四方山話 (友人への手紙 - 「重ね合わせ状態の奇怪」）(2023年9月20日)
- 私自身はほとんど飲みません、せいぜい食事時にワインをグラス一杯で気持ちよくなる程度です。ただ、学生時代からの友人はほぼ全員大酒のみです。酒さえ飲まなければもう少し永生きしたろうにと思えて、残念でたまらないのですが、ここ数年、バタバタと、続けざまに何人かを失いました。もともと少ない友人が、ますます少なくなり淋しい限りですが、その内の一人が、最近どういう風の吹き回しか、量子論に興味を持ち始めました。どうせすぐに熱は冷めると思うのですが、酒に溺れる時間を少しでも短くして、できるだけ永生きしてもらえれば私にも有り難いことであり、彼が興味を持ちそうな話題を書き送ってみることにしました。ただ、もし読んでくれるとしても、グラス片手にのはずです、明日の朝にはすべて忘れています、でも文章を作る時間だけは結構かかります、その辺のむなしさを解消するために、このページに転載することにしました。-
偏光板を通過して出てくる光子の状態を平面ベクトルで表す必然性を、実験と論理の両面から考察してきました。光子の振る舞いが因果律で説明できないことの証拠は後に説明するとして、ベクトル和の関係式
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$を、$b$ にも $b'$ にも変わり得る、しかしまだどちらとも - どんな意味においても - 決まっていない状態 $a$ の、数学的表現として採用してみようということになったのです。このようにベクトルの和として表される状態を重ね合わせの状態と呼ぶのですが、例えば光子検出器と遭遇するというようなきっかけがあると、重ね合わせが崩壊し、$b$ かもしくは $b'$ の状態に、それぞれ $(a, b)^2$ と $(a, b')^2$ の確率で変化すると考えます。
今回はこの「重ね合わせ状態」が生み出す、実に不思議な、常識では納得しがたい、言いかえれば、われわれが普通の言葉で語ることのできる事柄の狭さを、痛感させられる現象についてです：
この現象については、「光子の裁判」という、夢の中で傍聴した裁判の記録を、ノーベル賞学者の朝永振一郎博士が遺していらっしゃいます。随筆集「量子力学的世界像」（弘文堂）に収録されています。何と言っても夢に現れた裁判の記録です、貴君がほろ酔い気分で、時々居眠りしながら読むにはこれ以上のものはないと思われる文章です。一読をお勧めします。
少し場面設定の準備が必要です：
図は私が購入した方解石の結晶を通して紙面に書いた直線を見た写真です。「複屈折」と呼ばれる現象のために、一つの直線が二つに分かれて見えます。つまり、光線はこの方解石の結晶を通る際二つの経路に分かれます。次の図は帯状の偏光板二枚を結晶の上に置いて撮った写真です。
（少し見づらいですが、左右の偏光板の間では直線は二本見えています。）但し二枚の偏光板の軸は互いに直交しています。結晶によって光の進路は二つに分かれるのですが、それぞれの光は互いに直交する方向に偏極していることが、この写真からわかります。もちろんそれら二つの方向は、結晶の構造から決まるある特別な方向に平行および垂直です。
上の図では結晶を中央の長方形で表し、互いに直交する偏極の方向を、紙面に垂直な方向（黒丸）と平行な方向（短い線分）で表しました。図の左側から矢印の方向に光線が入射すると、二つの光線に分かれて右に出てくることは以前の図で示した通りです。入射する光線の強度を徐々に弱める、つまり単位時間あたりに入射する光子の個数を徐々に少なくしていくと、ついには、光子が一発一発、十分な時間間隔をあけてこの結晶に打ち込まれる状況を作り出すことができます。図に描かれた装置の範囲内に同時にはせいぜい一個の光子しか存在しない程に、間隔をあけて光子を打ち込むのです。この状況では、各光子は他の光子からの影響を一切受けないことになり、どんな現象が起きても、それは単一の光子が引き起こす現象と考えなくてはいけません。こんな実験は家庭では決してできません。ですから写真を撮ってお見せすることもできません。でも、最近の技術の進歩はこのような実験を可能にしました。前回紹介した「浜松ホトニクス」の動画が秀逸です。
さて、結晶の右側に現れる二つの経路の先に、それぞれ光子の検出器を置きます。光子が入ってくるとその影響を増幅し、例えばブザーを鳴らして知らせるというような機器です。理想的な検出能力を持つとして決して光子を見逃すことはないとしましょう。すると左側から一発光子を送り込むたびに、二つの検出器の内一方が、両方ではない、必ず一方だけが鳴動します。
簡単の為に、紙面のこちらから向こうへ抜ける方向（以前の図では黒丸が示す方向）を $x$ 軸、紙面に平行に下から上への方向（同様に短い矢印が示す方向）を $y$ 軸で表すなら、前者の方向に偏極した光子の状態はベクトル
$$b=\pmatrix{ 1 \cr 0}$$で表され、後者の方向に偏極した光子の状態は
$$b'=\pmatrix{ 0 \cr 1}$$で表されます。結晶の左側から任意のベクトル $a$ の光子を打ち込むとすれば
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$という分解が成り立ち、$(a, b)^2$ の確率で一方の検出器が、$(a, b')^2$ の確率で他方の検出器が、それぞれ鳴動すると考えられます。
これらは実験によって確かめることのできる事実であり、光子はそれがどこにいるかを検出器を用いて探してみると、必ずどこか一ヶ所で見つかることを示しています。もし二ヶ所で見つかることがあれば、一つの光子が二つに分裂したことになるのですが、そういうことは一切ないのです。
さて、方解石の結晶をもう一枚用意し、二枚目を一枚目の裏返しの向きに置きます。この時、もちろん二つの結晶の位置を注意深く加減し、一枚目によって分かれた二つの経路が同じ長さで二枚目の結晶に入るようにすれば、その時、二つの経路は再び一つに合体し二枚目の結晶から出てきます。このような調節は実際に実行可能です。最も手っ取り早くうまい方法は、経路の長さを $0$ にしてしまう、つまり結晶二枚を引っ付けてしまえばよいです。
さて以上で準備は整いました。問題にしたいことは、二枚の結晶を備えたこの装置の左側から任意の状態 $a$ の光子を打ち込む時、装置の右から出てくる光子の状態は何か、ということです：
話を具体的に進める為に、$a$ の偏極の方向は $x$ 軸から $y$ 軸の方向へ $45^{\circ }$ 回転した方向とします。ベクトルで表すなら
$$a={1\over {\sqrt 2}}b+{1\over {\sqrt 2}}b'$$です。
まず、よほどひねくれた人でない限り、次のように推論するはずです。『一枚目の結晶を出た後の光子を検出器で捕まえてみると、二つの経路の内の片方で見つかるということだった。二つの経路は $x$ 軸、もしくは $y$ 軸方向に偏った光の通り道だから、従って光子は、$b$ もしくは $b'$ の片方の状態で二枚目の結晶に突入するはずだ。』
$b$ の状態の光子はそのままの状態で二枚目の結晶を素通りします。$b'$ についても同様です。このことは二枚の偏光板で結晶を挟み、一方の偏光板を回転してみれば簡単に確認できます。従って、上の『$\cdots $』で示した推論が正しいのであれば、この装置の右に現れる光子は $b$ 又は $b'$ の状態のはずです。$a$ は $45^{\circ }$ 方向に偏った状態としていますから、装置の右に出てくる光子のうち半分は $b$、残り半分は $b'$ の状態のはずです。実際にそうなっているかどうかを判定するためには、つまり『$\cdots $』の推論が正しいかどうかを判断するためには、どんな実験をすればよいでしょうか。
手がかりをつかむために、二枚目の結晶から出てくる光子をもう一枚の偏光板（$C$ で表す）に当て、それを通過する光子をその先に置く検出器で捕らえる実験をします。$C$ の軸方向は色んな方向が可能ですから、$x$ 軸から $y$ 軸方向に角度 $\theta $ 回転した方向としましょう。つまり
$$c=\pmatrix{ \cos \theta \cr \sin \theta }$$で表される状態 $c$ が、偏光板 $C$ を通過する光子の状態だということです。
装置の右に出てきた状態 $b$ の光子は
$$(b, c)^2=\cos ^2\theta $$の確率で $C$ を通過します。また $b'$ の光子は
$$(b', c)^2=\sin ^2\theta $$の確率で $C$ を通過します。よって $C$ の先にある終点の検出器は
$${1\over 2}\cos ^2\theta +{1\over 2}\sin ^2\theta ={1\over 2}$$の確率で鳴動することになります。従って、装置の左側から $45^{\circ }$ 方向に偏極した光子を二発打ち込むたびに一回の割合で、終点の検出器が鳴動するはずです。しかもこのことは $\theta $ に依存しません、つまり $C$ を回転し軸の方向を変えても変わらないはずです。その通りになるかどうか実験してみましょう。もちろん光子を一つずつ打ち込む実験は簡単にはできません、しかしこの確認には普通の光を用いれば十分です。もしこの推論が正しいのであれば、一枚目の結晶に入る際の半分の明るさの光が、偏光板 $C$ を通して見られるはずであり、しかもその明るさは $C$ を回転しても変わらないはずだからです。
実際の実験では意外な結果が出ます：$\theta $ によって明るさが変化します。$\theta $ が $45^{\circ }$ と平行な角度で最も明るく、一枚目の結晶に入る際の明るさと同じですが、それと直交する角度では真っ暗になります。従って、上で述べた、ほとんどの人がするであろう推論『$\cdots $』は、それに賛同する人がどれほど多くても、間違った推論なのです。
この結果には多くの人がおそらく面食らうと思います。一枚目の結晶を出た後の光子を検出器で捕まえてみると、二つの経路の内の片方で見つかる、つまり $b$ か $b'$ のいずれか片方の状態で見つかる。これは実験事実であり否定しようがありません。『検出器で監視すると必ずどちらかの経路上で見つかるのだから、監視しない時もどちらかの経路上にいるはずだ。従って光子は、$b$ もしくは $b'$ の状態になって二枚目の結晶に入るはずだ』という推論のどこが間違っているというのでしょう。
検出器を置いて観察すれば常に、$b$ か $b'$ の片方の状態で発見されるのだから、検出器を置かずにそのまま結晶に突っ込ませてもやはり、二つの内のどちらかの状態で突っ込んでいるだろう、という推論のどこかが間違っている・・・
怪しいとすればただ一ヶ所、論理の飛躍がありますね：検出器を監視する時 $b$ か $b'$ の片方の状態で見つかるからと言って、監視しない時も光子が同じ状態を取っていると考えるのは、行き過ぎの可能性です。というよりむしろ、怪しい部分がこれ以外には無くて、しかも、この推論が間違っていることは実験で確認できるのですから、これは確かに行き過ぎなのです。
監視しない時も光子が同じ状態を取っていると、何故そう考えたのでしょうか。おそらく今までの経験上、それで何の支障もなかったからです：今私の目の前にコーヒーカップがあります。このカップが、私が目を離した途端にどこかに行ってしまうとは、決して考えません。部屋を出ている間も、さっき見た位置にそのままあると確信しています。夜空に輝く月は、私が見ていようがいまいが、変わらずそこに居続けるはずです。
ただそういう経験から得てきた常識が、そのまま光子などに適用できるかどうかは、また別の問題です。眼で直接見たり、手に取って触ったりできる、かなり大きな物体を通して得た経験は、電子や光子と言った実際には見ることも触ることもできない物体に関わるものではありません。大きく重いものを観察したり測定したりする場合は、その行為の影響を限りなく小さくできる、つまり対象に与える影響を無視できるほどに小さくして、対象のあるがままを見ることができるとわれわれは考えています。しかし、電子や光子などと言った微小な物質についても、その常識が通用する保証はあるでしょうか：よく考えてみると実は、その常識が通用しない世界へ、われわれはもう既に踏み出しています。$+45^{\circ }$ の方向へ偏極した光子を方解石の結晶に通し、検出器で捕まえる場合、もとの状態はベクトルで表して
$$a={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}$$であり、捕まる時の状態は
$$b=\pmatrix{ 1 \cr 0}, \hskip 2mm b'=\pmatrix{ 0 \cr 1}$$のどちらかです。つまり、ここで使っている検出器は、$a$ を $a$ のままで捕まえているのではなく、$a$ を壊して $b$ もしくは $b'$ にして捕まえているのです。従って、$b$ もしくは $b'$ の状態の光子が捕まったとしても、元の状態がそうであったとは当然言えないことになります。その意味で、ここで行っているのは、対象のあるがままの姿を見ているとは言えない監視なのです。これは、カップや月のような大きな物体を対象とする時と大いに違う点です。
大きな物体と小さな物体の違いを理解する上である不等式を考えてみるのは有用です：前世紀の初頭、ハイゼンベルグというドイツのある物理学者が一つの不等式を提唱しました。任意の物体の位置を $x$ で表し、その運動量を $p$ で表す時、その両方共が正確に決まっていることはあり得ない、それどころか、それぞれの不確定の幅 $\Delta x$ と $\Delta p$ の間には、不等式
$$\Delta x\cdot \Delta p\geq h$$がいつでも成立する、というのです（ここでは簡単の為、運動の自由度を数直線上に限定しました。運動量は「質量×速度」です）。$h$ はプランク定数と呼ばれる定数であり、$0$ ではない正数です。
この不等式はどんな状況下でも成立するという意味で普遍的であり、それだけに意味することは重大です。特に、位置と運動量が共に正確に決まっている物体は存在し得ないことになります。例えば、運動量が正確に決まっている粒子の位置を、何らかの方法である程度正確に特定したとすると、それ以後の運動量に予測不可能な不確定性が生じるのです。つまり、粒子の位置の決定は、運動量に不確定な揺らぎを与えるという意味で、元の状態を壊してしまうのです。逆に言えば、もとの状態を壊して初めて、位置や運動量を正確に測ることができるのです。
しかし、こんなことを聞くと誰でも反論します。『これまでの経験で、そんなことには一切気付かなかった、どうしてなんだ？』確かに不思議なことです。解決の糸口を探すために月と電子を例にとって、この原理の意味するところを計算してみましょう：
まず、月の場合、仮にその位置を原子のサイズ $10^{-10} {\rm m}$ の精度で決めたとしましょう。この時、不確定性原理から運動量の不確定性 $\Delta p$ が計算できます。運動量は質量×速度ですから、従って速さの不確定性 $\Delta v$ が計算できます。プランク定数は
$$h=6.6\times 10^{-34} {\rm kg\cdot m^2\cdot s^{-1}}$$で質量が
$$m_m=7.3\times 10^{22} {\rm kg}$$ですから、
$$\Delta v\geq {h\over {\Delta x\times m_m}}={{6.6\times 10^{-34}}\over {10^{-10}\times (7.3\times 10^{22})}}\approx 9\times 10^{-47} {\rm m\cdot s^{-1}}$$となります。非常に小さな値です。月の運動に関する典型的な速さ、例えば月の公転軌道上での速さ $v_M$ と比べてみると、
$$v_M\approx 10^3 {\rm m\cdot s^{-1}}$$ですから、無視すべき小ささです。（ちなみに地球の公転軌道上での速さは
$$v_E=2.9\times 10^4 {\rm m\cdot s^{-1}}$$です。）
月は少し大き過ぎる（重過ぎる）ので、もう少し軽いものについて：代表として一円硬貨を考えます。重さは $1 {\rm g}=10^{-3} {\rm kg}$ ですから $\Delta x$ を原子サイズとして
$$\Delta v\geq {h\over {\Delta x\times m_{一円}}}={{6.6\times 10^{-34}}\over {10^{-10}\times 10^{-3}}}\approx 6.6\times 10^{-21} {\rm m\cdot s^{-1}}$$です。この揺らぎは千年放置してやっと、硬貨の位置の不確定性を原子のサイズ程度に広げることを意味しています。つまり、見たり触ったりできる身の回りの物体については、不確定性原理は実質的にはまったく問題にならず、位置も速度も両方とも、十分正確に特定できます。
では、電子については：電子の質量は
$$m_e=9.1\times 10^{-31} {\rm kg}$$です。従って原子のサイズに閉じ込められた電子の速さの揺らぎは
$$\Delta v\geq {h\over {\Delta x\times m_e}}={{6.6\times 10^{-34}}\over {10^{-10}\times (9.1\times 10^{-31})}}\approx 7.3\times 10^6 {\rm m\cdot s^{-1}}$$となり、典型的な速さと比べてみるまでもなく、無視できる代物ではありません。
位置や運動量の決定がもとの状態を壊してしまうことは、大きな物体であろうが小さな物体であろうが普遍的に成立することです。不確定性原理がそれを示しています。しかし、その程度が実質的な意味で考慮すべき、無視できない大きさになるのはミクロな物体に対してであって、マクロな物体を扱っている限り問題になりません。光子の偏極方向を検出する際にも、類似の状況に遭遇します。大きな物体の状態を測定する場合、測定行為が対象に及ぼす影響は - 実質的には - 任意に小さくできます。従って、そのような測定では対象のありさまそのものを、対象の状態を壊すことなく知ることができます。でも、光子となると、それが常に可能だという保証はどこにもありません。$a$ の状態の光子を検出器にかけて $b$ の状態が現れたからと言って、もともとが $b$ の状態であったとは言えません。もとの状態は $a$ であって、それが壊れて、その結果 $b$ が現れたのですから。
監視を解いた時にも、監視していた時と同じように、光子の状態が $b$ もしくは $b'$ であると考えることは、論理の大きな飛躍を含む間違った推論なのです。
では、検出器が取り除かれた時、二本の経路を、光子は一体どんな状態で通過していると考えるべきなのでしょうか：簡単に確認できるのですが、二枚目の結晶を出てくる光子の状態は一枚目に入射する光子の状態と同じです。このことは、偏光板 $A$ を通して一枚目の結晶に光を入れ、二枚目の結晶から出てくる光を偏光板 $C$ を通して見る実験をすればすぐわかります。$C$ の軸の向きが $A$ の向きと平行の時、$A$ を通過する光と同じ明るさに見え、直交する時、真っ暗になるからです。
もし左から $45^{\circ }$ の方向に偏極した光子を打ち込めば、同じ状態の光子が右に出てくるのです。従って、繰り返しになりますが、二枚の結晶の間を通過する時、二つの経路の内の片方をたどると考えることはできません。片方をたどるということは $b$ か $b'$ の一方の状態になって通過することを意味し、どちらの状態も二枚目の結晶をそのまま通過しますから、$45^{\circ }$ に偏極した光子として現れようがないのです。
この期に及んでもまだ、『二つの経路の内の片方をたどると考えることができない』という事実と、光子がいつでも一塊の粒子として検出されるという事実は、絶対に相いれない、との想いが頭をもたげるかもしれません。もしそうならもう一度想いだしてください、監視されている時見せる姿を、監視されていない時もそのままとっているとは必ずしも言えないことを。ひとかたまりの物体として姿を見せるからと言って、いつでもその姿で存在していると解釈することはできないのです。
では、光子は一体どんな姿で、あるいは状態で、二本の経路をたどっているのでしょうか？実はこの疑問について、素人にも納得できる言葉で説明してくれる人や本には、私はまだ出会ったことがありません。最初に紹介した朝永博士の「光子の裁判」は、「さすが！」と思わずうなってしまう内容ですが、それでもこの疑問に答えることをある意味逃げているように思えます。波乃光子という名の家宅侵入罪に問われた容疑者が、『私は二つの窓を同時に通って侵入した』と言い張ります。もちろん検事も判事もそんなことはあり得ないと認めません。しかし弁護士は、巧みな論理を展開して、最後には容疑者の言い分を皆に認めさせます。『即ち、被告は、姿を現さない時には二つの窓の二つとも一緒に通り抜けていくと考えねばならぬ』というのが弁論の最後の言葉です。
この言葉を借りるなら、ここでわれわれが考えている光子についても、『二本の経路を、二つとも一緒に通り抜けていくと考えねばならぬ』ということになります。しかし、正直なところ、こう言われても「わかった！すっきりした！」と声を上げる人は、おそらくいないでしょう。二本の経路にまたがる広がりをもつ、何かアメーバのようなものを想像する人がいるかもしれませんが、もうそこまで行くと単なるあてずっぽうになり、科学的に考える面白みが失せます。この弁護士は、『二つの窓を二つとも通りぬけるという言葉の本当の意味を知りたければ、私の書いた教科書を読みなさい』と言って、一冊の本を「私」の顔に押し付けます。押し付けられてはっと目が覚め、弁護士がイギリスの物理学者デイラックであり、その著書である「量子力学」に顔をおしつけてうたたねしていたことに気付く、という落ちです。
貴君は数学をよく知っている人です。そういう人には、幸いなことに、「量子力学」を読めと勧める前に、もう少し先まで、ほんの少しですが、案内することができます：$45^{\circ }$ の方向に偏極した光子を左から打ち込むたびに、同じ状態の光子が二枚目の結晶から現れることは、もう既に理解済みです。つまり、最初の状態はまったく崩壊することなく、そのままの状態で装置の右に現れるのです。ならば、一枚目と二枚目の結晶の間を通過している時も、そのままの状態で通過していると考えるのが、おそらく最も自然でしょう。すなわち
$${1\over {\sqrt 2}}b+{1\over {\sqrt 2}}b'$$という重ね合わせの状態で、二枚の結晶の間を通過していると考えられます。
この状態で通過することが何故、『二本の経路を、二つとも一緒に通り抜ける』ことになるのか、が最後の問題です：重ね合わせの状態が何を意味したかをもう一度復習してみましょう。何かのきっかけでこの状態は崩壊し $b$ もしくは $b'$ に変わります。その変化は原因があってあらかじめ定められている性格のものではなく、確率だけは決まっているが、その場その場でまったく偶然に従って決定される性格のものです。つまりある特定のサイコロが振られて出た目によって変化が行われるのです。$b$ にも $b'$ にも変わり得る、でもまだ、どちらに変わるかはどんな意味においても決まっていない、そんな状態が重ね合わせの状態です。
$b$ もしくは $b'$ の状態として現れることは、それぞれ対応する経路の上に姿を見せることに他なりません。従って、次のようにも言えます：どちらの経路にも姿を見せる可能性がある、しかしどちらに姿を現すかは、まだどんな意味においても決まっていない。可能性、あるいは確率だけは決まっているが、それ以上は具現化せず、そこに踏みとどまっている状態、と言えます。ベクトルや確率の言葉を使わずに、これを普通の言葉で表現するなら、『二本の経路を、二つとも一緒に通り抜ける』が、おそらく精一杯であると思えるのですが如何でしょうか。
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