四方山話 (友人への手紙 - 「状態の重ね合わせ」）(2023年9月13日)
- 私自身はほとんど飲みません、せいぜい食事時にワインをグラス一杯で気持ちよくなる程度です。ただ、学生時代からの友人はほぼ全員大酒のみです。酒さえ飲まなければもう少し長生きしたろうにと思えて、残念でたまらないのですが、ここ数年、バタバタと、続けざまに何人かの友人を失いました。もともと少ない友人が、ますます少なくなり淋しい限りですが、その内の一人が、最近どういう風の吹き回しか、量子論に興味を持ち始めました。どうせすぐに熱は冷めると思うのですが、酒に溺れる時間を少しでも短くして、できるだけ長生きしてもらえれば私にも有り難いことであり、彼が興味を持ちそうな話題を書き送ってみることにしました。ただ、もし読んでくれるとしても、グラス片手のはずです、明日の朝にはすべて忘れています、でも文章を作る時間だけは結構かかります、その辺のむなしさを解消するために、このページに転載することにしました。-
「状態の重ね合わせ」の概念がおそらく分かりにくいと思いますので、その部分を私がどんなふうに理解しているか、少し書いてみます。
マックスウェルの電磁気の理論では、光は電場と磁場の振動が、互いに他を生成し合いながら、光速で伝播する現象であると考えます。但し、その振動の方向は、光の進行方向に垂直な方向です。図は A.I.M.レイ著「量子論 - 幻想か実在か」（林一訳 岩波書店）からコピーしたものですが、偏光板という半透明の興味深い板があって、
それを通過した後の光の電場の振動方向は、偏光板に特有なある方向（偏光板の軸と呼びます。偏光板を購入すると両端に矢印のついた直線で表示されています。）に偏っています。このように偏った光を偏光と呼びます。
偏光板は、二枚を重ねてその向こう側を見るという簡単な実験をするだけで、その面白い一面を見せてくれます：二枚の軸方向が一致している時は、一枚だけで見る時と同じ明るさです。ところが、一方を固定して他方を視線を中心に回転しますと、徐々に暗くなり、$90^{\circ }$ 回転した時点で真っ暗になります。つまりある方向に偏った光は、同じ軸方向の偏光板をそのまま通過するのですが、直交する軸の偏光板を通過することはまったくないのです。更に回転を続けると、徐々に明るさが増し、最初の位置から $180^{\circ }$ 回転した時点でもとの明るさに戻ります。以下同じ事が繰り返されます。身近なところでは、テレビやパソコンの画面から出る光が偏っています。偏光板を通して見ると、$90^{\circ }$ 回転する毎に明るくなったり暗くなったりを繰り返します。偏光板さえあれば容易に確かめることのできるたったこれだけのことが、意外と奥深いのです。その奥深さを見てみようというのが今回の目的です。
光電効果と呼ばれる現象があります。金属の表面に光を当てると電子が飛び出す現象ですが、この現象のいくつかの特徴は、光がエネルギーを粒々の状態で運ぶ粒子の集まりであることを示しています。アインシュタインによって初めて指摘されました。１９０５年のことです。このエネルギーの塊を光子と呼びます。以下で考察したいのは、この光子のおもしろい性質についてです：
一般の光は、たくさんの光子の流れですが、光の強さを極めて弱くすると、光子を一発ずつ、時間的な間隔をあけて発射できるようになります。こんな状況を家庭で実現することはもちろん不可能ですが、ネット上で例えば、「浜松ホトニクス 光子干渉」などの言葉で検索すれば、単一光子を扱う見事な実験の動画を見ることができます。
そこで光子をポツンポツンと一発ずつ、偏光板に向けて打ち込み、出てくる光子を反対側に置いた光子検出器で捕まえる実験が可能です。光子を検出するためには光電効果を使い、飛び出てくる電子が生み出す影響を増幅してブザーでも鳴るようにしておくとします。この時、光子を打ち込むたびに検出器は鳴動したりしなかったりします。つまり、光子は偏光板を通過したり、あるいはそこで止められたりするのです。そこで、もう一枚の偏光板を用意し、最初の偏光板と検出器の間に挿入します。この時、二枚目の偏光板の軸方向が最初の偏光板のそれと一致するように挿入すると、検出器が鳴動する頻度に変化がありません。そこで挿入した偏光板を回転してみます。すると徐々に検出器の鳴動の頻度が減少し、ちょうど $90^{\circ }$ 回転した時点で検出器は一切作動しなくなります。更に回転を続けると再びブザーが鳴り出し、$180^{\circ }$ でもとの頻度に戻ります。以下同様です。
この実験結果が何を意味しているかが問題です：最初の偏光板を $A$ で表し、二枚目の偏光板を $B$ で表しましょう。$A$ を通過した光子は何か特別な性質を備える、あるいは特別な状態になると考えるのが妥当です。$A$ と同じ軸方向の偏光板はそのまま通過できるが、直交する偏光板を通過することはまったくできない、という状態です。偏光板から出てくる光を「偏った光」と呼んだのですから、それをなす光子についても、「偏った光子」と呼ぶのが妥当でしょう。これから後、ある偏光板から出てくる光子は、『その軸方向に偏極している』という言い方をします。ここで、不必要な誤解を避けるために強調しておきますが、光子が二つ、あるいはそれ以上に割れることはありません。そのような現象が見いだされたことは、未だかつてないのです。
偏光板 $A$ の方向に偏極している光子の状態を簡単の為に $a$ で表しましょう。繰り返しになりますが、上の実験で次のことがわかりました：$a$ の状態の光子は、二枚目の偏光板 $B$ の軸が $a$ の偏極の方向と一致する場合、そのまま通過します。$B$ の軸方向が $a$ の偏極の方向に対し、$0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ まで変化するにつれて、光子がさえぎられる頻度が徐々に増加し、$90^{\circ }$ になると一切通過できません。
話を具体的に進める為に $B$ の回転角が $45^{\circ }$ の時を考えましょう。ものごとの対称性からこの時、$a$ の状態の光子の半数は $B$ を通過するが、残りの半数はさえぎられ通過できない、と考えておそらく正しいでしょう。
この状況を多くの人はおそらく次のように考え解釈します：何事にも原因があるはずであって、通過できる光子、できない光子、それぞれにそれだけの理由があるはずだ、という考え方です。言葉を換えれば、同じ状態 $a$ であっても、何か微妙な違いをはらむ余地が残っていて、その違いによって、あるものは通過できるが、あるものは通過できないという区別が生じる、という考え方です。
実はこの考え方を進めると、実際に起きる現象に矛盾する結論が得られます。つまり自然はこの考え方を採用していないのです。どんな出来事にも必ずその原因があると、誰でも暗黙の裡に信じているのではないでしょうか。しかし、光子の振る舞いのレベルにまで、自然の奥深くに降りてみると、その常識は通用しなくなるようです。従って、この矛盾について理解することは非常に大事なことですが、ただ、今それを説明し出すと話が間延びします、後で紹介することにして、これを承認してもらい、先へ進みましょう。
では他にどんな考え方があり得るでしょうか？偏光板 $B$ を通過するかどうかが、何らかの原因によって引き起こされるものでない以上、光子は偏光板に遭遇して初めて、それを通過するかしないかを決める、しかも偶然に従う形で決めると考えざるを得ません。繰り返しますが、いわば決定論的に物事が進むのではなく、まったく偶然に従って進むのです。$a$ の偏極方向と $45^{\circ }$ の角度をなす偏光板 $B$ に遭遇すると、まったく確率的に、つまりコインを投げて、表が出れば通過し裏が出れば通過しないと決めるのです。
$B$ の軸方向に偏極した状態を $b$ で、$B$ と直交する偏光板（これを $B'$ で表しましょう）の軸方向に偏極した状態を $b'$ で、それぞれ表します。$b'$ の光子が偏光板 $B$ を通過することは決してないことに注意してください、$B'$ と $B$ の軸方向は互いに直交するからです。さて、$a$ の光子は $B$ に遭遇する時、それを通過するかしないか、つまりその状態を $b$ に変えるか $b'$ に変えるかを、コインを投げて決定するのですが、このことは言うなれば、状態 $a$ そのものが、状態 $b$ になる可能性と $b'$ になる可能性を半々の割合で持つ状態であることを意味します。状態 $a$ の光子の内これは $b$ になるが、あれは $b'$ になる、とあらかじめ決まっているのではなく、$b$ になるかもしれない、$b'$ になるかもしれない、どちらになるかはまったく偶然に決まる、という性質が一つの状態 $a$ を定めているのです。その状態は、光子が偏光板 $B$ に飛び込む時はじめて、どちらにもなり得る段階を脱し、$b$ もしくは $b'$ の状態へ飛び移ると考えられます。
解釈はこれでいいとしても、ここから曖昧性のない推論を展開するためには、これを数学的に表現しなくてはいけません。この解釈をできるだけ過不足なく表現できる数学的な枠組みを探す必要があります：まず、$a, b, b'$ はすべてある方向に関連していますが、しかもそれらすべて光子の進行方向に垂直な方向です。つまり、ある平面上の方向に関連しています。そう考えると、平面ベクトルの理論が役に立つのではなかろうかと、おそらく誰でも思いつきます。偏極に関する状態 $a, b, b'$ をそれぞれ、偏極の方向を向く平面ベクトルで表すのです。但し、方向だけ決めても長さを決めないと候補は無数にありますから、手っ取り早く、長さが $1$ であるものを考えましょう。例えば $b, b'$ の方向をそれぞれ $x$ 軸と $y$ 軸の方向とみなせば
$$b=\pmatrix{ 1 \cr 0}, \hskip 3mm b'=\pmatrix{ 0 \cr 1}$$と置いて、それぞれをベクトルによって表せます。$a$ の偏極の方向は $b$ の方向と $45^{\circ }$ をなすとしていますから、
$$a={1\over {\sqrt 2}}\pmatrix{ 1 \cr 1}$$としてみます。頭の因子 $1/{\sqrt 2}$ は長さを $1$ にするためのものです。もちろん方向と長さだけではプラスマイナスの自由度が残りますが、適当にどちらかを選ぶことにして先に進みます。もしベクトルを使うこの方法がうまくいくのであれば、おそらくさして重要なことではないでしょう。
それよりも問題は、「$b, b'$ のどちらにも移り得る段階」の状態を表現するために適した道具が、ベクトルの理論の中にあるかどうかです：ここで、ベクトルの間に、定数をかける操作と和の演算が可能であることを思い出してください。上で考えた $a, b, b'$ については、それらのベクトル表示の間に
$$a={1\over {\sqrt 2}}b+{1\over {\sqrt 2}}b'$$の関係があります。一方で $a$ は、$b$ にも $b'$ にもなり得るが、まだどちらにもなってなくて可能性の段階にとどまっている状態でした。しかも、それぞれ半々の確率で $b$ あるいは $b'$ に移るということでした。ここまでのことを頭に置いて、上の等式を見るなら、$b$ と $b'$ の係数が等しくそれぞれ二乗すれば確率が得られることが意味深に感じられるはずです。そして、$b$ と $b'$ のどちらにも移り得る段階が、$b$ と $b'$ のベクトルの和で表される、というアイデイアがおそらくすぐに浮かぶのではないでしょうか。
少し一般化してまとめてみます：光子の偏極に関する状態を任意に二つ $a, b$ とします。$b$ の偏極の方向と直交する方向に偏極した状態（つまり、状態 $b$ を生み出す偏極板と軸方向が直交する偏極板から出てくる光子の状態）を $b'$ で表します。$a, b, b'$ のそれぞれを平面上のベクトルとみなせば、$b, b'$ は正規直交基底を成すことから、ベクトルの間の等式
\begin{equation} a=(a, b)b+(a, b')b' \label{eq:kasaneawase} \end{equation}が成り立ちます。但し、$(a, b)$ などは内積を表します。状態 $a$ を表すベクトルが (\ref{eq:kasaneawase}) 式のように書ける時、$a$ は $b$ にも $b'$ にもなり得る段階の状態であり、何らかのきっかけが与えられると、$(a, b)^2$ の確率で $b$ に、$(a, b')^2$ の確率で $b'$ に、それぞれ移るというのがわれわれのアイデイアです。少しはしょった言い方ですが、正確に言えば次のようになります。『状態 $a$ の光子が、状態 $b$ の光子を検出する検出器に入射すると、$(a, b)^2$ の確率でその検出器が作動する。』$b'$ についても同様です。ちなみに
$$(a, b)^2+(a, b')^2=(a, a)=1$$です。最後の等式は $a$ の長さが $1$ であることからです。これは $a$ の状態が崩壊して $b, b'$ に移る際の確率の合計が $1$ であることを意味しています。もちろん、当然そうあるべきです。
状態 $a$ が (\ref{eq:kasaneawase}) 式
$$a=(a, b)b+(a, b')b'$$の形に表される時、「$b$ と $b'$ の重ね合わせの状態」であるという言い方がされます。
このアイデイアが間違っていないか、先に紹介した実験の結果とつき合わせてみます。光子を偏光板 $A$ に向けて打ち込み、出てくる光子をもう一枚の偏光板 $B$ を通した後、検出器で捕まえるという実験でした。$B$ の軸方向が $A$ のそれと一致している時に検出器が鳴動する頻度は、$B$ がない時と変わりません。しかし $B$ を光子の進路を中心にして回転してみると、徐々に検出器の鳴動の頻度が減少し、ちょうど $90^{\circ }$ 回転した時点でまったく沈黙します。更に回転を続けると再びブザーが鳴り出し、$180^{\circ }$ でもとの頻度に戻ります。以下同様のことが繰り返されるという実験でした。この実験結果が上でまとめたわれわれのアイデイアで説明できるかどうかが問題です：
$x$ 軸や $y$ 軸は自由に設定できますから、$a$ の方向を $x$ 軸とすれば
$$a=\pmatrix{ 1 \cr 0}$$です。$B$ を回転するのですが $x$ 軸から $y$ 軸方向へ角度 $\theta $ だけ傾けた時点を考えると
$$b=\pmatrix{ \cos \theta \cr \sin \theta }$$です。従って、われわれの考え方が当たっていれば、この時点で検出器が鳴動する頻度は、最初の時点での頻度の
$$(a, b)^2=\cos ^2\theta $$倍のはずです。この値は、$\theta =0$ から $\theta =90^{\circ }$ まで変化するにつれて、$1$ から $0$ まで減少し、$90^{\circ }$ を超えると増加を始めて $180^{\circ }$ でもとの $1$ に戻ります。この理論値は実験の結果を良く説明していると思っていいでしょう。
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