四方山話 (「Lost in Math」を読んで-その壱)(2023年8月23日)
先週は人間ドックがあったのですが、検査の合間にホッセンフェルダーという人の書いた「Lost in Math」という本を読みました。訳本についている日本語の副題は、「数学に魅せられて科学を見失う - 物理学と"美しさ"の罠」です。ずっと以前一度読んだことがあり、ひょっとしたらこのページでも紹介したかもしれませんが、前回マッハの哲学を問題にしたこともあって、もう一度読んでみようと思った次第です。
実は、この類の本を選ぶ時には気を付けなくてはいけません。中には「トンデモ本」があるからです。ただ、この本の著者であるホッセンフェルダーさんは大丈夫なようです。本の内容も、私の知識で判断しての話ですが、まともなものです。https://backreaction.blogspot.com/ で色々な意見を表明していらっしゃいます、正直、英語が十分聞き取れなくて、その点完全な確信をもって言うことはできませんが、物理の立派な研究者と見ました。もう一度本のテーマを繰り返しますが、物理学の研究を導く指針としての「数学的な美」について、です。
昔から有名で、かつわかりやすい例に、ドイツの数学者にして天文学者、ヨハネス・ケプラー（1571-1630）の研究があります：当時知られていた太陽系の惑星は六つだけで、水星、金星、地球、火星、木星、土星でした。
この図は、１６２１年の「宇宙誌の神秘」の中に現れるのですが、この宇宙の創造主が惑星の配置を決める際、最高の幾何学者である彼は正多面体を用いた、というケプラーの発想を図示したものです。つまり、それぞれ惑星は太陽を中心とする円軌道を描き、各軌道は球面上にあるとして、それら六つの球面の間に五つの正多面体が内接、外接の関係できっちり納まっているとしたのです。おそらくいろいろと順番を入れ替えて計算したと思われますが、外側から順番に、立方体、四面体、十二面体、二十面体、最後に八面体を並べると、その頃測定されていた惑星の軌道半径（の相対的な比）とかなり良くあったのです。たとえば、四面体に外接する球の半径は内接する球のそれの３倍ですが、一方で木星と火星の軌道半径（の現在知られている値）はそれぞれ平均で約
7億8千万キロ, 2億3千万キロです。確かに３倍に近いと言えば言えます。正確な一致はもちろん得られなかったはずですが、食い違いはおそらく測定技術のせいにして、悩むことはなかったはずです。それだけ自分の考えに自信があったのです。
ケプラーの頭の中には常に、ピュタゴラス学派の教義『宇宙は数から作られている』があったと思われます。神が宇宙を創造した際用いた数学を明らかにしたいというのが、生涯を通じての彼の目標でした。
惑星の軌道の大きさとプラトンの多面体とのこの関係を、『創造者の作品は、決して美を欠くことがない』と述べて高く評価したのですが、その後、テイコ・ブラーエに弟子入りし、師の蓄積した正確な観測結果を参照できるようになって、自分のモデルの不十分さに気づきます。膨大な計算を経て、惑星は太陽を中心とする円軌道ではなく、それを焦点の一つとする楕円軌道を描いて運動していると結論付けました。
しかし、その新しい説には即座に多くの反対者が現れました。完全なる運動は円運動であるという、ギリシャの昔から広く受け入れられてきた審美的な基準に、楕円運動は合わなかったのです。ガリレオ・ガリレイ（1564-1642）でさえ、『最善の配置で作られている宇宙の一部である以上、天体には円運動だけが許される』と言いました。ある天文学者は、「完全な円軌道の上に周転円を一つ加えることで、あなたの楕円軌道が再現できるのであれば、その方がずっと望ましい」とケプラーに書き送りました。一つの円軌道で惑星の運動の観測結果が説明できない場合、その誤差を縮めるために昔の人が考え付いたのが「周転円」です。周転円とは、もともとの円軌道上に中心がある小さな円であって、中心が大きな円周上を回り、同時にその円周上を惑星が回る、というアイデイアです。ケプラー以前の天文学者にとっては、「円」が絶対的に完全な図形であり、どうしても「円」を離れることができなかったのです。
物理学での理論や仮説を設定する、あるいは評価する際、数学的な美、あるいは完全性をその判断基準に置くことの妥当性について、上記のケプラーの例は随分意味深です。
物理学は客観的な学問であり、美術や音楽とは違うと、おそらく多くの人は信じて疑いません。しかし、実は、昔も今も、そう簡単には割り切れないものがあるのです：
歴史上、誰でも知っている偉大な科学者の幾人かの言葉を少し引用してみます：ニュートンは神の存在を信じ、１７２６年に、「太陽、惑星、彗星からなるこの美しいシステムは、一つの知性の意図と支配からしか生まれることがない」と言いました。「真実のすべて、あらゆる実験、法則は神の美を映す鏡だ」と断じたそうです。
図はフランスの科学者、ピエール-ルイ・モロー・ド・モーペルチュイの肖像です。子午線の弧長の距離を測定するために北極圏の探検に出かけたことで有名な人です。自然は常に、ある意味で可能な限り無駄のないように振る舞うという、「最小作用の原理」と呼ばれる原理を１７４６年に発表しました。次のように書いています；「この宇宙のすべての物体運動と静止をつかさどるこの原理を味わえば味わうほど、宇宙を支配する神の存在の証しとみえる。人間の精神が何と満たされることだろう。」
微分積分学をニュートンとは独立に、ほぼ同時に完成したゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（1646-1716）は、われわれが住んでいるこの世界が、可能な中で最善であると考えていました。醜いものや悪は存在するけれども、その存在意義を理解できないのは、神の深慮を理解できない人間の方に非がある、というのです。
相対性理論で有名なアインシュタインは、『私たちは純粋な数学的構築を通じて、自然現象の理解への鍵となる、概念とそれらを結び付ける法則の両方を発見することができると、私は確信している・・・従って、ある意味、私は、古代の人々が夢見たように、純粋な思考は実在を把握することができるというのは真実だと考えている』といいました。
数学者にして物理学者のヘルマン・ワイル（1885-1955）は『私の仕事はいずれも、真実を美しいものと結び付けようとする試みだ。だが、どちらか一方を選ばねばならない場合には、私はいつも美しいものを選ぶ』と言っています。
宇宙物理学者エドワード・アーサー・ミルン（1896-1950）の言葉：『美は知識への道、いや、むしろ、持つに値する唯一の知識だ。』
ポール・デイラック（1902-1984）という、「相対論的量子論」の創始者として有名なイギリスの物理学者がいます。ある方程式を因数分解するという、その手法自体は実に簡単で少し数学の得意な高校生なら誰でも理解できる代物ですが、その手法によって今日デイラック方程式と呼ばれている方程式を見いだしました。方程式自体も実に単純なものですが、その解が意味する内容は驚くべきものでした。いわゆる「反粒子」の存在はその一つです。彼は次のように言っています；『研究者は、自然の基本法則を数学的形式で表現しようとする努力において、主として数学的美を追及することに力を尽くさねばならない。』また、あなたの物理哲学は？と聞かれた時には、チョークを取ってすべて大文字で、『物理法則は数学的に美しくあるべきだ』と書いたそうです。
数学者にして物理学者のポアンカレも『美しいものへ留意することで私たちは、有用なものに留意する場合と同じ選択へ導かれることがわかる』と言っています。『人間の美的感覚は研究者がよい理論を構築するのを助ける精妙なふるいの役割を演じ、この調和は私たちの審美的要請を満たすと同時に、それが支え導くべき頭脳を補助するものともなる』とも言ったそうです。
量子力学の不確定性関係で有名なハイゼンベルグは『もしも自然が、素晴らしく単純で美しい数学的形式へと私たちを導くなら、そのような形式は「真」であり、自然の本質の一つを明らかにしていると考えざるを得ない』と言っています。
以上のように、数学的な美は物理学研究の重要な導き手である、という意味のことは、多くの著名な研究者によって繰り返し表明されてきたのです。ただ、最近の物理学の研究の進捗状況を見ると、数学的な美に頼るこの方針が、もう一度点検してみるべきものかもしれない、というのが著者ホッセンフェルダーさんの意見です。
最初に述べたケプラーの仕事を見ても、数学的美と「真実」とを結びつけることには慎重であるべきだと、確かに感じます。五つの正多面体が惑星の間の距離を決定する、というアイデイアは、今現在のわれわれは馬鹿げた発想と一笑に付すでしょうが、これを思いついたケプラーにとっては、創造の神のなす業の究極の美以外の何ものでもなかったに違いありません。でも、テイコ・ブラーエの観測記録を見て、それが思い違いであることに気付く。そして膨大な計算の末に、楕円軌道を導く。
しかしその新しい軌道は、今度は、ガリレイをはじめとする多くの人々の美意識にはひどく反するものだったのです。でもそれが自然の採用しているものであって、多くの人々が美しいと感じる円軌道は、自然が採用するものではなかったのです。副題にある「美しさの罠」は、この辺に仕掛けられているのかもしれません。
最初の３章ほどを読んだ感想を書いてみました。第十章までありますので、またその内紹介します。
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