「誰が数学嫌いにしたのか」その参(2024年2月19日)
たとえば微分積分学で言えば、その考え方を学ぶということは、「無限小」と呼ばれる量の意味するところとその使い方を会得するところにあります。（このことについては細かい点は完全に一致しないかもしれませんが、大筋では、数学を学んだ多くの人が同意してくれると思います。）「無限小」とは、敢えて言うなら、『$0$ より大きいという意味で正数であって、かつ、どんな正数より小さな数』と言える数ですが、この文言の中に既に矛盾を含む数であり、従って、普通の数としては存在し得ません。この量を表に出さずに微分積分学を構成することはもちろんできます、実際普通の教科書ではみなそうしてあります。しかし、千年以上に及ぶ微分積分学の発展の歴史を見ますと、それはこの量を上手に使いこなせるようになるための時間であったことは、ほとんど明白に思えます。
地球や火星などの惑星が描く軌道は、太陽を一つの焦点とする楕円です。その運動において、速さがどう変化するかを示す法則が「ニュートンの面積則」ですが、『太陽と惑星を結ぶ線分（動径）が描く（掃く）図形の面積は時間に比例する』という内容です。『太陽と惑星を結ぶ線分が一秒間に掃く図形の面積は常に一定である』とも言えます。もちろん、ケプラーの第二法則に他なりません。
ニュートンはこの面積則を、慣性の法則、つまり『物体はすべて、外部からの力が加わらない限り、一直線上を一定の速さで運動し続ける』という法則と、『惑星には常に太陽の方向へ向けての力が働く』という仮定を用いて、次のように証明しました。但し、『力が働くとその方向への加速度が生じる』というニュートンの運動法則は用います。この証明を見ると、ニュートンが無限小の意味と使い方を会得していることがわかります：
図の $S$ は太陽です。時間を等しい有限の長さの間隔に分けます。惑星は、第一の時間間隔では $A$ から $B$ まで慣性の法則に従って移動するとします。第二の時間間隔でもそのまま慣性の法則通り動くのであれば同じ速度を保って $c$ まで到達するはずです。ここで $AB=Bc$ です。しかし $B$ において一瞬力が働くとすれば、力によって生じる $BS$ 方向の速度が加わり、少し太陽の方向へ傾いた $BH$ 方向の速度に修正されます。この速度で進み、第二の時間間隔が終わる時に到達する点は、$c$ から $BS$ と平行に引いた直線が $BH$ と交わる点 $C$ だと考えられます。
従って動径が第二の時間間隔の間に掃く三角形 $SBC$ の面積は、三角形 $SBc$ の面積に等しく、よって（$AB=Bc$ ですから）第一の時間間隔の間に掃く図形 $SAB$ の面積に等しいことになります。この推論はすべての時間間隔において成り立ち、各時間間隔の間に動径が掃く三角形の面積がすべて等しいことになります。
最後に、各時間間隔を徐々に短くし、その極限である無限小の時間間隔を考えます。すると、絶え間なく太陽から力を受けて運動する状況が得られますが、無限小の各時間間隔に動径が掃く無限に小さな三角形の面積も、すべて等しいことになります。単位時間に動径が掃く図形は常に、それら無限に小さな三角形の同数個からなると考えられ、よって、同じ面積を持つと言えます。以上が、絶え間なく太陽から力を受けながら運動する惑星について、面積則が成立することのニュートンによる証明です。
無限小量が自然現象の中に現れる具体的な現れ方を明らかにすることにより、それが論理的矛盾を生じることなく使える方法のあることを実証したのが、ニュートンでした。その方法こそが微分積分学として後に受け継がれ、発展してきました。その意味で、微分積分学の一つの意味付けを、ニュートンは自然現象の中に見い出したのです。私には、この意味付けという点が、数学を、あるいは数学の考え方を身につける際に、本質的に重要な役割を果たすと思えるのです。
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