推論の途中で軌道修正を繰り返したがために、少しわかりにくかったかもしれません。ここまでの結果をまとめておきます：ニュートン力学では一つの粒子の状態を位置と速度（あるいは運動量）で表します。特にそれら二つは、両方共に、瞬間瞬間において確定すると考えます。だからこそ「軌道」を考え、その上の各点で速度ベクトルを考えることができたのです。しかしそのニュートン力学を原子内の電子に適用してみると、電子は原子核とたちまちの内に合体してしまうことになり、原子が安定して存在することが説明できません。ボールや月や惑星のような、マクロな物体を対象としてきたニュートン力学では、それがために見落としているもの、あるいは知らず知らずの内に無視しているものがあり、その見落としのために、電子などのミクロな物体に適用すると破綻を生じる、のだと考えられます。従って、その見落としたものを改めて取り込んだ力学を探しだす必要があります。
ド・ブロイの与えてくれたヒントをもとに考えると、位置 $x$ にも運動量 $p_x$ にも、何らかの意味の不確定さ $\delta x, \delta p_x$ がそれぞれ伴っていて、しかもそれらの間に
$$\delta x\delta p_x\geq {{\hbar } \over 2}$$の関係が成り立つ力学が、問題を解決してくれそうだと気付かされます。ここで言う「不確定さ」の物理的に正確な意味は、この段階では確定できません。粒子が物体としての拡がりを持っていて、$\delta x$ はその拡がりを表す可能性もありますが、それ以外の、この時点ではまだ気づいていない可能性もあり得ます。とにかく、推論を進めていく内に、全体系が整合なものとなるようそれらの意味を確定し、その結果、原子の崩壊を禁止する、そういう理論をつくり上げたいのです。
$\delta x$ が小さな状態を想定すると、それはつまり、何らかの意味で狭い範囲に存在する状態を考えることになると思うのですが、必然的に運動量の不確定さが
$$\delta p_x\geq {{\hbar }\over {2\delta x}}$$に従って増す、逆に運動量の不確定さを抑えると、今度は
$$\delta x\geq {{\hbar }\over {2\delta p_x}}$$によって位置の不確定性が増す、そんな性質を持つ力学を探すことになります。
位置と運動量によって粒子の状態を定めたニュートン力学と違って、何らかの関数 $\psi (x)$ で一つの粒子の状態を表すことを考えます。粒子の位置の不確かさを関数の広がりで表すのが最も簡単に思えるからです。詳しく言うなら、小さな区間 $[x, x+\Delta x]$ の中に粒子が存在する可能性が
\begin{equation} \psi (x)\psi (x)^*\Delta x=\vert \psi (x)\vert ^2\Delta x \label{eq:psitosonnzai} \end{equation}に等しいとします（但し $\Delta x$ の二次以上を無視して）。$\psi (x)$ としては一般に複素数を値に取る関数が必要となり、非負の量である「可能性」と結び付けるために絶対値の二乗を使うことにしました。
実は、(\ref{eq:psitosonnzai}) 式の値は区間 $[x, x+\Delta x]$ の中に「粒子が見い出される確率」に等しいと、現在では解釈されています。ただ、確率が登場する必然性も理解したいので、この時点では「存在する可能性」という言葉で意味に含みを持たせておきます。誤解のないように強調しておきますが、たくさんの粒子から成る集団を問題にしているのではなく、単一の粒子の状態を問題にします。各状態をそれぞれ関数 $\psi (x)$ で表すことを考えています。
$$\left( \phi , \psi \right) =\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)\psi (x)^*dx$$によって二つの関数 $\phi $ と $\psi $ の「内積」を定めます。$*$ は共役複素数を表します。
この時『粒子はどこかに存在する』ことから
$$\left( \psi , \psi \right) =\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\psi (x)^*dx=1$$です。また、粒子の位置の平均は
$$\langle x\rangle =\left( x\psi , \psi \right) $$で、平均からのずれ（偏差） $\delta x$ は
$$\delta x={\sqrt {\left( (x-\langle x\rangle )^2\psi , \psi \right) }}$$で表されます。
運動量 $p_x$ についても、平均や平均からのずれを、件の関係式
$$\delta x\delta p_x\geq {{\hbar }\over 2}$$が成り立つことを指針にして求めると
$$\langle p_x\rangle =\left( {{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi , \psi \right) $$$\delta p_x$ は
$$\delta p_x={\sqrt {\left( ({{\hbar }\over i}{d\over {dx}}-\langle p_x\rangle )^2\psi , \psi \right) }}$$となることが結論されます。
以上の推論によって、粒子の位置には
$$\psi (x) \rightarrow x\psi (x)$$という作用が、運動量には
$$\psi (x) \rightarrow {{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\psi (x)$$という作用が、それぞれ対応することがわかりました。
ここまでが前回までの復習です。ここまでの推論を適用する最も簡単な力学系は、調和振動子と呼ばれる単純な振動現象です：バネの先におもりを付けてぶら下げると、おもりの重さによってバネは少し伸び、下向きの重力とばねによる上向きの力が釣り合う位置で、おもりは静止します。釣り合いの位置を原点 $x=0$ とする鉛直な座標軸を、下向きを正の方向とするよう設定します。$x=0$ から少し下に押し下げておもりを放すと、重力よりばねによる力が上回り、それによって上向きの運動が始まります。釣り合いの位置まではバネの力が強く、上向きの加速が生じるのですが、釣り合いの位置を過ぎると重力の強さが勝つようになり、減速が始まります。よってどこかで止まり、その後は今度は下向きに運動を開始します。
ニュートン力学で此の運動を記述すれば次のようになります：まず位置 $x$ にあるおもりは、$-kx$ の力を受けます。ここで $k$ はバネによって決まる定数です、つまり力はばねの伸びに比例します。但し $x$ は十分小さい範囲で考えます、あまり大きいとバネ自体が伸び切ってバネの機能を失うからです。
ニュートンの運動方程式は
$$m{{d^2}\over {dt^2}}x=-kx$$ですから、解は
$$x=A\cos {\sqrt {k\over m}}t+B\sin {\sqrt {k\over m}}t$$です。$A, B$ は任意定数です。ここで
$$\omega ={\sqrt {k\over m}}$$と置いて「角振動数」と呼びます。振動数 $\nu $ とは
$$\nu =\omega /2\pi $$の関係にあります。
位置エネルギーを $V(x)$ とすれば
$$-kx=-{{dV}\over {dx}}$$により
$$V(x)={k\over 2}x^2={{m\omega ^2}\over 2}x^2$$であり、よって運動エネルギープラス位置エネルギーは
$$E={1\over {2m}}p_x^2+{{m\omega ^2}\over 2}x^2$$と表されます。
質量 $m$ の粒子について、エネルギーが上の式で与えられる振動現象は、ばねによって吊り下げられたおもりのみならず、分子や結晶の振動にも見出される。そこで、この粒子の状態を関数 $\psi $ で表す記述へ移ってみます：
先に見たように、$p_x$ には作用 $(\hbar /i)d/dx$ が対応し、位置 $x$ には $x$ をかけるという作用が対応します。そこで上記のエネルギー $E$ には
$${1\over {2m}}\left( {{\hbar }\over i}{d\over {dx}}\right) ^2+{{m\omega ^2}\over 2}x^2$$という作用が対応すると考えるのは自然でしょう。この作用を ${\hat E}$ と書くなら
$${\hat E}=-{{\hbar ^2}\over {2m}}{{d^2}\over {dx^2}}+{{m\omega ^2}\over 2}x^2$$です。
線型代数を少しでもかじった者は、このような作用が現れると必ずその固有値問題を解いてみたくなるものです。つまり等式
$${\hat E}\psi =\alpha \psi $$を満たす $0$ でない関数 $\psi $ が存在する定数 $\alpha $ （固有値と呼びます）を求める問題です。但し $\psi $ は
$$\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)\psi (x)^*dx=1$$でなくてはいけません。解法は省略しますが、固有値 $\alpha $ としては
$$E_n=\left( n+{1\over 2}\right) h\nu , \hskip 2mm n=0, 1, 2, \cdots $$のみが許され、対応する $\psi $ を $\psi _n$ で表すとすれば、すべてガウス型の関数になります。特に
$$\psi _0(x)=\left( {{\pi \hbar }\over {m\omega }}\right) ^{-1/4}e^{-(m\omega /2\hbar )x^2}$$です。
明らかに
$$E_0 < E_1 < E_2 < \cdots < E_n < \cdots $$です。離散的なエネルギーの値が現れる点は、ド・ブロイが水素原子の中の電子に随伴波のアイデイアを適用しエネルギーを求めた時と同じ状況です。従って、水素原子内の電子に対しても、エネルギー
$$E={1\over {2m}}\left( p_x^2+p_y^2+p_z^2\right) -{{e^2}\over r}$$から ${\hat E}$ を作り、その固有値問題
$${\hat E}\psi =\alpha \psi $$を解くことが興味深い問題として起きてきます。
実は、固有値 $\alpha $ としてド・ブロイの求めた離散的なエネルギー
$$E_n=-{{2\pi ^2me^4}\over {h^2}}{1\over {n^2}} \hskip 2mm n=1, 2, \cdots $$が現れます。ド・ブロイがエネルギーのこの系列を見いだした時には、『軌道の長さが随伴波の波長の整数倍に一致する』という条件からでした。今度は、不等式
$$\delta x\delta p_x\geq {{\hbar }\over 2}$$から導きました。後者の方が、おそらくより深い基本的なところをついているように思えます。
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