四方山話 (「だれが原子をみたか」を読んで-ダニエル・ベルヌーイ)(2023年4月6日)
ダニエル・ベルヌーイは１７３８年に著した「流体力学」の中で、気体をおびただしい数の固い粒子が飛び回っているものと解釈し、そこから気体の色々な性質を説明しようとした。たとえばボイルの法則、つまり、温度が一定である場合、体積と圧力は反比例するという法則だが、定性的には次のように説明できる：
図のようなある容器に閉じ込められた気体の中の、一個の粒子の運動を考える。蓋の部分に重しを増やして容器の体積を半分にすると、下の面と上の面の間を往復するに必要な時間は半分になり、よって蓋の面への衝突の頻度は二倍になる。ここで、衝突は完全弾性衝突（つまり運動エネルギーが衝突の前後で変化しない）であるとするならば、一個の粒子が蓋を上へ押し上げる力は二倍でなくてはいけない。蓋の面積は変わらないから、単位面積あたりに加わる力、つまり圧力は二倍だということになる。ただしこの時、温度と粒子の平均的な速さは関連していて、温度が一定であることは速さが一定であることを意味すると仮定する。
気体の重さもこの考えで説明できる。これには、私は正直言ってびっくりした。こんなことに驚くのは私だけかもしれない、言われてみれば実に簡単なことなのだが、新鮮な驚きだったので紹介しようと思う：
容器に気体を詰めて容器ごと秤に乗せ、全体の重さを測る時、空っぽの容器だけの場合と比べればおそらく気体の重さ（気体の微粒子一個の質量を $m$ とし、粒子の総数を $N$ で表せば、$Nm$）だけ増えるだろう。しかし、よくよく考えてみるとこれはかなり不思議なことである。ベルヌーイが言うように気体の微粒子は動き回っているとしても、壁に衝突するごく短時間を除いてはほとんどの時間容器の壁に触ることなく宙に舞っている。そんな宙に浮いている粒子の重さが何故、秤にかかるのだろうか？
同じような疑問は次の状況でも浮かぶ：
図の左の容器の高さだけを二倍にした容器に、二倍の量の気体を詰めた場合が右の図である。もちろん気体の正味の重さは二倍に増えなくてはいけないが、そんなことが可能であるとはちょっと思えない：微粒子が容器の底の面を押す圧力が秤の皿にかかりそれが重さとなって現れると考えられるが、各粒子が底面と上の面を往復するに必要な時間はそれらの距離が二倍になれば二倍になる。従って、一つ一つの粒子については、底面を打つ頻度は半分に減る。しかし粒子の個数が二倍に増えるので、効果が相殺して結局、粒子の総数が底面に及ぼす力の効果は変わらないことになる。これは現実と合わない。
しかしよく考えてみると、粒子は容器の下の面だけではなく、上の面にも衝突しているはず。上の面に衝突する時には上向きの力を及ぼすと考えられるから、それら上向きと下向きの力の差を本来考えるべきであろう：
図のように、容器の中を上下に反射を繰り返しながら運動している粒子を一つ考える。下の面から上の面に向けて上向きに運動する間は重力の作用で速さが徐々に減る。逆に下向きに運動する間は加速される。下の面に衝突する時の速さを $v_{下} ( > 0)$ とし、上の面に衝突する時の速さを $v_{上} ( > 0)$ で表すと、従って
$$v_{下} > v_{上}$$である。
粒子が下の面から上の面まで距離 $h$ を飛ぶ所要時間を $T$ で表すと
\begin{equation} v_{下}T-{1\over 2}gT^2=h \label{eq:vsita} \end{equation}が成り立つ。$T$ は同時に、上の面から下の面まで到達するに必要な時間でもあり、従って
\begin{equation} v_{上}T+{1\over 2}gT^2=h \label{eq:vue} \end{equation}も成り立つ。
衝突はその前後で運動エネルギーが失われることのない形（完全弾性衝突）で行われると仮定しているから、速さ $v$ の粒子の衝突によって容器の方には $2mv$ の運動量が移る。
従って図の上のように、時間 $T$ 毎に、$2mv_{下}$ と $-2mv_{上}$ の運動量を得ることになる。結局、時間 $2T$ ごとに
$$2m(v_{下}-v_{上})$$だけの運動量を容器は得る。以上は一つの粒子を考えた場合。
さて容器の中に入っている粒子の総数を $N$ とし、非常に大きな個数であるとしよう。するとそれらの衝突により容器が得る運動量の様子は図の下のようになると考えられる。（但し、粒子によってその速度はまちまちのはずだが、その平均を $v_{下}$ とか $v_{上}$ で表す。）この図から納得できると思うが、おびただしい個数の粒子の衝突により、容器の運動量の変化は絶え間なく行われることになり、間欠的であるよりむしろ連続的になる。時間 $2T$ の間に
$$2mN(v_{下}-v_{上})$$だけの運動量を容器は得るが (\ref{eq:vsita}) 式
$$v_{下}T-{1\over 2}gT^2=h$$と (\ref{eq:vue}) 式
$$v_{上}T+{1\over 2}gT^2=h$$から
$$v_{下}-v_{上}=gT$$となり、よって時間 $2T$ の間に容器の得る運動量は
$$2mNgT$$である。単位時間当たりの運動量の変化が作用している力に等しいので、結局
$$mNg$$だけの力が、容器を引き下げる力として加わっていることになる。容器を支える秤はこれだけの力を上向きに加えているはずで、気体の重さは従って $Nm$ だとわれわれは判断する。宙を飛んでいる粒子の重さも秤にちゃんとかかるのである。
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