今私は机においたパソコンに向かってキーボードをたたいていますが、机の面、あるいはそれをそのまままっすぐ広げた平面上の位置を数学的に表現する一つの方法として、座標による方法があります。つまり、どこかに原点 $O$ を定め、そこで直角に交わる二つの数直線を考えるのです。一方を $x$ 軸、他方を $y$ 軸と定め、平面上の任意の点に対しそこから各軸へおろした垂線の足の値 $x, y$ をもってして、その点の座標 $(x, y)$ と呼びます。
平面上の点と座標は、一方が他方を完全に決定しますが、ただ、原点や二本の数直線（以下座標系と呼びます）の置き方は色々あります。たとえば、新たな原点 $O'$ は $O$ と同じにするとしても、新たな座標軸は、$x, y$ 軸をそのまま反時計回りに $\theta $ 度回転して $x', y'$ 軸とする、という具合です。この時平面上の任意の点 $P$ に二つの座標 $(x, y), (x', y')$ が対応することになります。もちろんもともとの点が同一ですから、それを表す座標の間には決まった関係があるはずです。図に描いてみればわかりますが
$$x'=\cos \theta x+\sin \theta y, \hskip 2mm y'=-\sin \theta x+\cos \theta y$$です。行列を使うと
\begin{equation} \pmatrix{ x' \cr y'}=\pmatrix{ \cos \theta & \sin \theta \cr -\sin \theta & \cos \theta }\pmatrix{ x \cr y} \label{eq:coodtran} \end{equation}と書けます。
同一の点に対応する二つの座標の間の変換を「座標変換」と呼びますが、何の変哲もないこんなことが、とんでなく重宝なのです。座標系を変えて違う座標で点をあらわすとしても、平面という実体にとって本質的な事柄、たとえば幾何的な性質とか、あるいはその上で定義された関数についての性質とか、は何の影響も受けないはずです。このことを逆手に使って、その「本質的な事柄」を探し出すことができるのです。
たとえば、簡単な例として平面上の任意の二点 $P, Q$ 間の距離から決まる量 $d(P, Q)$ を考えてみます。「二点間の」と言う以上、二点の座標の差
$$\Delta x=x_P-x_Q, \hskip 2mm \Delta y=y_P-y_Q$$で表されると仮定するのは自然なことです。できるだけ簡単な「距離」を見いだすために、これらの二次式までを考えるとして
$$d(P, Q)=\alpha \Delta x+\beta \Delta y+\gamma (\Delta x)^2+\delta (\Delta x\Delta y)+\epsilon (\Delta y)^2$$と表されるとします。$\alpha , \beta , \gamma , \delta , \epsilon $ は座標系に依存しない定数としておきます。ここで、「二点間の距離」という以上、座標系を変えても値は不変でないと困ります、つまり
\begin{eqnarray*} &&\alpha \Delta x'+\beta \Delta y'+\gamma (\Delta x')^2+\delta (\Delta x'\Delta y')+\epsilon (\Delta y')^2\\ &&\hskip 2mm =\alpha \Delta x+\beta \Delta y+\gamma (\Delta x)^2+\delta (\Delta x\Delta y)+\epsilon (\Delta y)^2 \end{eqnarray*}でないと困ります。この等式が任意の回転角 $\theta $ に対して成立するためには、変換式を代入してみれば
$$\alpha =\beta =\delta =0, \hskip 2mm \gamma =\epsilon $$であることが必要十分だと分かります。
つまり、「距離」は定数倍を除いて
$$d(P, Q)=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$$に限るのです。いわゆるピタゴラスの定理としてわれわれがよく知っている事柄です。もちろんこの値の任意の多項式、あるいは関数は、座標系の変換のもとでいつでも不変ですが、最も簡単な「距離」を求めることができた、と考えてよいでしょう。
さて、もう少し上級の段階に進むとして、座標変換に関して不変な「方程式」を考えてみましょう：平面上の普通の関数とは、各点 $P$ に何らかの数値を対応させる規則のことです。従って $P$ を座標 $(x, y)$ で表すならば二変数の関数 $f(x, y)$ で表すことができます。たとえば
\begin{equation} f(x, y)=x+y \label{eq:fxyx+y} \end{equation}といった具合です。しかし座標系を変えれば同じ $P$ に新たな座標 $(x', y')$ が対応し、従って新たな二変数の関数 $f'(x', y')$ ができます。つまり
$$f'(x', y')=f(x, y)$$です。もちろん $(x, y)$ は、座標 $(x', y')$ を持つ点を、古い座標系から見る時の座標です。
$$\pmatrix{ x' \cr y'}=\pmatrix{ \cos \theta & \sin \theta \cr -\sin \theta & \cos \theta }\pmatrix{ x \cr y}$$を逆に解けば
$$\pmatrix{ x \cr y}=\pmatrix{ \cos \theta & -\sin \theta \cr \sin \theta & \cos \theta }\pmatrix{ x' \cr y'}$$ですから、たとえば (\ref{eq:fxyx+y}) で与えた例なら
\begin{eqnarray*} f'(x', y')&=&(\cos \theta x'-\sin \theta y')+(\sin \theta x'+\cos \theta y')\\ &=&(\cos \theta +\sin \theta )x'+(-\sin \theta +\cos \theta )y' \end{eqnarray*}となります。
さて、二変数の関数 $f(x, y)$ に何らかの作用 $\Omega $ （これから考えるのはいつでも、変数 $x, y$ についての微分で表される作用ですが）を施す時、等式
\begin{equation} \Omega 'f'(x', y')=\Omega f(x, y) \label{eq:omegadashtoo} \end{equation}が任意の座標変換（今考えている例では任意の回転角 $\theta $）について成立する $\Omega $ にはどんなものがあり得るか、という問題を考えてみます。ここで $\Omega '$ は $\Omega $ での $x, y$ を単純に $x', y'$ に置き換えて得られる微分作用素とします。言い換えれば、旧い座標系 $(x, y)$ で $f(x, y)$ を微分してから新しい座標系で見たものと、新しい座標系 $(x', y')$ で見た関数 $f'(x', y')$ を $\Omega $ と同じ形式で微分した関数が等しくなる、そういう微分の形式にはどんなものがあるかという問題です。
推論を助けるために、まず一変数の関数 $f(x)$ の場合を考えます。$a$ を定数として
$$x'=ax$$と置くと
$$f'(x')=f(x)=f(a^{-1}x')$$ですから、合成関数の微分公式によって
$${d\over {dx'}}f'(x')=a^{-1}{d\over {dx}}f(x)$$です。
これに相当する等式は、二変数の場合
\begin{eqnarray} &&{{\partial }\over {\partial x'}}f'(x', y')={{\partial x}\over {\partial x'}}{{\partial }\over {\partial x}}f(x, y)+{{\partial y}\over {\partial x'}}{{\partial }\over {\partial y}}f(x, y) \nonumber \\ &&=\cos \theta {{\partial }\over {\partial x}}f(x, y)+\sin \theta {{\partial }\over {\partial y}}f(x, y) \label{eq:costhepar} \\ &&{{\partial }\over {\partial y'}}f'(x', y')={{\partial x}\over {\partial y'}}{{\partial }\over {\partial x}}f(x, y)+{{\partial y}\over {\partial y'}}{{\partial }\over {\partial y}}f(x, y)\nonumber \\ &&=-\sin \theta {{\partial }\over {\partial x}}f(x, y)+\cos \theta {{\partial }\over {\partial y}}f(x, y)\label{eq:minussithepar} \end{eqnarray}です。
従って、もし仮に
$$\Omega ={{\partial }\over {\partial x}}=\partial _x$$と置くなら、
$$\Omega '={{\partial }\over {\partial x'}}=\partial _{x'}$$ですが
$$\Omega 'f'(x', y')=\cos \theta \Omega f(x, y)+\sin \theta \partial _yf(x, y)$$となって $\theta =0$ 以外では
$$\Omega 'f'(x', y')\not= \Omega f(x, y)$$です。つまり (\ref{eq:omegadashtoo}) の要請を満たしません。
ではこの要請を満たすような微分の形式は？という想いでもう一度 (\ref{eq:costhepar}) と (\ref{eq:minussithepar}) を眺めますと、
\begin{eqnarray*} &&\partial _{x'}^2f'(x', y')=\left( \cos \theta \partial _x+\sin \theta \partial _y\right) \left( \cos \theta \partial _x+\sin \theta \partial _y\right) f(x, y)\\ &&=\left( \cos ^2\theta \partial _x^2+2\cos \theta \sin \theta \partial _x\partial _y+\sin ^2\theta \partial _y^2\right) f(x, y)\\ &&\partial _{y'}^2f'(x', y')=\left( -\sin \theta \partial _x+\cos \theta \partial _y\right) \left( -\sin \theta \partial _x+\cos \theta \partial _y\right) f(x, y)\\ &&=\left( \sin ^2\theta \partial _x^2-2\sin \theta \cos \theta \partial _x\partial _y+\cos ^2\theta \partial _y^2\right) f(x, y) \end{eqnarray*}であることに気づきます。辺と辺を足し合わせれば
$$\left( \partial _{x'}^2+\partial _{y'}^2\right) f'(x', y')=\left( \partial _x^2+\partial _y^2\right) f(x, y)$$が成り立ちます。
つまり
$$\Omega =\partial _x^2+\partial _y^2$$とすれば
$$\Omega '=\partial _{x'}^2+\partial _{y'}^2$$ですから、すべての $\theta $ に対し (\ref{eq:omegadashtoo}) の要請
$$\Omega 'f'(x', y')=\Omega f(x, y)$$が成り立つことになります。
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