運動量の $x$ 成分 $p_x$ に対応する作用素を ${\hat p}_x$ で表すと
$${\hat p}_x={{\hbar }\over i}{\partial \over {\partial x}}$$であることは既に導きました。この作用素は自己共役であり、$p_x$ を任意の実数として
$$\psi (x, y, z)=f(y, z)e^{ip_xx/{\hbar }}$$が固有値 $p_x$ に属する固有関数です。$f(y, z)$ は $y, z$ に関する任意の関数で構いません。従って ${\hat p}_x$ のみならず、同時に $y, z$ 成分に対応する作用素
$${\hat p}_y, \hskip 3mm {\hat p}_z$$の固有関数でもある関数
\begin{equation} \psi (x, y, z)=e^{i\left( p_xx+p_yy+p_zz\right) /{\hbar }} \label{eq:doujikoyuu} \end{equation}を考えることができます。もちろん $p_y, p_z$ は任意の実数であって、それぞれ ${\hat p}_y, {\hat p}_z$ の固有値です。よって、(\ref{eq:doujikoyuu}) 式の $\psi $ は、運動量の各成分がすべて確定した値 $p_x, p_y, p_z$ を取る状態だと解釈できます。従って
$$\delta p_x=\delta p_y=\delta p_z=0$$です。
また、すべての $(x, y, z)$ に対して $$\vert \psi (x, y, z)\vert =1$$
です。よって、任意の $(x, y, z)$ に対し小領域
$$[x, x+\Delta x]\times [y, y+\Delta y]\times [z, z+\Delta z]$$内に電子が存在する可能性が
$$\Delta x\Delta y\Delta z$$に一致することになります。つまり、この可能性は $(x, y, z)$ に寄らず空間の各点で一様なのです。直観的には、電子の存在域が空間全体に一様に広がっているということです。従って
$$\delta x=\delta y=\delta z=+\infty $$と解釈することは妥当でしょう。これらの結果は不確定性関係
$$\delta x\delta p_x\geq {{\hbar }\over 2}, \hskip 2mm \delta y\delta p_y\geq {{\hbar }\over 2}, \hskip 2mm \delta z\delta p_z\geq {{\hbar }\over 2}$$から当然要請されるべきものです。
ただ、『電子が空間のどこかに居る』ことを表す等式
$$\left( \psi , \psi \right) =\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dy\int _{-\infty }^{\infty }dz\vert \psi (x, y, z)\vert ^2=1$$を上記の固有関数は満たしません。その意味では、この固有関数は実際の物理的状態を表すというより、むしろ数学的に理想化された状態を表すと言う方が良いかと思います。
同じような関数は位置作用素の固有関数を考える時にも現れます：位置 $x$ に対応する作用素を ${\hat x}$ で表すならば、
$$({\hat x}\psi )(x, y, z)=x\psi (x, y, z)$$です。この作用素の固有関数を書き下すために「デルタ関数」なるもの $\delta (x)$ を以下の条件によって定義します。
$$\delta (x)=0 \hskip 2mm (x\not= 0), \hskip 4mm \delta (0)=+\infty , \hskip 4mm \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1$$これはもちろん普通の関数ではなく、超関数と呼ばれる範疇に属する関数です。数学的に厳密な定義はあるのですが、それを紹介してもここでの推論に大きく役立つことはありませんので、直観的な理解を助けるために少し補足します。正数 $\epsilon $ に対して
$$\delta _{\epsilon }(x)={\sqrt {1\over {\pi \epsilon }}}e^{-x^2/\epsilon }$$と置くと、
$$\delta _{\epsilon }(0)={\sqrt {1\over {\pi \epsilon }}}, \hskip 3mm \int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)dx=1$$です。従って、$\epsilon $ が小さな正数の場合、$\delta _{\epsilon }(x)$ は $x=0$ で非常に大きな値 ${\sqrt {1/\pi \epsilon }}$ を取り、$x$ が $0$ から離れるに従い急激に減少し小さな値を取ります。しかも、常に積分値は $1$ です。そこで $\epsilon $ を限りなく $0$ に近づける時の $\delta _{\epsilon }(x)$ の極限として $\delta (x)$ を定めます。そうすれば、$\delta (x)$ の定義として挙げた三条件は大体納得できると思います。
さて、
$$x\delta (x)=0$$がすべての $x$ について成り立ちます。$x\not= 0$ に対しては $\delta (x)=0$ から、$x=0$ に対しては
$$0\times \infty =0$$から、と考えてください。少し抵抗を覚える人は
$$x\delta _{\epsilon }(x)$$の極限が $x\delta (x)$ だと解釈してください。
よって、任意の $x_0$ に対して
$$(x-x_0)\delta (x-x_0)=0$$がすべての $x$ について成り立ち、書き換えると
$$x\delta (x-x_0)=x_0\delta (x-x_0)$$となります。つまり
$${\hat x}\delta (x-x_0)=x_0\delta (x-x_0)$$であり、これは関数 $\delta (x-x_0)$ が、作用素 ${\hat x}$ の固有値 $x_0$ に属する固有関数であることを意味しています。
よって
$$\psi (x, y, z)=\delta (x-x_0)\delta (y-y_0)\delta (z-z_0)$$と置けば、この $\psi $ は粒子の位置が
$$(x_0, y_0, z_0)$$に確定した状態を表すと考えられます。従って
$$\delta x=\delta y=\delta z=0$$です。
従って当然、
$$\delta p_x=\delta p_y=\delta p_z=\infty $$でないと困るのですが、これについては次のように考えれば納得できると思います：まず、積分の収束性などについて厄介な問題が生じない関数の範疇を考えます。たとえば、$\vert x\vert \rightarrow \infty $ において値が急速に $0$ に近づく関数、あるいはもっと簡単に、$f(x)\not= 0$ の $x$ の範囲が有界である関数、といった具合です。連続性についても、何回でも微分可能だと仮定してください。このような関数 $f(x)$ について常に
$${1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dt\left[ \int _{-\infty }^{\infty }e^{ixt}f(x)dx\right] =f(0)$$が成り立ちます。大括弧の中身は「$f(x)$ のフーリエ変換」と呼ばれる関数ですが、$t$ の関数として上に述べた都合の良い関数の範疇に属し、それを積分して平均化すれば $f(0)$ になる、という等式です。
この等式の厳密な証明はかなり長く、何とか直観的な証明はないものかといろいろ考えたのですが、今もって気の利いたものを考案できません。やむなく後回しにして先へ進みます。
この等式で積分の順序を、収束性に目をつむって、形式的に変えると
$${1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[ \int _{-\infty }^{\infty }e^{ixt}dt\right] f(x)dx=f(0)$$となります。一方でデルタ関数 $\delta (x)$ の定義によれば
$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)f(x)dx=f(0)\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=f(0)$$です。つまり
$${1\over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ixt}dt=\delta (x)$$が得られました。ここで思い出されるのが運動量が確定した値を持つ関数
$$e^{ip_xx/{\hbar }}$$です。この関数を使って先ほど得た等式を書き換えると
\begin{equation} \delta (x)={1\over {2\pi {\hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip_xx/{\hbar }}dp_x \label{eq:deltanotenkai} \end{equation}です。
さてここで、前回もそうでしたがもう一度、光子の偏極について想いだしてください。任意の方向に偏極した光子の状態 $c$ は、$b, b'$ を水平及び垂直に偏極した光子の状態とするならば
$$c=(c, b)b+(c, b')b'$$と表されますが、水平もしくは垂直の方向の偏光に光線を分ける方解石の結晶に、状態 $c$ の光子を投入すると、$\vert (c, b)\vert ^2$ と $\vert (c, b')\vert ^2$ の確率で、それぞれ $b, b'$ の方向に偏極した光子が飛び出してきます。水素原子内の電子のエネルギー作用素 ${\hat E}$ の固有関数についても同様の事柄が成立しました。ある状態を表す関数 $\psi $ が、${\hat E}$ の固有値 $E_n$ に属する固有関数 $\psi _n$ でもって
$$\psi =\sum _nc_n\psi _n$$と表されるならば、この $\psi $ の状態の電子に対してエネルギーを測ると、$\vert c_n\vert ^2$ の確率でエネルギー $E_n$ が得られると解釈できました。
(\ref{eq:deltanotenkai}) 式
$$\delta (x)={1\over {2\pi {\hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip_xx/{\hbar }}dp_x$$もまったく同じ状況で、左辺の関数が作用素 ${\hat p}_x$ の固有関数によって展開されています。上で挙げた二つの例の離散的な和が、今回は連続的な積分和になっている点だけが違います。もし連続和が考えにくければ、積分領域を非常に細かく分割し、各小区間の中から代表の点 $p_j$ を取り、小区間の幅を $\Delta x$ として
$$\delta (x)={1\over {2\pi {\hbar }}}\sum _je^{ip_jx/{\hbar }}\Delta x$$を考えればよいかと思います。とにかく、『$\delta (x)$ の状態で運動量を測れば、すべての値が同じ確率で現れる』という結論が得られます。
関数
$$\psi (x, y, z)=\delta (x-x_0)\delta (y-y_0)\delta (z-z_0)$$についても同様の展開ができることはほぼ明らかだと思います。従って『$\psi $ の状態で運動量を測れば、各成分についてすべての値が同じ確率で現れる』と結論できます。これは特に
$$\delta p_x=\delta p_y=\delta p_z=\infty $$を示していると考えてよいでしょう。
以上の考察で、不確定さ $\delta x$ や $\delta p_x$ の意味もはっきりしてきたように思えます：位置作用素 ${\hat x}$ の固有関数 $\delta (x-x_0)$ の状態は、粒子の位置を測定すると確実に $x_0$ に見い出される状態を表すと解釈するのが最も自然です。$\delta x=0$ はその意味の確実性を表すと考えられますから、一般の $\delta x$ についても、位置の測定値が平均からどの程度の範囲に分布するかを示す偏差を表すと考えるのが自然でしょう。$\delta p_x$ についても、運動量の測定値の平均からの散らばり具合を表すと考えられます。
また、状態を表す関数として導入した $\psi (x)$ についても、これが何を意味するのか、はっきりしてきました：これまでは、点 $x$ に粒子が存在する「可能性」を $\vert \psi (x)\vert ^2$ が表す、というようにかなりあいまいな言葉で通してきましたが、
$$\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x_0)\delta (x-x_0)dx_0$$と書けることから、『この $\psi $ の状態で粒子の位置を測定すると、$\vert \psi (x_0)\vert ^2$ の確率で $x=x_0$ に検出される』と言えます。厳密に言えば、『$[x, x+\Delta x]$ の範囲内に電子が見つかる確率は（$\Delta x$ の二次以上を無視して）、$\vert \psi (x)\vert ^2\Delta x$ に一致する』となります。三変数の $\psi (x, y, z)$ についても同様で、
$$[x, x+\Delta x]\times [y, y+\Delta y]\times [z, z+\Delta z]$$内に粒子が見つかる確率が
$$\vert \psi (x, y, z)\vert ^2\Delta x\Delta y\Delta z$$で与えられると言えます。
目次を表示