dy \label{eq:psixgaeixte-iyt} \end{equation}が任意の $x$ について成立することです。$x=0$ を代入すれば
\begin{equation} \psi (0)={1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt\int _{-\infty }^{\infty }\psi (y)e^{-ity}dy \label{eq:psi0gainteiy} \end{equation}となりますが、実はこの等式が証明できればもともとの $\psi (x)$ に関する等式が証明できます。任意の実数 $a$ に対し
$$\psi (x+a)$$も $x$ の関数として急減少関数であり、よって (\ref{eq:psi0gainteiy}) 式が適用できますが、その結果
$$\psi (a)={1\over {2\pi }}\int dte^{ita}\int \psi (y)e^{-ity}dy$$が得られるからです。
よって、以下では
\begin{equation} \psi (0)={1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{itx}dx \label{eq:psi0gainteix} \end{equation}を問題にします（指数関数の肩のマイナス記号は、$t$ の積分範囲から見て、あってもなくても同じですから簡単な方を選びます）。この等式は、右辺の積分の順序を交換すれば、形式的に
$$\psi (0)={1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dx\psi (x)\left[ \int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dt\right] $$と書けます、よって（あくまでも形式的に）
\begin{equation} \delta (x)={1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dt \label{eq:deltanosisu} \end{equation}と書けます。
(\ref{eq:deltanosisu}) 式の右辺は、普通の意味では
$${1\over {2\pi }}\int _{-T}^Te^{itx}dt={1\over {2\pi ix}}\left( e^{iTx}-e^{-iTx}\right) ={1\over {\pi x}}\sin Tx$$の $T\rightarrow \infty $ での極限値です（但し $x\not= 0$ の場合）。この極限値はもちろんこのままでは存在しません。しかしもともと $\psi (x)$ をかけて $x$ について積分することが前提としてあります。$\sin (Tx)$ は $T$ が大きくなるにつれて非常に短い周期で $\pm $ の値をとって振動する関数です。よって、$\psi (x)$ がほぼ定数であるほど狭く、しかも $0$ を含まない範囲での積分ならいつでも、近接した $x$ の間で $\psi (x)$ の値が互いを打ち消すことになり、結果としてほぼ $0$ が得られるはずです。$T$ が無限大の極限では $0$ になると考えられます。この打消しは $x\not= 0$ の近傍でいつでも起こることであり、
$$\delta (x)=0 \hskip 2mm (x\not= 0)$$であることに合致しています。
もし $x=0$ なら (\ref{eq:deltanosisu}) 式の右辺は、
$${1\over {2\pi }}\int _{-T}^Tdt={T\over {\pi }}$$の $T\rightarrow \infty $ での極限値であり、確かに $+\infty $ であって、$\delta (0)=+\infty $ と合います。
ただこれでは、$1/2\pi $ が先頭に必要な理由がわかりません。そこでもう少し丁寧に見てみます。(\ref{eq:deltanosisu}) 式
$$\delta (x)={1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dt$$の右辺に $1/2\pi $ が必要な理由を納得したいのですが、一つの方法は右辺を $x$ について積分して $1$ を得ることです。それはデルタ関数の定義に現れた
$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$$とも合致します。
右辺が $x=0$ 以外で $0$ であることは既に納得できたとします、よって任意の正数 $a$ に対し
\begin{eqnarray*} {1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt\int _{-a}^ae^{ixt}dx&=&{1\over {2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }dt{1\over t}\left( e^{iat}-e^{-iat}\right) \\ &=&{1\over {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt{1\over t}\sin at\\ &=&{1\over {\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }ds{1\over s}\sin s\\ &=&1 \end{eqnarray*}であることを導くことができれば一件落着です。最後の等式以外は問題ありません。念のためですが、最後から二番目の等式は変数変換 $t=s/a$ の結果です、$a$ は消えてしまいました（もちろんこれは $x\not= 0$ の範囲でいつでも $0$ であることから当然期待されます）。しかも実は最後の等式
$$\int _{-\infty }^{\infty }{1\over x}\sin xdx=\pi $$は「デイリクレ積分」の名でよく知られている積分です。普通は複素関数論の留数定理の応用として紹介され、大体の教科書にその証明方法が載っていますので、ここでは省略します。
ただ、これで終わってしまうのでは尻切れトンボと非難されますから、積分値が確かに有限な値として存在することだけは示しておきます：まずよく知られているように
$${{\sin x}\over x}\rightarrow 1\hskip 3mm (x\rightarrow 0)$$ですから、被積分関数
$${1\over x}\sin x$$は $x=0$ で連続であり、従って $x=0$ の付近での積分は収束します。よって、極限値
$$\lim _{X\rightarrow \infty }\int _0^X{1\over x}\sin xdx$$が有限な値として存在することを示せば十分です。
自然数 $n$ に対し
$$S_n=\int _0^{n\pi }{1\over x}\sin xdx$$と置けば、$\sin x/x$ のグラフを考えればわかるように
$$S_2 < S_3 < S_1$$です。同じように考えて
$$S_2 < S_4 < S_5 < S_3 < S_1$$です。もっと推し進めれば
$$S_2 < S_4<\cdots < S_{2n} < \cdots < S_{2n+1}<\cdots < S_3 < S_1$$です。つまり $S_{2n}$ は増加数列であり、$S_{2n+1}$ は減少数列です、しかも $n\rightarrow \infty $ に連れて
$$S_{2n+1}-S_{2n}=\int _{2n\pi }^{(2n+1)\pi }{1\over x}\sin xdx\leq {1\over {2n\pi }}\int _{2n\pi }^{(2n+1)\pi }\sin xdx={1\over {n\pi }}\rightarrow 0$$です。このことから $S_{2n}$ と $S_{2n+1}$ は共通の極限値を持つことがわかり、よってまた $S_n$ がその極限値に向かって限りなく近づくこともわかります。
任意の正数 $X$ について
$$\int _0^X{1\over x}\sin xdx$$は、ある $n$ について $S_n$ と $S_{n+1}$ の間にあり、よって
$$\lim _{X\rightarrow \infty }\int _0^X{1\over x}\sin xdx$$は確かに有限な値として存在します。この値が $\pi /2$ であるというのがデイリクレ積分の主張です。
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