昨日の記事の最後に『実在性を仮定し、更に局所性をも仮定して $S$ を計算する限り、
$$-2\leq S\leq 2$$の範囲に $S$ がなくてはいけないことが証明できます』と書きましたが、やはりどう証明するかを書いておきます：
光子がある偏光板に遭遇する時、それを通過するか否かは光子が生成された時点で決められている、という意味の実在性を仮定します。すると、たとえば赤猫君のもとへやってくる各光子について、$a, u, b, v$ 方向の偏光板に遭遇する際どう振る舞うかはあらかじめ決まっていることになります。多数個 $N$ 個の光子が赤猫君のもとへやって来るとして、その内これら四つの方向の偏光板すべてを通過するはずの光子の個数を $n(+, +, +, +)$ で表します。$a, u, b$ の方向の偏光板は通過するが、$v$ 方向の偏光板は通過しない光子の個数は $n(+, +, +, -)$ です。他についても同様です。
この記号を使うなら
$$\langle AU\rangle =\left[ -n(+, +, x, x)-n(-, -, x, x)+n(+, -, x, x)+n(-, +, x, x)\right] /N$$です。但し、$x$ の記号は、この場所へ $+, -$ を独立に入れて和を取ることを意味します。たとえば
$$n(+, +, x, x)=n(+, +, +, +)+n(+, +, +, -)+n(+, +, -, +)+n(+, +, -, -)$$です。赤猫君と黒猫君のもとへやって来る光子の偏極方向は直交していることを思い出してください、従って、例えば赤猫君について $u$ が $+$ であれば、黒猫君の光子は $u$ の方向の偏光板を通過しません。
同じように考えて、
$$\langle AV\rangle =\left[ -n(+, x, x, +)-n(-, x, x, -)+n(+, x, x, -)+n(-, x, x, +)\right] /N$$です。$\langle BU\rangle $ と $\langle BV\rangle $ についても同様に書けます。
これらの表示を
$$S=\langle AU\rangle +\langle AV\rangle -\langle BU\rangle +\langle BV\rangle $$へ代入し、整理すると
$$S=2\left[ \pm n(x, x, x, x)\right] /N$$の形になります。
大括弧の中身は $x$ の位置に $+$ と $-$ の組み合わせがもれなく入った $16$ 個の項からなります。それぞれの符号は $+$ あるいは $-$ です。もちろん符合をすべて $+$ に書き換えた値（それは $N$ です）より小さく、すべて $-$ に書き換えた値（$-N$ です）より大きくなります。よって
$$-2\leq S\leq 2$$でなくてはいけません。
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