以前から少し気になっていたことに「光子の量子力学」があります。場の量子論で現れる光子の記述ではその個数と統計性が扱われ、一つの光子の時空内での振る舞いに焦点が当たることはないように思います。電子についてのシュレデインガー理論に対応するものがないのかと気になっているのですが、その種の記述がまったくないわけではありません。デイラックの有名な教科書「量子力学」の中に、「ある決まった進行の状態」というものが定義されていて、それぞれに波動関数が伴っていることが「一番たいせつな点」だと強調されています。その波動関数は、光子を検出する観測を行う時に特定の場所に見い出される確率を与えるというのです。ただ、その波動関数が従う方程式などについては全く言及がなく、その意味で定性的な議論の段階で終わっています。
光子はそもそも相対論的な粒子であり、その波動関数に関する方程式を見いだすとしても、デイラックが電子の相対論的方程式を見出した時と同じように、ローレンツ変換に関する変換性を基礎に置くべきだと思われます。オッペンハイマー（有名な「原爆の父」です）などが試みた様子があるのですが、はっきりした結論を見いだすことができません。
電気学会論文誌 A 109 巻 2 号 pp. 49-55 (1989)に「光子に対する量子力学の構成および Maxwell 方程式との関係」（笹部・安達著）という論文があり、「光子の波動関数」とその運動方程式が導入され、マックスウェルの方程式との関係まで論じています。デイラックの相対論的電子論のような「天恵」という感じはしませんが、まとまりのある一つの試案にはなっていますので、内容を簡単に紹介します：
光子の運動量 ${\bf p}$ とエネルギー $E$ との間には
$$E=cp\hskip 2mm (p=\vert {\bf p}\vert )$$の関係がありますが、ド・ブロイ-アインシュタインの関係式
$${\bf p}=\hbar {\bf k}, \hskip 2mm \vert {\bf k}\vert (\equiv k)=2\pi /\lambda $$ $$E=\hbar \omega , \hskip 2mm \omega =2\pi \nu $$ $$\hbar =h/2\pi $$を考慮するなら、確定した運動量 ${\bf p}$ とエネルギー $E$ で飛んでいる光子に平面波
$$e^{i({\bf p}\cdot {\bf r}-Et)/\hbar }$$が付随していると考えることは自然です。
この波の進行方向は ${\bf k}$ ですが、これに垂直な偏極の方向として ${\bf e}_1, {\bf e}_2$ を考えます。もちろん長さは共に $1$ です。これらの関係は
$${\bf e}_1\cdot {\bf e}_2=0, \hskip 2mm {\bf k}\cdot {\bf e}_1={\bf k}\cdot {\bf e}_2=0$$ $${\bf k}\times {\bf e}_1=k{\bf e}_2, \hskip 2mm {\bf k}\times {\bf e}_2=-k{\bf e}_1$$です。但し $\times $ はベクトル積を表します。ここで
$${\bf e}={\bf e}_1+i{\bf e}_2$$と置けば（$i$ は虚数単位）
$$i{\bf k}\times {\bf e}=k{\bf e}$$が成り立ちます。
さて
$$\Phi (t, {\bf r})={\bf e}e^{i({\bf p}\cdot {\bf r}-Et)/{\hbar }}$$と置くと
\begin{equation} i\partial _t\Phi =c{\bf \bigtriangledown }\times \Phi \label{eq:ipartiPhi} \end{equation}が成立します。これは、関係式 $E=cp$ によって導けます。 但し
$${\bf \bigtriangledown }=(\partial _x, \partial _y, \partial _z)$$です。
そこで、上記の方程式 (\ref{eq:ipartiPhi}) を満たす $\Phi $ をもってして、運動量とエネルギーの確定した状態のみならず、光子の任意の状態に付随する波動関数だとみます。この約束事が正しいかどうかは、もちろん、自然現象に対する正しい説明と予言をなしうるかで決まります:
まず確率密度を
$$\rho =\Phi ^{\dagger }\Phi $$によって定めます。但し
$$\int \rho d^3{\bf r}=1$$であるように $\Phi $ を規格化しておきます。この時
$${\bf J}=-ic\Phi ^{\dagger }\times \Phi $$と置けば
$$\partial _t\rho +{\rm div}{\bf J}=0$$が成り立ちます。従ってガウスの積分定理により
$${d\over {dt}}\int _Vd^3{\bf r}+\int _S{\bf J}\cdot {\bf n}dA=0$$が任意の三次元領域 $V$ とその表面 $S$ について成立します。但し ${\bf n}$ は $S$ の各点で定義された法線ベクトル（長さ $1$）で $dA$ は面積分です。つまり、${\bf J}$ を確率の流れとみなせば、領域 $V$ 内での確率の変化と境界面での確率の出入りとが、ちょうどつじつまの合う形になっています。
さて位置の平均値についてみてみます。
$$\langle {\hat {\bf r}}\rangle =\int \Phi ^{\dagger }{\bf r}\Phi d^3{\bf r}$$と置くのが自然でしょう。積分は全空間でとります。すると、
$${d\over {dt}}\langle {\hat {\bf r}}\rangle =\int \partial _t(\Phi ^{\dagger }{\bf r}\Phi )d^3{\bf r}$$ですが、運動方程式を代入して少し変形すると
$${d\over {dt}}\langle {\hat {\bf r}}\rangle =\int {\bf J}d^3{\bf r}$$ここでもし、$\Phi $ がかなり狭い範囲に局在していて、その中心部の速度が定数ベクトル ${\bf v}$ で近似できるなら
$${d\over {dt}}\langle {\hat {\bf r}}\rangle ={\bf v}\int {\rho }d^3{\bf r}={\bf v}$$となります。これは当然期待されるべき関係式です。
また、運動量についてはその平均値を
$$\langle {\hat {\bf p}}\rangle ={{\hbar }\over i}\int \Phi ^{\dagger }(\partial _{\bf r}\Phi )d^3{\bf r}$$と置けば、
$${d\over {dt}}\langle {\hat {\bf p}}\rangle ={{\hbar }\over i}\int \left[ \partial _t\Phi ^{\dagger }(\partial _{\bf r}\Phi )+\Phi ^{\dagger }(\partial _{\bf r}\partial _t\Phi ) \right] d^3{\bf r}$$ですが、運動方程式を代入すると
$${d\over {dt}}\langle {\hat {\bf p}}\rangle =0$$が導かれます。これも、自由に運動している光子について、期待通りの結果です。
更にまた、計算は略しますが、運動方程式を場 $\Phi $ に関する場の方程式と見て第二量子化しますと、$\rho $ は光子数を表す演算子に一致し、その積分は全光子数を表します。
また $\Phi $ を実部と虚部に分けて
$$\Phi ={\bf E}+ic{\bf B}$$によってベクトル場 ${\bf E}$ と ${\bf B}$ を定義しますと、この ${\bf E}, {\bf B}$ がマクスウェルの電磁場の方程式を満たします（もちろん電荷と電流がない場合の）。
著者は、『本論文で得られた結果に関しては十分に満足のゆくものであり…』という言葉で締めくくっています。ただ、私としては、ローレンツ変換に関して不変な方程式がないというオッペンハイマーの示唆が、どうも気になって仕方がありません。
目次を表示