四方山話 (「だれが原子をみたか」を読んで-高度分布を速度分布から)(2023年6月12日)
粒子の集団を縦長の筒に封じ込める時、重力の影響を受けて底の方に多くの粒子が、逆に上の方には粒子がまばらに分布することになる。この高度分布は、各粒子の質量を $m$ とし高度差 $h$ のそれぞれの高度における粒子の個数を $n, n'$ で表すならば
$${{n'}\over n}=e^{-mgh/kT}$$で表される。これは５月２７日の記事で説明したように、ペランさんによって実験的に確かめられた。ここで $g$ は重力加速度、$k=R/N_A$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度である。
そこで使われた推論では、いわゆる「エネルギー等分配の法則」が本質的な役割を演じた。従ってそのまま普通の気体分子にも適用できて、(\ref{eq:ndashovern}) 式は普通の気体分子でも正しいと考えられる。ところで一方われわれは、５月５日の記事でマックスウェルの速度分布を求めた。絶対温度 $T$ の平衡状態にある気体の場合、それぞれの分子の速度
$${\bf v}=(v_x, v_y, v_z)$$はもちろんいろんな値を取るけれども、統計的に見る限り、$v_x$ が
$$[v_x, v_x+dv_x]$$の範囲にある分子の割合が
\begin{equation} f(v_x)dv_x=\left({m\over {2\pi kT}}\right) ^{1/2}e^{-mv_x^2/(2kT)}dv_x \label{eq:fvxgae-m} \end{equation}で与えられる、というものだった。 $v_y, v_z$ についても同様である。ここでもやはり等分配の法則が基本的な役割を演じた。
となると当然、高度分布と速度分布の間の関係をより直接的に把握したいという想いがわく。そこで今回は、速度分布 (\ref{eq:fvxgae-m}) から高度分布
\begin{equation} {{n'}\over n}=e^{-mgh/kT} \label{eq:ndashovern} \end{equation}が導けないものか考えてみたい：
垂直に立てられた円筒の容器に気体が入っているとして、鉛直上向きに $x$ 軸を設定する。高度差 $h$ の二つの断面の間を十分細かく $q$ 等分し
$$\delta ={h\over q}$$と置く。
重力の影響で底に近いほど多くの分子が分布することになるはずだが、各高さにおける個数に時間的な変化がないという意味での平衡状態を考える。よって、任意の水平な断面においては、単位時間に上から下へ移動する分子の個数と下から上へ移動する分子の個数は同数である。このことは、非常に大雑把な言い方だが、断面のすぐ下での単位体積当たりの分子の個数を $n$、分子の平均的な（$x$ 軸方向の）速さを $v_x$ で表し、この断面のすぐ上でのその個数を $n'$、平均的な速さを $v_x'$ で表すならば、
$$nv_x=n'v_x'$$を意味する。実はこの言い方では大雑把過ぎて何の役にも役に立たないことはすぐわかる。しかし少し精密化すれば有用になる。以下では基本的にはこの考え方を用いて推論を進める。
まず、高さが $x=0$ から $x=\delta $ の間にある分子について、速度分布が上記の $f(v_x)$ で与えられると仮定する。もともとの速度分布は高度によって分別しない全体的な様相を言い表したものであり、この仮定が正しいものであったかは最後に検証を要する。分子の運動エネルギーの範囲を $mg\delta $ の微小な幅で細分し、それぞれの範囲に属する分子の個数（の相対比）を、この仮定の下で求める：
$$f(v)\approx e^{-mv^2/2kT}$$だが（但し、今目的としていることには不要である定数を除いていることを示す為に、$\approx $ の記号を用いた。また $v_x$ を $v$ で表した）、運動エネルギー $E$ は
$$E={1\over 2}mv^2$$であり
$$dE=mvdv={\sqrt{2mE}}dv$$つまり、$E$ の（無限小の）微小区間（長さ $dE$）に対応する $v$ の微小区間の長さを $dv$ とすれば
$$dv\approx {1\over {\sqrt E}}dE$$となる。よって $E$ のその微小区間に属する分子の個数は
$$f(v)dv\approx e^{-E/kT}{1\over {\sqrt E}}dE$$である。
まず最初の微小区間
$$[0, mg\delta ]$$を考え、それに属する $E$ の代表値として
$$E=mg\delta $$をとる。つまり近似的にこの値に等しいとする。この時、この区間に運動エネルギーが属する分子の個数は
$$e^{-mg\delta /kT}{1\over {\sqrt {mg\delta }}}dE$$である。その次の区間
$$[mg\delta , 2mg\delta ]$$に運動エネルギーが属する分子の個数は、同じように考えて
$$e^{-2mg\delta /kT}{1\over {\sqrt {2mg\delta }}}dE$$である。
以下同様であり、$E$ の微小区間の系列
$$[0, mg\delta ], \hskip 2mm [mg\delta , 2mg\delta ], \hskip 2mm [2mg\delta , 3mg\delta ], \hskip 2mm \cdots $$の各々に運動エネルギーが属する分子の個数は、最初の小区間に属する個数を基準にして
$$1, \hskip 2mm {r\over {\sqrt 2}}, \hskip 2mm {{r^2}\over {\sqrt 3}}, \hskip 2mm {{r^3}\over {\sqrt 4}}, \hskip 2mm \cdots $$と表せる。但し
$$r=e^{-mg\delta /kT}$$と置いた。これが高さが $0$ から $\delta $ の範囲にある分子の、運動エネルギーに関する個数分布である。
さて次に高さが $\delta $ から $2\delta $ までの分子の個数分布を考える：その高さにあって運動エネルギーが
$$[0, mg\delta ]$$の範囲にある分子がもし、$\delta $ 以下の高さに落ちるのであれば、運動エネルギーは（位置エネルギーが変換されることにより）
$$[mg\delta , 2mg\delta ]$$の範囲に属することになる。逆に $\delta $ 以下の高さにあって運動エネルギーが
$$[mg\delta , 2mg\delta ]$$の範囲にある分子がもし、$\delta $ 以上の位置に上がるのであれば、その運動エネルギーは $mg\delta $ 以下になる。上の図の最も左下にある斜めの矢印はその移動を表す。
この移動は、速さが
$$v={\sqrt {4g\delta }}$$の分子と
$$v'={\sqrt {2g\delta }}$$の分子との間の移り合いである。前者の個数（単位体積当たりの）が
$$n={r\over {\sqrt 2}}$$に比例することは既に知っているから、後者の分子の個数を $n'$ で表すならば、状態が平衡状態であることから
$$n'v'=nv$$つまり
$$n'=n{v\over {v'}}={r\over {\sqrt 2}}{{\sqrt {4g\delta }}\over {\sqrt {2g\delta }}}=r$$である。上に挙げた図の下から二列目、一番左の「$r$」はこのことを表す。
その右の「$r^2/{\sqrt 2}$」も、全く同じ推論で導くことができる。念のために繰り返すと：高さが $\delta $ 以下、エネルギーが $3mg\delta $ の分子の個数が
$$n=r^2/{\sqrt 3}$$であることは既に導いた。この分子の速さは
$$v={\sqrt {6g\delta }}$$だが、この分子がもしもう一段上の高さまで上がるのであれば、位置エネルギーに食われて運動エネルギーは $mg\delta $ だけ減少し、従って速さも減少して
$$v'={\sqrt {4g\delta }}$$となる。図の最下段の左から二つ目の矢印はこの移動を表す。よって求めたい範囲の分子の個数を $n'$ で表せば、平衡性の条件から
$$n'=n{v\over {v'}}={{r^2}\over {\sqrt 2}}$$でなくてはいけない。図の下から二列目、左から二つ目の「$r^2/{\sqrt 2}$」はこのことを表す。
以上のように推論してすべてのマス目を埋めたものが先に挙げた図である。これを見ると：エネルギーが $mg\delta $ 以下の範囲にある分子の個数は
$$1+r+r^2+\cdots ={1\over {1-r}}$$であり、$[mg\delta , 2mg\delta ]$ の範囲にある分子の個数は
$${r\over {\sqrt 2}}+{{r^2}\over {\sqrt 2}}+{{r^3}\over {\sqrt 2}}+\cdots ={1\over {1-r}}{r\over {\sqrt 2}}$$である。更に、次の小区間
$$[2mg\delta , 3mg\delta ]$$にある分子の個数は
$${{r^2}\over {\sqrt 3}}+{{r^3}\over {\sqrt 3}}+{{r^4}\over {\sqrt 3}}+\cdots ={1\over {1-r}}{{r^2}\over {\sqrt 3}}$$以下同様である。つまり、運動エネルギーに関してマックスウェルの分布
$$e^{-E/kT}{1\over {\sqrt E}}dE$$が、容器内の気体全体で成立している。この推論を始める際、最初に置いた仮定『$\delta $ 以下の高さにある分子の速度がマックスウェル分布に従う』は、結局妥当なものであったことが、これでわかった。
更にこの図は、$\delta $ だけ高度が増すと、その高度に存在する分子の個数は
$$r=e^{-mg\delta /kT}$$倍されることを示している。従って高度差 $h=q\delta $ の個数をそれぞれ $n, n'$ で表すと
$${{n'}\over n}=r^q=e^{-mgh/kT}$$である。これこそが、最初に目標として設定した (\ref{eq:ndashovern}) 式に他ならない。
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