2022年ノーベル物理学賞(2024年2月13日)
図（「日経サイエンス」2023年12月号 p.57 からコピー）の中央の装置からは、右と左へ飛ぶ光子の偏極の方向が常に直交するように観測される光子対が発射されます。その光子対の状態は数式で表すと
$$\psi ={1\over {\sqrt 2}}\left( a_R\otimes a'_B-a'_R\otimes a_B \right) $$です。$a$ は任意の長さ $1$ の平面ベクトル、$a'$ は $a$ を反時計回りに $\pi /2$ だけ回転したベクトルとし、添え字の $R, B$ はそれぞれ赤猫、黒猫側の状態を表します。赤猫君のベクトルと、黒猫君のベクトルの組み合わせ（形式的な直積 $\otimes $）によって生成されるベクトル空間（四次元）が考えられますが、$\psi $ はその空間に含まれるベクトルです。
平面ベクトル $c$ を $a$ を反時計回りに $\phi $ だけ回転したベクトルとすれば
\begin{eqnarray*} a&=&\cos \phi c-\sin \phi c' \\ a'&=&\sin \phi c+\cos \phi c' \end{eqnarray*}ですが、これを上記の $\psi $ に代入すれば
$$\psi ={1\over {\sqrt 2}}\left( c_R\otimes c'_B-c'_R\otimes c_B \right) $$となります。最初に述べた『ベクトル $a$ は任意』はこのことを指します。こうだからこそ、赤猫君と黒猫君の一方が自分のもとへ飛んでくる光子を任意のある方向の偏光板にあて、それを通過する光子を見いだすのであれば、他方の猫がそれと直交する偏光板に自分の光子を当てる時、必ずそれを通過する光子を見いだすことになります。
後で使いたいのですが、このベクトル $c, c'$ を用いて黒猫君の $a, a'$ を書き換えることもできます。結果は
\begin{equation} \psi ={1\over {\sqrt 2}}\left( \sin \phi a_R\otimes c_B+\cos \phi a_R\otimes c'_B-\cos \phi a'_R\otimes c_B+\sin \phi a'_R\otimes c'_B \right) \label{eq:psikakikae} \end{equation}です。この形は後で参照します。
ちなみに、互いに平行な方向に偏極して検出される光子対も作ることができます。その場合の状態は
$$\psi ={1\over {\sqrt 2}}\left( a_R\otimes a_B+a'_R\otimes a'_B \right) $$です。この状態を使ってでも以下と同じ議論ができますが、ここでは直交する光子対を使います。
図の赤猫君は二つの方向 $a, b$ の偏光板を用意し、自分のもとへやってくる光子をそのどちらかに当てて通過するかどうかを観測するとします。ベクトル $a$ 方向の偏光板にあてて通過すれば $A=+1$ とし、通過しなければ $A=-1$ と置きます。$b$ 方向の偏光板に当てる時も同様にして $B$ の値を定めます。
黒猫君についても同様で、彼は $u, v$ 方向の偏光板を用意し、それらを使って $U, V$ の値を記録します。
図の中央の装置で次々に光子対が生成され、右と左へ発射されるとし、二匹の猫君は、一方は $A, B$ の、もう一方は $U, V$ の値の記録を吐き出します。この時、積 $AU$ の平均値 $\langle AU\rangle $ を計算することができます。つまり、一つの光子対の一方を赤猫君が $a$ の偏光板に通し、他方を黒猫君が $u$ の偏光板に通した場合の光子対をすべて取り出して、積 $AU$ の平均値を求めるのです。
たとえば、$a=u$ の場合を考えてみます。$A=+1$ が記録される光子対については黒猫君の方へ飛ぶ光子は必ず $a'=u'$ 方向へ偏極して検出されますから、よって $U=-1$ が記録されるはずです。$A=-1$ である光子対については $U=+1$ です。つまりいつでも $AU=-1$ であり、従って $\langle AU\rangle =-1$ です。
慣れるために、一般の場合として、$u$ が $a$ を反時計回りに角度 $\theta $ だけ回転して得られるベクトルとして $\langle AU\rangle $ を計算してみます。(\ref{eq:psikakikae}) 式で求めておきましたが、
$$\psi ={1\over {\sqrt 2}}\left( \sin \theta a_R\otimes u_B+\cos \theta a_R\otimes u'_B-\cos \theta a'_R\otimes u_B+\sin \theta a'_R\otimes u'_B \right) $$です。従って、$A=+1$ かつ $U=+1$ である確率、もしくは $A=-1$ かつ $U=-1$ である確率は両方とも $\sin ^2\theta /2$ であり、$A=+1$ かつ $U=-1$ である確率、もしくは $A=-1$ かつ $U=+1$ である確率は両方とも $\cos ^2\theta /2$ です。従って
$$\langle AU\rangle =\sin ^2\theta -\cos ^2\theta =-\cos (2\theta )$$です。
まったく同様に、
$$\langle AV\rangle , \hskip 2mm \langle BU\rangle , \hskip 2mm \langle BV\rangle $$が考えられます。これらを具体的に計算するために、$b$ は $a$ を反時計回りに $\pi /4$ だけ回転したベクトル、$v$ は $u$ を同じく $\pi /4$ 回転したベクトルとします。$u$ と $a$ はこれまで通り、$\theta $ を成すとします。すると $a, v$ の成す角は
$$\theta +{\pi \over 4}$$です。従って
$$\langle AV\rangle =-\cos 2(\theta +\pi /4)=\sin 2\theta $$です。
同様に計算して
$$\langle BU\rangle =-\cos 2(\theta -\pi /4)=-\sin 2\theta $$ $$\langle BV\rangle =-\cos 2\theta $$が得られます。
ここで
$$S=\langle AU\rangle +\langle AV\rangle -\langle BU\rangle +\langle BV\rangle $$と置きます。すると上で求めたそれぞれの平均値を代入して
$$S=-2{\sqrt 2}\cos \left( 2\theta +{\pi \over 4}\right) $$が得られます。従って、$a, u$ の関係を変化させる、つまり $\theta $ を変化させれば、$S$ の値は $-2{\sqrt 2}$ から $+2{\sqrt 2}$ の間の値をとり得ることになります。
２０２２年のノーベル物理学賞は、$S$ のこの性質を、量子力学を使って得られるこの性質を、実際の実験で確かめた功績によって、アラン・アスペ、ジョン・クラウザー、アントン・ツアイリンガーの三氏に与えられました（写真は「日経サイエンス」2022年12月号 p.10 からコピー）。なぜこの性質の確認がそれほど高く評価されたのかと言えば、物理学的世界観の変革、それは量子力学の出現によって避けがたいものと思われてはいたのですが、それをはっきりと、有無を言わせぬ形で実証したことになるからです。
常識的に考えるなら、赤猫君と黒猫君の方向へ向かって光子対発生装置を飛び出ていく二つの光子の性質は、装置を飛び出した時点で決まっているはずです。特に、ある方向の偏光板に遭遇する時、それを通過するかしないかは、装置を出る時点で決まっていると考えられます。量子力学で現れる「通過するともしないとも決まっていない重ね合わせの状態」のようなことはないということです。現実世界で現れる性質を明確に持って光子が存在するという意味で、『実在的である』という言葉で光子のこの性質を表しましょう。
さて更に、赤猫君と黒猫君の位置が十分遠くに離れているとします。その時、赤猫君がどんな方向の偏光板を使おうが、あるいは、赤猫君の光子がその偏光板を通過しようがしまいが、黒猫君の光子の実在としての性質を変えることはないと考えられます。黒猫君の振る舞いが赤猫君の光子の実在的性質を変えることがないのも同様です。ここから遠く離れた位置にある光子の実在としての性質が、ここで行われる操作、あるいはここで起きる出来事によって変更されることはないという、常識的に考えて当然なこの事柄を、『影響の伝播は局所的である』と言う言葉で表しましょう。
実在性が成り立つ時、たとえば一つのケースとして、対を成す光子のそれぞれは、一つの偏光板に遭遇する時、$1/2$ ずつの確率で通過したり通過しなかったりする場合が考えられます。この時、更に「局所性」から、たとえば赤猫君の光子が $a$ の偏光板を通過し、かつ、黒猫君の光子が $u$ 方向の偏光板を通過する確率は $1/4$ です（局所性によってそれぞれの事象は独立ですから）。つまり $A=+1, U=+1$ である確率は $1/4$ なのです。他のケースもすべて確率 $1/4$ であり、従って $\langle AU\rangle=0$ です。同じように
$$\langle AV\rangle =\langle B U\rangle =\langle BV\rangle =0$$であり、よって
$$S=0$$となります。
非常にわかりやすいケースについて計算して $S=0$ を導きましたが、一般に、実在性を仮定し、更に局所性をも仮定して $S$ を計算する限り、
$$-2\leq S\leq 2$$の範囲に $S$ がなくてはいけないことが証明できます。従って、ノーベル賞を受けた三人の物理屋さんの発見、『$S$ が
$$-2{\sqrt 2}\leq S\leq 2{\sqrt 2}$$の範囲の値を取り得る』という結果は、実在性と局所性の少なくとも一方が、この現実世界で破綻していることを示したことになるのです。
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