無限小量を駆使する計算法である微分積分学、特に微分方程式の手法を手にしたことにより、人類は天界の惑星も地上界の物体も、共に同じ規則のもとで運動していることに気づきました。もちろん数学だけがそれに寄与したわけではありません、コペルニクスやケプラーなどの天文学者の貢献があってこそです。しかし、最後の一歩がニュートンにより刻まれたことは確かであり、そこで微分積分学が決定的な役割を果たしたことも確かです。
月より上の世界は神の領域で自分たちの住む地上界とはまったく異質であると信じていた人々に、そこには境界も何もないことを知らしめた、それが微分積分学だったのです。
アインシュタインは特殊相対論を１９０５年に発表しました。ただ、重力が関係する現象はこの理論の対象範囲からはずれていました。アインシュタインの次の目標は重力に関わる現象をも包括して扱える理論だったのですが、その最初の手がかりが、先に紹介した「等価原理」だったのです。地球や太陽などにより生じる重力のもとで運動する物体の、時空間内での経路が物体に寄らないという、この等価原理は、その経路が時空間そのものに付随したものである可能性を示唆しています。従って、地球や太陽などの存在が時空間の幾何学的構造を決定し、その構造から決まる特別な経路に沿って諸々の物体は運動する、という見方を当然思いつきます。
つまり重力は、ニュートン力学が言うような『質量の積に比例し距離の二乗に反比例する大きさで働く』という形で記述されるべきものではなく、時空の幾何学として記述されるべきものだというアイデイアです。時空自体が持つ幾何学的構造を問題にすることになるのですが、さすがのアインシュタインも独力でそれを見いだすことは諦めたようで、友人の数学者に何か使えそうなものはないかと尋ねたそうです。友人が見つけてきたのが、ガウスやリーマンによってその少し前に完成されたばかりのリーマン幾何学でした。この理論の考え方を用いて、数年の試行錯誤の上、一般相対論が完成されました。
球面とかドーナツの表面とか、一般に３次元空間内の曲面の表面には、自然にリーマン幾何学の構造が定義できます。その場合、決して自明なことではないと分かって欲しいのですが、曲面の曲がり方がその曲面の上を這いまわるだけで判断できるのです。つまり曲面の外から眺める必要がないのです。同じように、時空にリーマン幾何学の構造を考えると、その曲がり方とも言える量、曲率と呼ばれますが、その量が時空に内在する量として定義できます。地球や太陽などの物体の存在から曲率が決まるという形で、現実に現れる時空が決定されるのです。
こうして、時空、つまり、時間と場所の集合体が、曲面と同じような、曲率をそなえた幾何学的対象として捉えられことになったのです。
今一生懸命、量子力学について解説しています。電子や光子などの微視的物体は、観測されていない時には、一般に「重ね合わせの状態」にあるという点が、巨視的な物体にはない顕著な特徴でした。位置でさえ、観測して確かめた時以外、『どこかに居る』とは考えていけないのです。そう考えると途端に実際の現象に矛盾する結果が得られます。どこかに居るという状態ではない、「いろんな場所に現れる可能性の段階にとどまっている状態」が実際に存在するのです。そういう状態を表すのに、ベクトルを用いると好都合であることを強調してきました。
ベクトルや行列の理論は、微視的粒子の不思議な振る舞いが物理学者の間で問題になる少し前に、数学者によって用意されていました。和や差の演算が、普通の数の間だけではなく、もっと広い範囲の対象に対して可能であると言う認識が行き渡っていたのです。そうであったからこそ、微視的物体の不思議な状態を理解することができたのだと思います。
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