私の理想の数学教材 - その弐(2024年3月2日)
重力を記述する一般相対論を出す前に、アインシュタインは特殊相対論と呼ばれる理論を世に出しました。これは時間と空間に関する理論で、それまで別々に独立な存在として捉えられてきたものが、実は密接に絡み合ったものであることを示しました。アインシュタインは、この理論で曲がりのない時空間の概念をつくり上げ、続いて発表した一般相対論で、曲がった時空間の幾何学が重力の記述に他ならないことを示しました。
特殊相対論がよって立つ基礎は二つの原理です。その内の一つに「光速度不変の原理」と呼ばれる、実験によって確かめれれているある事実があります。『光は、観測者に対する光源の運動状態によらず、四方八方に、１秒間に
$$２９９,７９２．４５８\ {\rm km}$$進む』という内容です。今後この速さを「秒速３０万キロ」と言い、$c$ で表します。
この事実は、例えば次のような実験によって確かめられています：宇宙空間には連星と呼ばれる二つの星（太陽のような）からなる結合体があって、一方が他方の回りを非常な高速で周回しています。地球のわれわれにとっては、従って、遠ざかりつつある光源と近づきつつある光源が用意されていることになるのですが、この光源から届く光の速さをわれわれが測ると、いつでも一定値 $c$ が得られるのです。
光が持つこの性質は独特のものです；たとえばテニスボールを相手に向かってラケットで打つ場合を思い描いて下さい。同じ力具合でラケットを振るとしても、相手に向かって走りながら振る場合と、じっと静止した状態で振る場合とでは、それを受ける相手方にとってのボールの速さに違いが出ることは、各自今までの経験を幾つか想い起して見れば納得できるのでしょう。テニスボールの場合はそれでいいのですが、光の場合は違うのです。
さて、この原理をもとに簡単な数学的推論をするだけで、思いもかけない結果が得られます：まっすぐに伸びる線路の上を速さ $v$ で疾走する列車があるとします。もちろんこの $v$ は地上の人たちが測る速さです。乗客の一人（A君と呼びます）がたばこを吸うためにマッチをすったとして、そこから出た光を考えましょう。この列車には床と天井に鏡がはってあるとすれば、その光はその鏡の間を反射して行き来することになります。ただ、床に垂直な方向に進む光はいつまでも、A君の位置を離れず上下に往復し続けますが、そうでない方向、床に斜めに進みだした光は、反射を繰り返すうちにどんどん遠のき、再び帰ってくることはありません。その結果、A君や他の乗客たちにとって垂直な方向に上下運動する光だけが残ることになります。
さて、A君にとって件の光の速さは $c$ です。このことは「光速度不変の原理」が保証しています。何故なら、この光の光源はA君にとって静止していたマッチですが、とにかく、『観測者に対する光源の運動状態によらず光は速さ $c$ で進む』のです。よって、床から天井までの距離を $y$ とし、床から天井へ達しそこで反射して再び床を打つまでの所要時間を $2t$ で表す、つまり、片道の所要時間を $t$ とすれば
\begin{equation} ct=y \label{eq:cty} \end{equation}が成り立ちます。
ところで、A君たち乗客にとって天井と床の間を垂直運動する光は、地上にいる人たちにとってはどう見えるかを考えてみます；床を出発した光が上の方向へ進む間に、列車自体が移動しますから、地上の観測者にとっては、件の光は斜めの方向へ進むことになります。次の図の矢印のようにです。
つまり、地上の人達にとって件の光は、縦の一辺の長さが $y$ である直角三角形の斜辺を上り、そして下ることになります。当然、これら斜辺はそれぞれ $y$ より長く、上って下る間に光の進む距離は $2y$ を超えます。ところが、再び光速度不変の原理によれば、地上の人達にとっても光の速さは $c$ のはず。よって、先に定めた $2t$ の間では斜辺の上り下りは完了できません、$c(2t)=2y$ にしかならないからです。言い換えれば、地上の人達にとって光が斜辺の上り下りを完了するための所要時間は $2t$ より長いのです。
繰り返しますが、光が床から天井に達し、折り返して再び床に到達する間の経過時間は、車中のA君にとって $2t$ であったとしても、地上の人達にとってはもっと長いのです。光速度不変の原理から導かれるこの避けようのない結果は、われわれが暗黙の裡に信じている常識、『時間の進み方は誰にとっても同じである』という常識を覆すものです。
どのくらい長いかは、ピタゴラスの定理さえ使えれば容易に導くことができます：地上の人達にとっての所要時間を $2T$ で表します、つまり斜辺を上るだけ、あるいは下るだけの所要時間を $T$ とするのです。すると
の関係が成り立ちます。地上の人達にとっての光の速さは $c$ であり、列車の速さは $v$ だからです。よって
$$(cT)^2=y^2+(vT)^2$$です。これに $y=ct$ を代入して
$$c^2T^2=c^2t^2+v^2T^2$$であり、求めたい $T$ に着目して
$$T^2={{c^2t^2}\over {c^2-v^2}}$$つまり
$$T={t\over {\sqrt{ 1-(v/c)^2}}}$$が得られます。
A君の時計が $2t$ の時間を刻む間に、地上の時計は
$$2T={{2t}\over {\sqrt{ 1-(v/c)^2}}} > 2t$$の時間を刻むのです。分母は $1$ より小さく確かに、$2t$ より大です。
なーんだ！『動いている時計は狂う』と言っているだけか、と思わないでください。時計だけではなく、あらゆる物事の進み方、身体の機能、例えば心臓の鼓動とか、そんなもののテンポもすべてゆっくりになります。あらゆるものの時間的変化がまったく同じ割合で遅れるのです。このことはもう一つの原理、「特殊相対性原理」と組み合わせて導かれます。従って将来、双子の内の一人が宇宙旅行に旅立ち、再び地球に帰還してみると、自分は若いままであるにも関わらず、ひどく年老いた兄弟に再会する、という経験をすることになります。人間で実験することはもちろんできていませんが、同等な実験はすでに何度も行われ、理論どおりの結果が確認済みです。
少し長い説明になってしまいましたが、難しい数学は一切使っていません、三平方の定理という中学生の段階で学ぶ、ごく基本的な数学を使って推論を進めただけで、光速度不変の原理が意味するところの一側面を明らかにすることができました。ここに得られた結果の重大さはおそらく誰でも理解できるでしょう、そして推論自体の簡単明瞭さにも、おそらく誰でも心打たれます。見事としか言いようのない数学の使い方です。
ほかの事、たとえば音楽でも文学でも、同じだろうと思いますが、数学を通してもやはり、優れた精神の働きにこんなふうに接することができます。アインシュタインは『神の考え方が知りたい』と言いました。そして、その考え方をおそらく、数学を通して語ってくれているのだと思います。数学にはこんな醍醐味と面白味があることを、私はひろく子どもたちに知らしめたいのです。
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